江西省赣州市于都县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
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，
或
；
（2）∵ ，
∴ ，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和圆周角的性质以及三角形内角和定理，解题关键是根据方程特征选择恰当的方法和熟练运用圆周角的性质．
14．
【分析】
根据根的判别式大于0列不等式即可．
【详解】
解： ，
化简得， ，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得， ．
10．
【分析】
由题意易得圆的直径为 ，上下两条传送带共20m，则这条传送带的长为圆的周长加上上下两条传送带的长，进而问题可求解．
【详解】
解：由图可得：圆的直径为 ，则有这条传送带的长为圆的周长加上上下两条传送带的长，
∵两个传动轮中心的距离是 ，
∴这条传送带的长为： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题百度文库要考查弧长计算，熟练掌握弧长的计算是解题的关键．
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题关键是准确把握中心对称图形和轴对称图形的特征．
2．A
【分析】
根据必然事件的定义判断即可．
【详解】
解：A.实心铁球放入贡江水中，会下沉，是必然事件；
B.网上随机购一张电影票，座位号是奇数，是随机事件；
（1）列表（完成下列表格）．
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
6
3
2
3
3
6
…
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，完成以下问题：
①当函数 的图象向下平移______个单位时，图象与 轴有三个公共点；
②结合图象探究发现，当 满足______时，方程 有四个解．
19．如图， 中， ． 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ，点 为点 的对应点．
AB=2 ，
BC= ；
故答案为：2或 或 ．
【点睛】
本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解题关键是对中线进行分类讨论，合理设未知数，根据勾股定理列方程．
13．（1） ，（2）
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）根据弧相等可得∠C=75°，用三角形内角和求∠A．
【详解】
解：（1） ，
三、解答题
13．（1）解方程： ；
（2）如图， 中， ， ，求 度数．
14．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
15．一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
16．“赣江”是长江主要支流之一，江西省最大的河流．其东源出自石城县武夷山，称“绵水”，流经瑞金，在会昌县与“湘水”（江西）汇合，称“贡水”；其西源出自崇义县聂都山，称“章水”．“章水"与“贡水”在赣州市八镜台汇合，是为“赣江”．
江西省赣州市于都县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是（）
A．实心铁球放入贡江水中，会下沉
【详解】
解：设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2
y＝x2﹣2xx1+x12+x2﹣2xx2+x22+x2﹣2xx3+x32+…+x2﹣2xxn+xn2
y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2），
则当x＝ 时，
二次函数y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2）最小，
（1）当 时，每瓶洗手液的价格是______元；当 时，每瓶洗手液的价格是______元；当 时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含 的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
21．如图，半 的直径 ， 为半圆一动点（不与 ， 重合）， 的延长线与直线 相交于点 ，且 ．
11．
【分析】
连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝ OB，设OD=x，再利用勾股定理列式求出BD，从而表示点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【详解】
4．B
【分析】
根据反证法的概念，即可得到答案．
【详解】
用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，即： ．
故选B．
【点睛】
本题主要考查反证法，掌握用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，是解题的关键．
5．C
【分析】
根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
（1）求证： 为半 的切线；
（2）若 是 的平分线，且 于 ，连接 ．
①请判断线段 与 有什么位置关系，并说明理由；
②当 时，则 的长为______．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
9． ．
【分析】
根据题意，原点O为菱形 对称中心，则点B与点D关于原点对称，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵菱形 的对角线交于原点 ，
∴原点O为菱形 对称中心，
∴点B与点D关于原点O对称，
∵点 的坐标为 ，
∴点D的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题．
12．2或 或 ．
【分析】
根据30°角所对直角边等于斜边的一半，设BC=x，AB=2x，可求AC= ，对是哪条边的中线分类讨论，列方程即可．
【详解】
解：设设BC=x，
∵ ， ，
∴AB=2x，
∴ ，
当BC边上的中线长为 时，
∵x>0，解得x=2；
当AC边上的中线长为 时，
∵x>0，解得x= ；
当AB边上的中线长为 时，
【详解】
解：依题意，得：500（1−x）2＝380．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】
