20、第六章平面波法 布里渊区 紧束缚方法(杨)

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Kn = 0 ; Kn = Kl
h 2k 2 − E ( k ) a (0 ) + V ( − K l ) a ( K l ) = 0 2m h2 2 (k + K l ) − E ( k ) a ( K V ( K l ) a (0 ) + 2m
m≠n
(3)
∑V ( K
n
− K m )a( K m ) = V ( K n )a(0)
中心方程简化为(m=0,Km=0) 中心方程简化为(m=0,Km=0)
h2 h2 k 2 (k + K n ) 2 − 2m a( K n ) + V ( K n )a(0) = 0 2m
a( K n ) = −V (Kn ) h2 [( k + K n ) 2 − k 2 ] 2m
d=
2π Kh
其中
K h = K l m , m 为整数。由图可知 为整数。 Kl 2π sinθ = k sinθ = 2 λ
代入前式得到
2d sinθ = mλ
布拉格反射公式。 布拉格反射公式。
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§5.6 布里渊区
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1930年布里渊在研究能带中电子的能量时， 1930年布里渊在研究能带中电子的能量时，发现当电子几率波的波 年布里渊在研究能带中电子的能量时 矢k越过倒易格矢量的中垂面的时候，电子的能量在界面上产生不连续 越过倒易格矢量的中垂面的时候， 的变化。 的变化。 布里渊提出用倒易格矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从而 布里渊提出用倒易格矢量的中垂面来划分波矢空间的区域， 更清晰地分析电子的能带。 更清晰地分析电子的能带。 要知道一个能带中 有多少个量子态，必须 有多少个量子态， 求出在一个布里渊区中 有多少允许的波矢k 有多少允许的波矢k的取 值
Brillouin, Léon (1889-1969) FrenchAmerican physicist
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§5.6 布里渊区 一、布里渊区定义： 布里渊区定义：
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选定倒易点阵的任何一个格点为原点， 选定倒易点阵的任何一个格点为原点，将此点出发的所有倒易格矢量 Kn作垂直平分面，这些面统称为布拉格面 Kn作垂直平分面，这些面统称为布拉格面。 布拉格面。 作垂直平分面 布喇格面将波矢空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。（倒空间 布喇格面将波矢空间划分为一系列的区域，称为布里渊区。（倒空间 。（ 的维格纳－赛兹原胞） 的维格纳－赛兹原胞） 其中最靠近原点的平面所围的区域称为第一布里渊区。 其中最靠近原点的平面所围的区域称为第一布里渊区。 最靠近原点的平面所围的区域称为第一布里渊区 第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二布里渊区。 第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域为第二布里渊区。 第二布里渊区 第一、第二布里渊区界面与再次远垂直平分面围成的区域为第三布里 第一、第二布里渊区界面与再次远垂直平分面围成的区域为第三布里 渊区，依此类推。 渊区，依此类推。
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§5.6 布里渊区 三、布里渊区的特点 1、每个布里渊区的体积都是相同的，且等于倒格子原胞的体积。 每个布里渊区的体积都是相同的，且等于倒格子原胞的体积。
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由布里渊区的构成定义可知：各个布里渊区的形状都是对原点对称 由布里渊区的构成定义可知： 的，若某布里渊区分成n个部分，则各部分的分布是对原点对称的。各 若某布里渊区分成n个部分，则各部分的分布是对原点对称的。 布里渊区经过适当的平移，比如移动一个倒格矢Kh，都可移到第一布 布里渊区经过适当的平移，比如移动一个倒格矢Kh， 里渊区且与之重合。 里渊区且与之重合。 2、布里渊区形状由布拉菲格子决定。 布里渊区形状由布拉菲格子决定。 由于倒格子基矢是根据正格子基矢来定义的， 由于倒格子基矢是根据正格子基矢来定义的，所以布里渊区的形状 完全取决于晶体的布喇菲格子，无论晶体是由哪种原子组成，只要其布 完全取决于晶体的布喇菲格子，无论晶体是由哪种原子组成，只要其布 拉菲格子相同，其布里渊区形状也就相同。 拉菲格子相同，其布里渊区形状也就相同。
(6 )
由以上两式可解得
h 2k 2 E (k ) = ± V (Kl ) 2m
