《导数的概念及其几何意义》教案1(北师大版选修1-1).doc

导数的概念及其几何意义
教学目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2.理解曲线的切线的概念；
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；
教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；
教学难点：导数的几何意义.
教学过程：
%1.创设情景
（一）平均变化率、割线的斜率
（二）瞬时速度、导数
我们知道，导数表示函数在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数在x=x。

附近
的变化情况，导数r（x
）的几何意义是什么呢？
%1.新课讲授
（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当乙（％./'（x〃））（〃 = 1,2,3,4）沿着曲线/（X）
趋近于点P（X
O ,/（X
O
））时，割线P4的变化趋势是什么？
我们发现，当点P沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线PP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线pr称为曲线在点P处的切线.
问题：⑴割线尸4的斜率如与切线 阿的斜率k 有什么关系?
⑵切线P7的斜率*为多少?
容易知道，割线PR 的斜率是kn=K*E ,当点己沿着曲线无限接近点尸时，幻无 限趋近于切线PT 的斜率比，即k = lim /任J *）二,佻）=广（X 。

）
A —o Ax
说明：（1）设切线的倾斜角为那么当△*-（）时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线 的斜率.
这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；
②切线斜率的木质一函数在x = X 。

处的导数・
（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.
（二）导数的几何意义： 函数》顼W 在x=xo 处的导数等于在该点（x 0,/（x 0））处的切线的斜率, 即广（0=lim 川。

+奇）-/氐）小
0 ^->o Ax
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：
%1 求出P 点的坐标；
%1 求出函数在点与处的变化率广3。

） = lim 』心 A 。

二./（" = k ,得到Illi 线在点
AiO Ax
（x 0,/（x （）））的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
（二）导函数：
由函数7W 在4心处求导数的过程可以看到，当时,/'（与）是一个确定的数，那么，当X 变化时，便是X 的一个函数，我们叫它为7U ）的导函数.记作：/'（X ）或/,
日 II 3 \ ， 「 /（x + Ax ）-/（x ）
即：/ （x ）= y = lim -------- ---
&项 Ax
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.
（三）函数./G ）在点X 。

处的导数/、'（工0）、导函数尸⑴、导数之间的区别与联系。

1） 函数在一•点处的导数广（X 。

），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数，不是变数。

2） 函数的导数，是指某一区间内任意点'而言的，就是函数f （x ）的导函数
3） 函数./'（x ）在点X 。

处的导数.广（吒）就是导函数.广。

）在工=工0处的函数值，这也是求函 数在点x 0处的导数的方法之一。

%1. 典例分析
例1: (1)求曲线尸/W=/+l 在点P(l,2)处的切线方程.
(2)求函数广3普在点(1,3)处的导数.
*2 「 [(I + Ax)2 4-1]-(12 +1) .. 2Ax + Ax2
= hm ------------------- = lim ---------- = 2,
解：(1) y I
=1
Ax->o A Y k->o A Y
所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为*-2 = 2(x-1)即2x-* = 0
3r2 -3-123(子_[2)
(2) 因为y'「1= lim ------- = lim ------- = lim3(x +1) = 6
11 x-\ I X-\ XT1
所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为* — 3 = 63 — 1)即6x —y — 3 = O
(2)求函数J(x)=-x2+x在1 = -1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.
颂-(-1+A X)2+(-1+A X)-2
解：——= ------------------------- =3-Ax
Ar Ax
rf( |x 「Ax 一(一1 + Ax)~+(-l + Ar)-2 [• g 人、i
/ (-1) = hm — = ------------------------ = lim(3-Ar) = 3
i0 Ar Ax i0
例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
降，即函数A(x) = -4.9x2+6.5x4-10在，=4附近单调递减.
(3) 当tf时，曲线力。

)在)处的切线4的斜率 WJ<0,所以，在附近曲线下降，即函数
A(x) = -4.9x2+6.5x4-10在t = t.附近单调递减.
0.48 - 0.91
«-1.4
从图 3.1-3可以看出，育.线〈的倾斜程度小于直线匕的倾斜程度，这说明曲线在匕附近比 在"附近下降的缓慢.
例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c = /(/)(单位：rng/mL)m 时间 t (单位：min )变化的图象.根据图像，估计，= 0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度
像上看，它表示曲线/⑺在此点处的切线的斜率.
如图3.1-4,州出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药 物浓度瞬时变化率的近似值.
作，=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91), (1.0,0.48),则它的斜率为：
所以
r(0.8)a —1.4 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:
t
0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率/'(/)
().4
0 0.7 T.4 %1. 课堂练习
1. 求曲线v 项r)K 在点(1,1)处的切线;
2. 求曲线y = 3在点(4,2)处的切线.
%1. 回顾总结
1. 曲线的切线及切线的斜率；
2. 导数的几何意义
%1. 布置作业 的瞬时变化率(精确到0.1 ).
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/«)在此时刻的导数，从图。