先设出y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2，然后进行整理得出y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2），再求出二次函数的最小值，再根据x的取值即可得出答案．
10．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是 ，求这条传送带的长______米．
11．如图，正方形 的一个顶点与原点 重合， 与 轴的正半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的长为______．
12．已知在 中， ， ，若该三角形的一中线长为 ，则 的长为______．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求“两人抽取的河流能汇合”的概率．
17．如图， 、 、 均为 上的点，且 ，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，在圆上取点 ，使 ；
（2）在图2中，作出 的一个余角．
18．某数学兴趣小组在探究函数 的图象和性质时，经历了以下探究过程：
小丽和小杰一起玩游戏：将“章水”、“贡水”、“绵水”、“湘水”分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小丽从中随机抽取一张卡片，小杰再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片．
（1）“赣江被抽中”是______事件，“章水被抽中”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；
C.打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻，是随机事件；
D.任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件；
故选：A．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件的识别，解题关键是理解各种事件的意义．
3．B
【分析】
根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、点C不在 上，所以AC不是 的弦，故错误，不符合题意；
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为x，则可列方程（）
A． B．
C． D．
6．某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行 次测量，得到 个结果 ， ， ，…， （单位： ）．如果用 作为这条路线长度的近似值，要使得 的值最小， 应选取这 次测量结果的（）
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在 上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若 成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
（联想拓展）（3）如图3，在 中， ， ．点 在直线 上方且 ， ，求 的长．
参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的特征判断即可．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
∴x所取平均数时，结果最小，
故选：C．
【点睛】
此题考查了方差和二次函数，关键是设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2，得到一个二次函数，求二次函数的最小值．
7．
【分析】
由题意易得“大”字有三个，然后根据概率计算公式可进行求解．
【详解】
解：由题意得“大”字有三个，
∴抽到“大”字的概率为 ，
A．中位数B．众数C．平均数D．最小值
二、填空题
7．在“大学习、大调研、大攻坚”九个汉字中，随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率为______．
8．若关于 的方程 的一根为1，则方程的另一个根为______．
9．在平面直角坐标系中，菱形 的对角线交于原点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为______．
（1）请用尺规作图法画出旋转后的 ；
（2）若 ， ， ．求 的长．
20．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 瓶免洗抑菌洗手液．
B．网上随机购一张电影票，座位号是奇数
C．打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
3．如图， 是 的直径， 为圆内一点，则下列说法中正确的是（）
A． 是 的弦B． 是圆心角
C． 是圆周角D．
4．如图，在 中， ， ，求证： .当用反证法证明时，第一步应假设（）
A． B． C． D．
23．（问题提出）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ．求 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
（尝试解决）（1）将 绕点 逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
为______三角形
的度数为______．
（类比探究）（2）如图2，在等边三角形 外部有一点 ，若 ，求证 ．
解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BOC＝45°，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝ OB，设OD=x，
∴ ，
∴点B的坐标为（ ，x），
∵点B在抛物线y＝ x2的图象上，
∴ （ ）2＝x，
解得x＝1．
∴OB=2,设AO=AB=a，
2a2=4，
∵a>0，解得a= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后表示点B的坐标是解题的关键．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
8．4
【分析】
由根与系数的关系，得 ，即可求出方程的另一个根．
【详解】
解：∵关于 的方程 的一根为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确得到 ．
