水力学——水静力学

第一章 水静力学
考点一 静水压强及其特性
1、静水压强的定义：静止液体作用在受压面每单位面积上的压力称为静水压强。

2、静水压强的特性：
（1）静水压强垂直于作用面，并指向作用面的内部； （2）静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等。

考点二 几个基本概念
1、绝对压强：以绝对真空为零点计量得到的压强，称为绝对压强，以abs p 或 p ’ 表示；
2、相对压强：以当地大气压作为零点计量的压强，称之为相对压强，用p 表示。

3、真空与真空度：
（1）真空现象：如果p ≤0，称该点存在真空； （2）真空度：指该点绝对压强小于当地大气压的数值。

p p p p a k =-='
4、相对压强与绝对压强之间的关系：
a p p p -='
5、压强的表示方法：
1 （atm ）＝ 10 (mH 2O) ＝ 98000 (N/m 2) ＝ 98 (kN/m 2) =736（mm 汞柱）
考点三 液体平衡微分方程式（Euler 方程）
绝对压强计算基准面
p’N
p
1、微分方程：液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体上的各种力之间的关系式。

2、综合表达式——压强差公式 ：
）＝
z Z y Y x X z z
p
y y p x x p p d d d (d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂ρ ）
＝z Z y Y x X p d d d (d ++ρ 3、积分结果 ：
若存在一个与坐标有关的力势函数U (x ,y ,z )，使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧∂∂=
∂∂=∂∂=z U Z y U Y x U
X 可得
U z Z y Y x X z z
U
y y U x x U p d d d d (d d d d ρρ=++=∂∂+∂∂+∂∂）＝
U p d d ρ＝
积分上式得到： C U p +ρ＝ 或者 )(00U U p p -+ρ＝ 式中， 为自由液面上的压强和力势函数。

考点四 等压面
1、定义：静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。

2、等压面方程：在等压面上，0=dp ，等压面的方程为
0=++Zdz Ydy Xdx
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨
⎧=
∂∂=∂∂=
∂∂Z
z
p Y y p X x p ρρρ
3、等压面的特性： （1）在等压面上，p=c ；
（2）等压面与质量力的方向正交； （3）等压面也是等势面。

举例1：
如果液体在静止状态下，也即，作用于液体上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是一个水平面；就一个大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。

举例2：
旋转液体中的相对平衡。

一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂轴旋转，液面的形状是一个旋转抛物面。

等压面是旋转抛物面。

举例3：
作等加速直线运动的容器中液体相对平衡，液面是一个斜平面。

等压面是倾斜平面。

考点五 重力作用下液体的平衡
1、压强计算公式： h p p γ+=0 特性：（1）0p 等值的传到液体内任一点； （2）p 随h 成线性变化。

2、水静力学基本方程：C p
z =+
γ
或 2
2
21
1
1γγp z p z +
=+
式中，0p 为液面压强； h 为所测点在自由液面以下的深度；γ为液体重度；z 为液体内任一点距基准面的距离；C 为常数。

3、物理意义：平衡液体内部同种液体任意两点测压管水头相等。

z ——位置水头，表征单位重量液体所具有的位置势能；
γp
——压强水头，表征单位重量液体所具有的压强势能； γ
p
z +
——测压管水头，表征单位重量液体所具有的总机械能。

考点六 几种质量力同时作用下液体的相对平衡
1、.等角速旋转运动
图示为盛有液体的开口圆桶，设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与圆桶底面的交点上，z 轴垂直向上。

则有
（1）等压面方程： z g r z =+
-22
2ω （旋转抛物面）
（2）压强分布方程： C g
r p
z =-
+
22
2ωγ
（3）压强计算公式： h p p γ+=0 （压强分布规律与仅有重力作用下时相似） 式中，ω为角速度；r 为欲测压强点到旋转轴的距离；z 为任一点的垂直坐标，z 轴向上为正，向下为负；h 表示任一点在自由液面以下的深度。

注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程！
2、等加速直线运动
图示为一水箱，沿着与水平面成α角的斜面以等加速度a 作直线运动，设作用于液面的压强为p 0，取如图所示的坐标系，则有：
（1）等压面方程： C x g
a a z ++-
=αα
sin cos （倾斜平面）
（2）压强分布方程： ])sin (cos )[/(0z g a x a g p p ++-=ααγ
（3）压强计算公式： h p p γ+=0 （压强分布规律与仅有重力作用下时相似） 式中， h 表示任一点在自由液面以下的深度。

