5图形变换

• 对⊿ABC实施如下几何变换，写出变换矩阵。
2 M 2 2 2 0 2 0 0 1
P' x
2 0 0 2 2 0 2 0 2 2 y 1* 0 0 1 0
T1 缩放变换
2 2 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 1 2 0 1
Y
30
变换矩阵为：
20
10
0 10 20 30 X
cos T4 sin 0
sin cos 0
0 0 1
5）将轴线平移回原来的位置
Y
30
变换矩阵为：
20
10
。
0 10 20 30 X
1 0 0 T5 0 1 0 0 b 1
X
0 10 20 30
整个图形变换的复合变换矩阵：
P' P * T1 * T2 * T3 3 0 0 2 1 0 * 1 P* 1 0 2 10 25 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 0 * 0 1 0 1 10 25 1
y ' 1 x S x
y S y 1 x
Sx y 1 0 0
0 Sy 0
0 0 1
Sx=Sy>1 原图 原图 Sx<Sy
Sx=Sy<1
Sx>Sy
(a) Sx=Sy比例
(b) Sx<>Sy比例
比例变换
5.2.3 旋转变换矩阵 将p点绕坐标原点转动某 个角度（逆时针为正，顺 时针为负）得到新点p’的 过程。 p点的极坐标表示：
1 b 0 y 1 c 1 0 0 0 1
• 二维变换矩阵T2D
x'
y ' 1 x
y 1 T2 D x
a d b e ：对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c f ：对图形进行平移变换。 g ：对图形做投影变换。 h i ：对整体图形进行伸缩变换。
相应的齐次坐标矩阵表示为：
x'
y' 1 x cos y sin
x cos y 1 sin 0
x sin y cos 1
sin cos 0 0 0 1
5.2.4 对称变换矩阵 将p点关于原点或某个坐 标轴对称得到新点p’的过 程。
T3平移变换
T2旋转变换
§5.4 二维图形裁剪
• 计算机图形学中常用的坐标系：
设备坐标系
观察坐标系
窗口
用户坐标系
视区 Viewport
规格化设备坐标系是将设备坐标系规格化到（0.0， 0.0）到（1.0，1.0）的范围内而定义的坐标系。
视窗变换
Yw
窗口
(x w , y w)
设窗口的四条边界WXL、WXR 、WYB、WYT WYT 视图的四条边界VXL、VXR 、VYB、VYT
第五章 二维变换和裁剪
• 5.1 图形几何变换基础 • 5.2 二维图形基本几何变换矩阵 • 5.3 二维复合变换 • 5.4 二维图形裁剪 • 5.5 Cohen-Sutherland直线段裁剪算法 • 5.6 中点分割直线段裁剪算法
• 5.7 梁友栋-Barsky直线段裁剪算法
§5.1 图形几何变换基础
T1 T2 T2 T1
5.3.2 相对于任一参考点的二维几何变换
二维基本几何变换都是相对于坐标原点进行的。 相对于任一参考点的变换方法为首先将参考点平 移到坐标原点，对坐标原点进行二维基本几何变 换，然后再将参考点平移回原位置。
Y
30
Q（10, 25）
20
三角形相对于点Q（10， 25）逆时针旋转30度， 求变换后的三角形顶 点坐标。
0 10 20 30 X
1）将点（0，b）平移至坐标原点
Y
30
20
变换矩阵为：
1 0 0 T1 0 1 0 0 b 1
10
0 10 20 30 X
2）将轴线y=kx绕坐标原点顺时针旋转β角 (β=arctank)，落于x轴上
Y
变换矩阵为：
cos T2 sin 0
Y P' r
β
r
α
P X
x r cos y r sin
x' r * cos
旋转变换
y’ 是多少？
r * (cos * cos sin * sin ) x * cos y * sin
旋转变换的坐标表示为：
x' r cos( ) x cos y sin y ' r sin( ) x sin y cos
§5.3 二维复合变换
• 任何一复杂的几何变换都可以看作基本几何变 换的组合形式。 • 复合变换：由若干个基本的几何变换复合而成 的复杂几何变换。 • 变换结果为每次基本变换矩阵的乘积：
P' P T P T1 T2 Tn
注意：矩阵乘法不满足交换律，进行复合变换时， 需要注意矩阵相乘的顺序。
Y
关于原点对称的坐标 表示：
X
x' x y' y
x'
y ' 1 x y 1 x
关于y=x对称的变换矩阵？
1 0 0 0 1 0 y 1 0 0 1
5.2.5 错切变换矩阵 将p点沿x和y轴进行不等量变换得到新点p’的过程。
5.3.3 相对于任一方向的二维几何变换
相对于任意方向的变换方法为首先对任意方向做 旋转变换，使变换方向与坐标轴重合，然后对坐 标轴进行二维基本几何变换，最后做反向旋转变 换，将任意方向还原回原来的位置。
Y
30
y=kx+b
20
（0，b）
10
对所示三角形相对于 轴线y=kx+b作对称 变换，求每一步相应 的变换矩阵。
0
sin cos 0 0 0 1
0 0 1
10
20
30
X
3 2 1 2 0
1
2 3 2 0
3）参考点Q平移回原位置
Y
P3
变换矩阵为：
10
P2
30
20
Q
10
P1
1 0 0 0 1 0 T3 10 25 1
10
0
10
20
30
X
1）Q点平移至坐标原点
Y
变换矩阵为：
30 20
10
。
1 0 0 T1 0 1 0 10 25 1
X
0 10 20 30
2）三角形相对于坐标原点逆时针旋转30度
Y
变换矩阵为：
30 20
10
。
cos T2 sin 0
视区
(x v , y v)
VYB Ou VXL VXR
Xv
窗口与视区的对应关系
VXR VXL xv ( xw WXL ) VXL WXR WXL
VYT VYB yv ( yw WYB ) VYB WYT WYB
令
VXR VXL VXR VXL a c WXL VXL WXR WXL WXR WXL
0 10 20 30 X
30
sin cos 0
20
。
10
0 0 1
3）三角形相对x轴作对称变换
Y
30
变换矩阵为：
20
10
。
0 10 20 30 X
1 0 0 T3 0 1 0 0 0 1
4）将轴线y=kx逆时针旋转β角(β=arctank)
1000 1010
1001
1、窗口内
0010 2、明显在窗 口外 3、其它情况
0001
0000
0101
0100
0110 动画演示
Cohen-Sutherland 算法
• 其它情况的处理：
对于窗口外的一个端点，此端点与线段和边界的交点 之间的区段不在窗口中，从而可以裁去，这相当于用 交点来取代这个端点。然后看线段是否全在窗口内。
y y
y
O
x
O
x
O
x
（a）正方 形
（b）沿+x方向错切
（c）沿-x方向错切
y
y
y
O
x
O
x
O
x
（d）沿+y方向错切
（e）沿-y方向错切
（f）沿+x和+y方向错切
x' x cy 沿x，y方向的错切变换的坐标表示为： y ' bx y
相应的齐次坐标矩阵表示为：
x'
y ' 1 x cy bx y 1 x
0 1 Ty
0 0 1
5.2.2 比例（缩放）变换矩阵 对p点相对于坐标原点沿x 方向放缩Sx倍，沿y方向 放缩Sy倍的过程。比例变 换的坐标表示为：
Y
P'(4,3) P(2,1)
x' x S x y' y S y
X 比例变换(Sx=2,Sy=3)
x '
§5.2 二维图形基本几何变换矩阵
5.2.1 平移变换矩阵
将坐标点从位置移动到 另一位置的过程。平移 变换的坐标表示为：
Y C*
Ty
C A O B
A
*
B
*
x ' x Tx y' y Ty
Tx
X
x'
y ' 1 x Tx