或
；
（2）∵ ，
∴ ，
．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法和圆周角的性质以及三角形内角和定理，解题关键是根据方程特征选择恰当的方法和熟练运用圆周角的性质．
14．
【分析】
根据根的判别式大于0列不等式即可．
【详解】
解： ，
化简得， ，
∵关于 的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得， ．
10．
【分析】
由题意易得圆的直径为 ，上下两条传送带共20m，则这条传送带的长为圆的周长加上上下两条传送带的长，进而问题可求解．
【详解】
解：由图可得：圆的直径为 ，则有这条传送带的长为圆的周长加上上下两条传送带的长，
∵两个传动轮中心的距离是 ，
∴这条传送带的长为： ；
故答案为 ．
【点睛】
本题百度文库要考查弧长计算，熟练掌握弧长的计算是解题的关键．
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题关键是准确把握中心对称图形和轴对称图形的特征．
2．A
【分析】
根据必然事件的定义判断即可．
【详解】
解：A.实心铁球放入贡江水中，会下沉，是必然事件；
B.网上随机购一张电影票，座位号是奇数，是随机事件；
（1）列表（完成下列表格）．
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
6
3
2
3
3
6
…
（2）描点并在图中画出函数的大致图象；
（3）根据函数图象，完成以下问题：
①当函数 的图象向下平移______个单位时，图象与 轴有三个公共点；
②结合图象探究发现，当 满足______时，方程 有四个解．
19．如图， 中， ． 绕点 逆时针旋转，旋转角为 ，点 为点 的对应点．
AB=2 ，
BC= ；
故答案为：2或 或 ．
【点睛】
本题考查了勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解题关键是对中线进行分类讨论，合理设未知数，根据勾股定理列方程．
13．（1） ，（2）
【分析】
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）根据弧相等可得∠C=75°，用三角形内角和求∠A．
【详解】
解：（1） ，
三、解答题
13．（1）解方程： ；
（2）如图， 中， ， ，求 度数．
14．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
15．一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．
16．“赣江”是长江主要支流之一，江西省最大的河流．其东源出自石城县武夷山，称“绵水”，流经瑞金，在会昌县与“湘水”（江西）汇合，称“贡水”；其西源出自崇义县聂都山，称“章水”．“章水"与“贡水”在赣州市八镜台汇合，是为“赣江”．
江西省赣州市于都县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．下列事件是必然事件的是（）
A．实心铁球放入贡江水中，会下沉
【详解】
解：设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2
y＝x2﹣2xx1+x12+x2﹣2xx2+x22+x2﹣2xx3+x32+…+x2﹣2xxn+xn2
y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2），
则当x＝ 时，
二次函数y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2）最小，
（1）当 时，每瓶洗手液的价格是______元；当 时，每瓶洗手液的价格是______元；当 时，每瓶洗衣手液的价格为______元（用含 的式子表示）；
（2）若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？
21．如图，半 的直径 ， 为半圆一动点（不与 ， 重合）， 的延长线与直线 相交于点 ，且 ．
11．
【分析】
连接OB，根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC＝45°，过点B作BD⊥y轴于D，然后求出∠BOD＝60°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OD＝ OB，设OD=x，再利用勾股定理列式求出BD，从而表示点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可．
【详解】
4．B
【分析】
根据反证法的概念，即可得到答案．
【详解】
用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，即： ．
故选B．
【点睛】
本题主要考查反证法，掌握用反证法证明时，第一步应假设命题的结论不成立，是解题的关键．
5．C
【分析】
根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．
（1）求证： 为半 的切线；
（2）若 是 的平分线，且 于 ，连接 ．
①请判断线段 与 有什么位置关系，并说明理由；
②当 时，则 的长为______．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
9． ．
【分析】
根据题意，原点O为菱形 对称中心，则点B与点D关于原点对称，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵菱形 的对角线交于原点 ，
∴原点O为菱形 对称中心，
∴点B与点D关于原点O对称，
∵点 的坐标为 ，
∴点D的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，以及中心对称图形的性质，解题的关键是掌握菱形是中心对称图形，从而进行解题．
12．2或 或 ．
【分析】
根据30°角所对直角边等于斜边的一半，设BC=x，AB=2x，可求AC= ，对是哪条边的中线分类讨论，列方程即可．
【详解】
解：设设BC=x，
∵ ， ，
∴AB=2x，
∴ ，
当BC边上的中线长为 时，
∵x>0，解得x=2；
当AC边上的中线长为 时，
∵x>0，解得x= ；
当AB边上的中线长为 时，
【详解】
解：依题意，得：500（1−x）2＝380．
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】
先设出y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2，然后进行整理得出y＝nx2﹣2（x1+x2+x3+…+xn）x+（x12+x22+x32+…+xn2），再求出二次函数的最小值，再根据x的取值即可得出答案．