注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程！
考点七 作用于平面上的静水总压力
1、 作用于矩形平面上的静水总压力（特殊情况） （1） 静水总压力的大小：V b S P =•= 式中，S ——静水压强分布图的面积 b ——矩形平面的宽度
V ——静水压强分布图的体积
（2） 静水总压力的方向：垂直指向作用面。

（3） 静水总压力的作用点：通过静水压强分布图的形心。

2、作用于任意平面上的静水总压力（一般情况）
图示为一任意形状平面EF 倾斜置放于水中，与水平面的夹角为α，平面面积为A ，平面形心点为c 。

（1）静水总压力的大小：A h A p P c c γ==
式中，c p ——该平面形心点的压强 A ——平面的面积
c h ——平面形心点c 在液面下的淹没深度
（2）静水总压力的方向：垂直指向作用面。

（3）静水总压力的作用点（压力中心）：（压力中心在形心点以下）
)/(A L ΙL L c c c D +=
压力中心距形心的距离为
)
/(A L ΙL L e c c c D =-=
式中，c L 为平面EF 形心点c 距ob 轴的距离；c h 为平面EF 形心点c 在液面下的淹没深度；D L 为压力中心距ob 轴的距离；e 为偏心距；c Ι为平面EF 对通过其形心c 并与ob 轴平行的轴的面积惯性矩，对于矩形断面12/3bL I c =，对于圆形断面，4/4R I c π=。

考点八 作用于曲面上的静水总压力
求曲面上的静水总压力P ，可将总压力分为水平分力x P 和垂直分力z P ，然后求其合力P 。

1、静水总压力的水平分力
（1）大小：作用在曲面上的静水总压力的水平分力P x ，等于作用在该曲面的铅垂投影面A x 上的静水总压力。

x c x c x A h A p P γ==
（2）方向和作用点：方向垂直指向铅垂投影面A x ；水平分力P x 的作用线应通过A x 平面的压力中心。

2、静水总压力的垂直分力
（1）大小：静水总压力的垂直分力P z 的大小等于压力体的水重，即
V P z γ=
式中，V 为压力体的体积。

（2）方向：实压力体垂直分力z P 的方向向下；虚压力体P z 的方向向上。

（3）作用点：垂直分力P z 的作用线，应通过压力体的体积形心。

3、压力体
（1）压力体的画法：
压力体由下列周界所围成：（a ）受压曲面本身；（b ）液面或液面的延长面；（c ）通过曲面边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。

（2）实压力体：当液体和压力体位于曲面同侧时，此时的压力体称为实压力体，垂直分力z P 的方向向下；
（3）虚压力体：当液体及压力体各在曲面一侧时，这个想象的压力体称为虚压力体，则P z 的方向向上，如图所示。

4、曲面上的静水总压力的大小、方向及其作用点 由力的合成原理，曲面上的静水总压力的大小为 22z x P P P +=
静水总压力与水平面之间的夹角为 x z P P /tan =α
典型例题
【例1】 一容器中有三种不同的液体，321γγγ<<，如图所示。

试求：(1)三根测压管中的液面是否与容器中的液面齐平，如不齐平，试比较各测压管中液面的高度？（2）62.71=γkN/m 2、561.82=γkN/m 2、
8.93=γkN/m 2，m 5.21=a 、m 5.12=a 、m 13=a 时，求1h 、2h 和3h 。

（3）图中1-1、2-2、3-3三个水
平面是否都是等压面？ 解：
（1）已知321γγγ<<，由习题2.49的推证可知，三根测压管中的液面不齐平。

由于第一根测压管中的液体与油箱中的液体为同一种液体，且上面只有一种液体，所以第一根测压管中的液面与水箱中的液面同高。

其余测压管中的液面均低于水箱的液面，且第三根测压管中的液面低于第二根测压管中的液面。

【例1】图
（2）求1h 、2h 和3h 对于第三根测压管，有
)()(3333332211h h h a a a ∆-=∆-++γγγγ
m 254.415.18
.9561
.88.95.262.733223113=+⨯+⨯=++=a a a h γγγγ （1） 对于第二根测压管，有
)()(232222211h a h h a a ∆--=∆-+γγγ
m 725.415.15.2561
.862
.7322112=++⨯=++=a a a h γγ （2） 对于第一根测压管，有
m 515.15.23211=++=++=a a a h （3） （3）求等压面
由图中可以看出，只有3-3面为等压面。