y T y 1 x

1 y 1 0 Tx
a y 1 b c
d e f
g h i
x *
y * 1 x
1 0 0 y 1 0 1 0 若i 1, 则总体缩小；否则，总体放大 0 0 i
符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换 （Affine Transformation）。
1000
0001 f
e
1010
p1 0000
p0 d p1
0010
0101
0100
p0
Cohen-Sutherland 算法
• 算法：
– (1)检查线段P0P1是否为完全可见，或完全不可 见，对于这两种情况或完全取之，或完全弃之， 否则“2”; (2) 找到P0P1在窗口外的一个端点P0 (或P1);
x' a11x a12 y a13 y ' a21x a22 y a23
1）变换后的坐标x’和y’都是变换前的坐标x和y的线性函 数，具有可逆性。 2）仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射到有 限点的一般特性。 3）平移、比例、旋转、反射和错切五种变换都是二维仿 射变换的特例，任何一组二维仿射变换总可表示为这五 种变换的组合。
–
–
–
(3) 用窗口的对应边与P0P1的交点取代该端点P0 (或P1);
• 判断直线段和窗口的关系 • 两个主要步骤：
– 首先将不需要裁剪的直线挑出 – 对其余直线与窗框求交，删去外面部分
• Cohen-Sutherland 算法（1968） • 梁友栋-Barsky 算法（八十年代初）
5.5 Cohen-Sutherland 直线Leabharlann Baidu裁剪算法
• 以区域编码为基础，将窗口及其周围的8个方 向以4 位二进制数（上下右左）进行编码。
窗口中的任一点(x w , y w) 与视区中的 对应点(x v , y v) 存在如下对应关系：
WYB Ow Yv VYT WXL WXR
Xw
xv VXL xw WXL VXR VXL WXR WXL yv VXB yw WYB VYT VYB WYT WYB
• 图形基本几何变换指平移、比例（缩放）、对称、 旋转等变换。 • 对于线框图的变换，以点变换为基础。把图形的 一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点系列即 可产生新的图形。 • 齐次坐标：由n+1维向量表示一个n维向量，如三 维点(x,y,z)的齐次坐标为(h*x,h*y,h*z,h) h!=0 – 普通坐标与齐次坐标的关系为一对多 – 提供了用矩阵运算描述图形变换的方法
VYT VYB b WYT WYB
VYT VYB d WYB VYB WYT WYB
X v a X w b 化简为： Yv c Yw d
窗口：用来裁剪对象的区域
（xL，yB） （xR，yT）
• 点的裁剪
• 线段裁剪 • 多边形裁剪
直线段裁剪