10．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是 ，求这条传送带的长______米．
11．如图，正方形 的一个顶点与原点 重合， 与 轴的正半轴的夹角为15°，点 在抛物线 的图象上，则 的长为______．
12．已知在 中， ， ，若该三角形的一中线长为 ，则 的长为______．
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求“两人抽取的河流能汇合”的概率．
17．如图， 、 、 均为 上的点，且 ，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．
（1）在图1中，在圆上取点 ，使 ；
（2）在图2中，作出 的一个余角．
18．某数学兴趣小组在探究函数 的图象和性质时，经历了以下探究过程：
小丽和小杰一起玩游戏：将“章水”、“贡水”、“绵水”、“湘水”分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小丽从中随机抽取一张卡片，小杰再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片．
（1）“赣江被抽中”是______事件，“章水被抽中”是______事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；
C.打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻，是随机事件；
D.任意画一个三角形，其内角和为360°，是不可能事件；
故选：A．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件和不可能事件的识别，解题关键是理解各种事件的意义．
3．B
【分析】
根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、点C不在 上，所以AC不是 的弦，故错误，不符合题意；
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为x，则可列方程（）
A． B．
C． D．
6．某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行 次测量，得到 个结果 ， ， ，…， （单位： ）．如果用 作为这条路线长度的近似值，要使得 的值最小， 应选取这 次测量结果的（）
B、因为点O是圆心，所以∠BOC是圆心角，故正确，符合题意；
C、点C不在 上，所以∠C不是圆周角，故错误，故不符合题意；
D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若 成立，则AC+OC＜OA+OB，
∴AC＜OA，与题干矛盾，
∴D选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．
（联想拓展）（3）如图3，在 中， ， ．点 在直线 上方且 ， ，求 的长．
参考答案
1．D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的特征判断即可．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
∴x所取平均数时，结果最小，
故选：C．
【点睛】
此题考查了方差和二次函数，关键是设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣xn）2，得到一个二次函数，求二次函数的最小值．
7．
【分析】
由题意易得“大”字有三个，然后根据概率计算公式可进行求解．
【详解】
解：由题意得“大”字有三个，
∴抽到“大”字的概率为 ，
A．中位数B．众数C．平均数D．最小值
二、填空题
7．在“大学习、大调研、大攻坚”九个汉字中，随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率为______．
8．若关于 的方程 的一根为1，则方程的另一个根为______．
9．在平面直角坐标系中，菱形 的对角线交于原点 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为______．
（1）请用尺规作图法画出旋转后的 ；
（2）若 ， ， ．求 的长．
20．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 瓶免洗抑菌洗手液．
B．网上随机购一张电影票，座位号是奇数
C．打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻
D．任意画一个三角形，其内角和为360°
3．如图， 是 的直径， 为圆内一点，则下列说法中正确的是（）
A． 是 的弦B． 是圆心角
C． 是圆周角D．
4．如图，在 中， ， ，求证： .当用反证法证明时，第一步应假设（）
A． B． C． D．
23．（问题提出）如图1，在等边三角形 内部有一点 ， ， ， ．求 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
（尝试解决）（1）将 绕点 逆时针旋转60°，得到 ，连接 ，则 为等边三角形．
， ， ，
为______三角形
的度数为______．
（类比探究）（2）如图2，在等边三角形 外部有一点 ，若 ，求证 ．
解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠BOC＝45°，
过点B作BD⊥y轴于D，
∵OC与y轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°+15°＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝ OB，设OD=x，
∴ ，
∴点B的坐标为（ ，x），
∵点B在抛物线y＝ x2的图象上，
∴ （ ）2＝x，
解得x＝1．
∴OB=2,设AO=AB=a，
2a2=4，
∵a>0，解得a= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°，然后表示点B的坐标是解题的关键．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
8．4
【分析】
由根与系数的关系，得 ，即可求出方程的另一个根．
【详解】
解：∵关于 的方程 的一根为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确得到 ．