【例2】矩形木箱长3m ，静止时液面离箱底1.5m ，
现以a =3m/s 2的加速度水平运动，试计算此时液面与水平面的夹角以及作用在箱底的最大压强与最小压强。

解：
已知加速度的方向与 x 的方向一致，则惯性 力的方向与加速度的方向相反。

在x 、y 、z 方向的单位质量力分别为X =-a 、Y =0、Z =-g 。

由静止
【例2】图
液体的平衡方程得
)(Zdz Ydy Xdx dp ++=ρ
)(/)(gdz adx g gdz adx dp +-=--=γρ
对上式积分得 C gz ax g p ++-=)(/γ
下面确定积分常数C ，在坐标原点，x =z =0，p =p a ，代入上式得C =p a 。

由此得
)(/gz ax g p p a +-=γ
在自由表面，p =p a ，由上式可得
306.08.9/3//tan ====g a x z α
则
02.17306.0arctan arctan ===αα
下面求箱底的最大压强和最小压强。

由图中可以看出，在A 点压强最大，x =-1.5、z =-1.5； B 点压强最小。

x =1.5、z =-1.5。

如果不考虑大气压强，则
2max kN/m 2.19)]5.1(8.9)5.1(3[(1)(=-⨯+-⨯⨯-=+-=gz ax p A ρ
2
min kN/m 2.10)]5.1(8.9)5.1(3[(1)(=-⨯+⨯⨯-=+-=gz ax p B ρ
【例3】设有一盛满水的容器，在盖板中心开一小孔，如图所示。

已知容器的高度为H ，绕铅垂轴旋转的角速度为ω，试求容器盖板及底部的压强分布，并求盖板上的静水总压力。

解：
当容器以等角速度ω沿铅垂轴旋转时，相对压强为零的等压面如图中的虚线所示，因为盖板的阻挡，迫使水面不能上升，盖板上各点所受的相对
【例3】
压强为
g
r p 22
2ωγ
=
在盖板的中心，0=p ，在盖板的边沿，)2/(2
02g r p γω=。

其方向铅垂向上。

容器底部各点所受的压强为 )2(
2
2H g
r p +=ωγ
在容器的中心，H p γ=，在容器的边沿，)2(
2
02H g
r p +=ωγ。

其方向铅垂向下。

作用在盖板上微小面积的压力为
dr r g
rdr g
r pdA dP 322
2)2(2π
ωγ
πωγ
===
对上式积分得盖板上的静水总压力为
4020
3
20
40
r g
dr r g
pdA P r r π
ωγ
π
ωγ
===⎰
⎰
【例4】一可在o 点旋转的自动矩形翻板闸门，其宽度b =1m ，如图所示。

门重G =10kN ，求闸门打开时的水深h 。

解：
闸门的长度为m 5.25.122
2=+=
AB ，
闸门铰的位置距B 点1m ，BC =1.25m 。

作用在闸门上的静水总压力为
【例4】图
)1(5.2415.2)1(22
8
.9)2(2-=⨯⨯-⨯=
⨯+-=
h h b AB h h P γ
总压力作用点距B 点的距离为 1
4
365.22)2(235.2--=+-+-=h h h h h h e
已知闸门自重G =10kN ，闸门中心距o 点的垂直距离为(1.25-1)×cos 53.13º=0.15m ,要使闸门在o 点旋转，
其压力作用点必在o 点以下，对o 点取力矩为
5.115.01015.0)1(=⨯=⨯=-G e P
即 5.1)1
4
365.21()1(5.24=---⨯-h h h
由上式解出h =2.422m 。

【例5】圆弧门如图所示，门宽b =2m ，圆弧半径R =2m ，圆心角α=90º，上游水深H =5m ，试求：（1）作用在闸门上的水平总压力及作用线位置；（2）作用在闸门上的铅直总压力及作用线位置；（3）忽略门的重量，求开门所需的力F ；（4）求作用于铰链o 的力矩。