V (− K l ) = V ∗ ( K l )
(7)
在求解上式中利用了关系式 能量发生分裂。 k + K n = k 2 能量发生分裂。
2
（7）式表明，当波矢满足 式表明，
两能级之间不存在允许的电子态，该能量区间称为禁带宽度 两能级之间不存在允许的电子态，
0
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ψ (r ) =
0 k
1 e ik ⋅ r NΩ
即波函数展开式中 ψ k ( r ) =
1 NΩ
∑ a (K )e (
m m
i k + K m )⋅ r
(2)
a(0) ~ 1,
其他系数
a( K n )
是小量。 是小量。
电子的近自由电子行为是由势场决定的，此时的势场，属于弱势场： 电子的近自由电子行为是由势场决定的，此时的势场，属于弱势场： 势能展式的系数
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§5.6 布里渊区
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六方格子的倒格子仍然是六方。本图中用红色实心圆点标示倒格点， 六方格子的倒格子仍然是六方。本图中用红色实心圆点标示倒格点， 以某一倒格点0为原点作各倒格矢的中垂线， 以某一倒格点0为原点作各倒格矢的中垂线，即得出图中的以不同颜色 标明的各布里渊区。本图中给出了五个布里渊区。 标明的各布里渊区。本图中给出了五个布里渊区。
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§5.4
平面波方法
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h2 2 iK l ⋅ r ∑ 2m k + K m − E (k ) + ∑ V ( K l )e a (K m )e i (k + K m )⋅r = 0 l m 1 e − i ( k + K n )⋅ r 上式乘以 NΩ 1 NΩ
k′ = k + K l
的模相等，而且，若把k k ′ 与 k 的模相等，而且，若把k看作 K l 中垂面 中垂面的反射波矢。 k ′ 恰是 K l 中垂面的反射波矢。
的入射波矢， 的入射波矢，则
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§5.4
平面波方法
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垂直的晶面族引起的。 k ′ 态的反射波就是与 K l 垂直的晶面族引起的。 这组晶面的面间距为
上式称为中心方程 上式称为中心方程。为 中心方程。
(3)
∞×∞
阶行列式。由此可解E(k)，并写出 ψ k (r ) 阶行列式。由此可解E(k)，
因为Kn、Km遍及所有倒格矢 因为Kn、Km遍及所有倒格矢。 遍及所有倒格矢。
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§5.4 的近似。 的近似。
平面波方法
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在计算精度范围内，我们可取有限项平面波来作（2）式电子波函数 在计算精度范围内，我们可取有限项平面波来作（ 有解的条件是它们的系数行列式必须为零。 a ( K n ), a ( K m ) 有解的条件是它们的系数行列式必须为零。即
h2 2 ˆ H =− ∇ + V (r ) 2m
V (r ) = V (r + Rn )
V (r ) = V (r + Rn ) = ∑V ( Km )e iKm ⋅(r + Rn ) = ∑V ( Km )e iKm ⋅r ⋅e iKm ⋅ Rn
m m
e iK m ⋅ Rn = 1
必须是2 的整数倍， 必须是倒格矢。 因此 Km ⋅ Rn 必须是2π 的整数倍，即 K m 必须是倒格矢。
Kn = 0 Kn = Kl
两个方程，即 两个方程，
2
时，满足布拉格反射条件。即 满足布拉格反射条件。 时，a
or
(0 ) 和 a(K l )
都很大，因此在中心方程组 都很大，
中无限多个方程中，只需考虑 K n = 0 中无限多个方程中，
;
Kn = Kl
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§5.4
平面波方法
)= 0 l
再对晶体积分， 再对晶体积分，并利用平面波的正交归一性
1 e i ( K n − K m )⋅r dr = δ K n , K m NΩ ∫NΩ
得到待定系数的线性齐次方程组 得到待定系数的线性齐次方程组
h2 2 (k + Kn ) − E(k )a( Kn ) + ∑V ( Kn − Km )a( Km ) = 0 m≠ n 2m
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§5.4 布洛赫波函数为
平面波方法
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ψ k ( r ) = e ik ⋅ r u k ( r )
