第六章连续时间系统的系统函数

i(t) L
I (s) LS Li(0)
LS
i(0)
I (s)
s
u(t) u(t) L di(t) dt
U (s)
U (s)
SL — —电感元件的复频域阻抗
U[s] LsI (s) Li(0)
例1：如图示电路已处稳态，t 0时开关k由“1”到“2”，
试求输出电压u0(t)的零输入响应u0zi(t)，零状态响应u0zs(t)
yx(t)满足的微分方程为
y"x
(t
)

5
y
' x
(t
)

6
y
x
(t
)

0
yx(t)的初始条件yx(0-)=y(0-)、yx’(0-)=y′(0-)。
yf(t)满足的微分方程为
y"x (t) 5y'f (t) 6y f (t) 3 f '(t) f (t)
由于f(t)为因果信号，所以f(0-)=0，yf(0-)=y′f(0-)=0。
y a1 y a0 y b1x b0 x
引入一辅助函数q, 使q满足方程（1） q a1q a0q x (1)
则y满足（2）式 y b1q b0q
X q q

b1
q

b2
将(1)、(2)代入原 方程即可证明
y

a1
a0
以上讨论的框图是直接 根据系统的微分方程或 系统函数作出的，一般 称为直接模拟框图。
2s

6
3V

s 2
U 0(s)
1
2s
6
S 3V

s 2
U 0zi(s)
(b)
(a)
1
6 s
1
S
2s
U 0zs(s)
2
(c)
(4)求响应象函数
图(b)列节点方程
1
1
3
( 2s )U 0zi(s) 12
1
s2
s2
解得：U
0 zi ( s)

(s
12s 21 1)(2s
2)

1 s

yf
2 (t )

L1[Y f
2(s)]

1 4
(2t

e2t
1) (t)
§6.2任意激励下全响应的求解
一、微分方程的变换解法
1.利用时域微分性质将微分方程化为s域的代数方程
f (t) F (s) df (t) sF (s) f (0 )
dt d 2 f (t) s2F (s) sf (0 ) f (0 )
例2、某LTI系统在下述 f1(t)、f2 (t)和f3 (t) 的三种情况下，
初始状态都相同
（1）当 当
f1 (t )

（t）时，系统全响应 时，系统全响应
y1
(t
)

3e2t
(t)
f2 (t) (t)
y2 (t ) 2et (t )
求h(t),并写出微分方程。
（2）当激励为
s2
解得：U
0(s)

12s2 27s s(s 1)(2s
12 3)

4 s

s
3 1

s
1
3
2
(5)求拉氏逆变换，得
u0zi(t) L1[U 0zi(s)] [9et 3e1.5t ] (t)
u0zi(t) L1[U 0zs(s)] [4 6et 2e1.5t ] (t)

2)
H(s) Yf 1(s) 1 F1(s) s 2
f2(t)的单边拉变换为
F2 ( s)

L[
f2(t)]
1 s2
yf2(t)的单边拉氏变换为
Yf 2 (s) L[ y f 2(t)] H (s)F2(s)
于是得

1 s2(s
2)

1 4

2 s2

(s
1
全响应 u0(t) u0zi(t) u0zs(t) [4 3et e1.5t ] (t)
6.3 系统方框图表示
一、系统的模拟 利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图的方 法称系统模拟。 注：将系统分解为若干基本单元
二、线性系统的模拟方 法 1、模拟图用基本单元
①加法器:
0
0
即，H（s）是冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性
边续系统的系统函数， est 称为系统的特征函数。
2.由时域卷积定理 H(s)为零状态响应的单边拉氏 变换与激励信号单边拉氏变换之比
即
H (s) Yf (s) F (s)
二、 一般信号f(t)激励下的零状态响应求解
系统的零状态响应可按以下步骤求解： (1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s); (2) 求系统函数H(s); (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)， Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；
例 已知线性连续系统的输入为f1(t)=e-tε(t)时，零状态响应
yf1(t)=(e-t-e-2t)ε(t)。若输入为f2(t)=tε(t)，求系统的零状态响应
yf2(t)。
解：
F1(s)

L[
f1(t)]
s
1 1
Yf 1(s)

L[Y f 1(t)]
s
1 1

s
1
2

(s
1 1)(s

et

1 2

et

1 2
e2t
)
(t)

1 2

e t 1

1 2
e 2t 2


(t
1)
(1 3 e2t ) (t) (1 et1 1 e2t2 ) (t 1)
22
2
2
二、电路问题的s域分析法
1、R、L、C元件的s域模型
y'a0 y x
y' x a0y
z(s)
x y' y

a0
以上模拟图都未计初始条件，故是零状态响应
sY (s) 1 s
a0
Y (s)
3、二阶系统的模拟
y''a 1y'a 0y x
y'' x a1y'a0 y
x(t)
y''


y'
y

a1 a0
4、含有x的导数的二阶系统的模拟
dt
2.求出全响应复频域形式Y(s)
3. y(t) L1 Y (s)
例1 已知线性系统的微分方程为
y"(t) 5y'(t) 6y(t) 3 f '(t) f (t) f (t) et (t), y(0 ) 1, y' (0 ) 2
求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。
f3(t)
求其全响应。
0 t0 t 0t 1 1 t 1
解：
y1 (t) y1x (t) f1(t) * h(t) y2 (t) y2x (t) f2 (t) * h(t) y1x (t ) y2 x (t )
则y1(t) y2 (t) f1(t)-f2 (t)* h(t)
5、并联模拟框图 一般n阶系统的方程为
y(
n)

a
n

1
y
(n1)