解：
（1）水平方向的总压力和作用点 水平方向的总压力为
kN 8.15622)525(8.92
1
)(21=⨯⨯+-⨯⨯=+-=Rb H R H P x γ
（a ） (b)
【例5】图 作用点距闸底的距离e 为
m 917.05
)25(5
)25(232)()(23=+-+-⨯⨯=+-+-=
H R H H R H R e
作用点距水面的距离h D 为 m 083.4917.05=-=-=e H h D （2）铅垂方向的总压力和作用点 压力体如图所示，由图可得
32
2
m 2832.1824
222)25(4
)(=⨯⨯+
⨯⨯-=+
-=ππb R Rb R H V
铅垂方向的总压力为 kN 175.179283.188.9=⨯==V P z γ （3）作用在闸门上的静水总压力为 kN 11.238175.1798.1562222=+=+=
z x P P P
方向角
81.48)8.156/175.179arctan )/arctan(===x z P P β
由于静水总压力的作用线通过圆心，由作图法，求得铅垂方向的总压力距o 点的距离为0.947m 。

（4）求开门所需的力F
kN 175.179==z P F
（5）求作用于铰链o 的力矩
由于静水总压力的作用线通过圆心，所以静水总压力的力矩为0 。

【例6】有一球形容器由两个半球铆接而成，下半球固定，容器中充满水，如图所示。

已知h =1m ，D =2m ，
如果下半球固定不动，求全部铆钉所受的力，如果上半球的重量kN 5=G ，求作用在铆钉上的拉力T 。

如果上半球固定，求全部铆钉所受的力。

（a ） （b ） （c ）
【例6】图 解：
（1）如果下半球固定， 压力体如图（b ）所示。

铆钉所受的全部力上z P F =，压力体的体积为
33232m 189.4212
1)122(2416121)2(41=⨯⨯-+⨯⨯=-+=ππππd h d d V 上
全部铆钉所受的力为 kN 05.41189.48.9=⨯===上上V F P z γ 如果有n 个铆钉，每个铆钉所受的力为F /n 。

（2）如果下半球固定，上半球的重量kN 5=G ，求作用在铆钉上的拉力T
kN 05.36505.41=-=-=G P T z 上
（3）如果上半球固定，压力体如图（c ）所示，铆钉所受的全部力下z P T =，压力体的体积为
33232m 376.8212
1)122(2416121)2(41=⨯⨯++⨯⨯=++=ππππd h d d V 下
全部铆钉所受的力为 kN 1.82376.88.9=⨯===下下V T P z γ
【例7】盛水容器底部有一半径r =2.5cm 的圆形孔口，该孔口用半径R =4cm ，自重G =2.452N 的圆球封
闭，如图所示。

已知水深H =20cm ，试求球升起时所需的拉力T 。

解：
用压力体求铅直方向的静水总压力。

压力体如图中（b ）所示。

由图中可以看出
)3
4
()()(32afgb cfed afgb dhg cef acdb dhg cef V R V V V V V V V V P -=+-+==-+=πγγγ
2cos
313
4360232α
ππαπR r R H r V acdb -⋅+=
（a ） （b ）
【例7】图
625.04
5.22
sin
===
R r α
， 3644.77625.0arcsin 2==α，则 3
4232
m 102987.423644.77cos 04.0025.03104.034360
3644.772.0025.0-⨯=⨯⨯-⨯⋅+⨯⨯=
πππacdb
V N 586.1)102987.404.03
4
(9800)34(433-=⨯-⨯⨯=-=-ππγafgb V R P
N 038.4586.1452.2=+=-=P G T
【例8】由三个半圆弧联结成的曲面ABCD ，如图所示。

其半径m 5.01=R ，m 0.12=R ，m 5.13=R ，曲面宽m 2=b ，试求该曲面所受的压力。

（a ） （b ）
【例8】图
解：
m 65.120.125.02222321=⨯+⨯+⨯=++=R R R h
kN 8.352268.921
2122=⨯⨯⨯==b h P x γ
压力体如图(b)所示 πππ25.025.021212
211=⨯⨯==b R V
πππ=⨯⨯==20.121212222b R V
πππ25.225.12
1212
233=⨯⨯==b R V
kN 18.46)25.20.125.0(8.9)(321=+-⨯=+-=πγV V V P z
kN 81.35518.468.3522222=+=+=z x P P P。