u k ( r + R n ) = u k ( r )
(1)
求解薛定谔方程时首先应找合理的近似方案表示 uk(r) ，才能求得能 带解E 带解E（n）。将周期因子作付里叶展开 ）。将周期因子作付里叶展开
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§5.6 布里渊区 二、布里渊区的界面方程
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布里渊区界面是某倒格矢Kn的垂直平分面 如果用k 布里渊区界面是某倒格矢Kn的垂直平分面，如果用k表示倒格空间的 的垂直平分面， 矢量，它的端点落在布里渊区界面上，必须满足 矢量，它的端点落在布里渊区界面上，
k ⋅Kn = 1 2 Kn 2 (1 )
§5.4
平面波方法
能带论的中心任务：是求解晶体周期场中单电子的薛定谔方程： 能带论的中心任务：是求解晶体周期场中单电子的薛定谔方程： 平面波法是严格求解周期势场中单电子的薛定谔方程的方法。 平面波法是严格求解周期势场中单电子的薛定谔方程的方法。 严格求解周期势场中单电子的薛定谔方程的方法
ˆ H ψ k ( r ) = E ( r )ψ k ( r )
E g = 2V ( K l )
(8)
禁带宽度由势场的付里叶级数的系数决定。 禁带宽度由势场的付里叶级数的系数决定。
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§5.4
平面波方法
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k + Kl
上式改写为 几何描述： 几何描述：
2
= k 2 式的物理意义
Kl Kl ⋅ k + = 0 2
(9)
垂直， k + K l 2 矢量与 K l 垂直，k的末端落在 的中垂面上。 K l 的中垂面上。 令 由图看出， 由图看出，
V (K l ) → ∆
是小量， 是小量，
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§5.4 平面波方法 忽略掉二级小量， 忽略掉二级小量，则中心方程的求和项
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h2 2 ( k + K n ) − E ( k ) a ( K n ) + ∑ V ( K n − K m )a ( K m ) = 0 m≠n 2m
uk (r ) =
∑ a (K )e
l l
iK l ⋅ r
ψ k (r ) =
1 NΩ
∑ a (K )e
l l
i (k + K
l
)⋅ r
(2)
1 :波函数归一化因子。这是ψ k (r ) 按平面波展开的表示式。 波函数归一化因子。 按平面波展开的表示式。 NΩ
可见，周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加。 可见，周期场中单电子波函数是一系列相差一个倒格矢的平面波的叠加。 将势能和波函数代入薛定谔方程，可得到一个有关展开系数的方程： 将势能和波函数代入薛定谔方程，可得到一个有关展开系数的方程： 一个有关展开系数的方程
K Kn ⋅ k + n = 0 2
即在倒格子空间中，凡满足上式的k的端点的集合构成布里渊区界面，因 即在倒格子空间中，凡满足上式的k的端点的集合构成布里渊区界面， 而称上式为布里渊区的界面方程。 而称上式为布里渊区的界面方程。 布里渊区是衍射条件的几何表示法。 布里渊区是衍射条件的几何表示法。
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§5.4
a(K n ) =
平面波方法
−V (Kn )
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h2 [( k + K n ) 2 − k 2 ] 2m 上式看出，展开系数取值特点： 上式看出，展开系数取值特点：
k + Kn
也是小量。 也是小量。
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远离
k
2
时，由于
V ( Kn )
是小量， 是小量，所以
a( K n )
k + Kn → k2
近似处理方法： 近似处理方法：
h2 (k + K n )2 − E (k ),L K m = K n = 2m V ( K − K ),L K ≠ K n m m n
(5)
当电子近似于自由电子时， 当电子近似于自由电子时，其零级波函数为
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§5.4
平面波方法
h 2k 2 ; E (k ) = 2m
h2 2 det ( k + K n ) − E ( k )δ K n , K m + V ( K n − K m ) = 0 2m
以 为行的标记， K n 为行的标记， K m
(4)
为列的标记，行列式的对角元和非对角元为： 为列的标记，行列式的对角元和非对角元为：
λK
n ,Km