...

a
1
y'a
0
y

b
x(m)
m

...

b
1x'b
0
x
则
H (s)

bms m

bm
s m1
1
...b1s

b0
sn

an
s n 1
1
...a1s

a0

Y (s) X (s)
(m n)
bm (s z)(s z)...(s zm) (s p1)(s p2)...(s pn)
解 方法 1 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分 方程取单边拉氏变换，得
[s2Y (s) sy(0 ) y'(0 )] 5[sY (s) y(0 )] 6Y (s) 3sF (s) F(s)
f(t)的单边拉氏变换为
F(s) L[et (t)] 1
s 1
k1 k 2 ... kn
s p1 s p2
s pn
H1(s) H 2(s) Hn(s)
H 1(s)
x(s)
H 2(s)
Y (s)

…
Hn(s)
n级一阶子系统的并联
将大系统分解为子系统并联，调整 某一子系统的参数仅影响该子系统 的极点或零点在s平面上的位置，而 对其他子系统无影响。
iR
u
u Ri 时域关系
I (s)
U (s)
U (s) I(s)R 复频域关系
R
iC
1 CS
cu(0)
I (s) 1 u(0)
CS s
u
I (s)

i c du
U (s)
dt
L[i] csU (s) cu(0)
U (s)
1 — —复频域阻抗 CS
I[s] csU (s) cu(0)
由卷积定理得 Y1(s) Y2(s) F1(s)-F2(s) H(s)
H (s)
3 s2
2 s 1

3s2
3s 2s2
2s
1 1
(s 1)(s 1)(s 2)
s
s 21 (s 1)(s 2) s 2 s 1
则y'' (t) y' (t) 2 y(t) f ' (t), h(t) (2e2t et ) (t)
6、级联模拟框图
H (s) H1(s)H 2(s)...Hr(s)
... X(s) H 1(s)
H 2(s)
Y(s)
y(t)
t
y(t) 0 x( )d
时域形式
X (s) 1 Y (s)
s
Y (s) 1 x(s) s
复频域形式
初始条件不为零的积分器
y(0)
x(t)

y(t)
X (s)
1
s
y(0) s
Y(s)
t
y(t) y(0) 0 x( )d
2、一阶微分方程的模拟
Y (s) y(0) X (s) ss
x1(t ) X 1(s)
x2(t ) X 2(s)
y(t) Y (s)
y(t) x1(t) x2(t) Y (s) X 1(s) X 2(s)
②乘法器:
a x(t)
X (s)
y(t) y(t) ax(t) Y (s) Y (s) aX (s)
③初始条件为零的积分器
x(t)
3)

s
9 1

s
3
3
2
图(c)列节点方程
(1 2s 1 )U 0zs(s) 6
s2
s
解得： U
0 zs ( s)

s(s
6(s 2) 1)(2s
3)

4 s

s
6 1

s
2
3
2
图(a)列节点方程
(1 2s 1 )U 0(s) 6 12 3
s2
s
F3 (s)

1 s2

es s2
Y3 f (s) H (s) F3 (s)

1 s2
(1 e s )
s
(s 2)(s 1)
1
1
( 2 1 2 )(1 e s ) s s 1 s 2
y3 (t) y3x (t) y3 f (t)

(e2t
y1 (t) y1x (t) f1(t) * h(t)
3e2t (t) (t) * (2e2t et ) (t) (3e2t 2e2t et ) (t) (e2t et ) (t)
f3(t) t (t) (t 1) (t 1) t (t) (t 1) (t 1)
若系统的输入为基本信号，即f(t)=est,则
y f (t) est h(t)
h( )es(t )d est

h( )es d

若h(t)为因果函数，则有
y f (t)
式中：
h( )est d est H (s)
0
H (s) h( )es d h(t)estdt L[h(t)]
本章要点
Chapter6
引言
● 系统函数极点和零点的分布 ● 系统的稳定性
§6.1 复频域系统的传输函数H(s)
一、定义
1.复频域分解
若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为 yf(t)，冲激响应为h(t)，由连续系统的时域分析可知:
y f (t) f (t) h(t)
和全响应u0(t)。
K 1
"1"
1H
"2"
9V
2F
2

6V
解：(1)据题意求电路初始状态
i L u0(t)
iL(0) 9 3A 1 2
2 u0(0) 9 6V
1 2 (2)求输入信号象函数
L[6 (t)] 6
s
(3)画s域模型电路
1
1

6
s
1
S
求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得
y(t) 10e2t 8e3t et
t0
yx (t) 5e2t 4e3t
t0
y f (t) (5e2t 4e3t et ) (t)
方法 2 分别根据yx(t)和yf(t)满足的微分方程求yx(t)和yf(t)。