探索勾股数的规律

探索勾股数的规律

初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理。如果直角三角形的三边a、b、c（a﹤b﹤c），由勾股定理可知：222

a b c

+=，其中a为勾，b为股，c为弦。若它们都为整数时，则它们称为一组数。如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题。

一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律

1、列表，观察表中每组勾股数

2、归纳规律：（1）每组中a都是奇数；

（2）2a b c

=+，

21

2

a

b

-=；

（3）c = b+1，

21

2

a

c

+ =.

由此可得第n组当a=2n+1时

22

2

1(21)1

22 22

a n

b n n

-+-

===+

于是有第n组勾股数为2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1（n为正整数）。

3、证明：∵22222

(21)(22)

a b n n n

+=+++

∴222

a b c

+=

∴2n+1、2

22

n n

+、2

221

n n

++（n为正整数）是一组勾股数。

4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：

（1）列表观察

（2）归纳规律：略。当n为正整数时，勾股数为：

化简后即为：a、b、c分别为2n+1、2

22

n n

+、2

221

n n

++。

（3）证明过程：同前面的证明。

二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律

1、列表观察表中每组勾股数

2、 归纳规律：

（1）、每组中a （勾）是偶数（第一组较特殊：勾比股大）；

（2）、22

14

,22

a a

b

c b -=+=⨯

（3）、2c b =+24

2

a +=

由此可得第n 组中的2(1)a n =+时，则：

[或22c=b+2=(n 2n)+2=n 2n+2++]，

于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++（n 为正整数）。

3、 证明： ∵2

2

2

2

2

[2(1)](2)a b n n n +=+++

∴222a b c +=

∴2（n+1）、22n n +、n 2+2n+2（n 为正整数）是一组勾

股数。

三、运用配方法探求勾股数的规律

1、a （勾）、b （股）、c （弦）用含有m 、n （两个不同的正整数且m ＞n ）的代数式表示： 此时，它们也是一组勾股数。

2、证明：∵222222()(2)a b m n mn +=-+ ∴222a b c +=

∴22m n -、2mn 、22m n +（m 、n 表示两个不同的正整数

且m ＞n ）是一组勾股数。

四、运用已知勾股数探求勾股数的规律

1、如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc （n 为正整数）也是一组勾股数。例如一组勾股数是3、4、5，当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10。

2、证明：∵222a b c +=

∴222222()()na nb n a n b +=+

∴如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么na 、nb 、nc （n 为正整数）也是一组勾股数。

说明：在等腰直角三角形中因为a=b ，因此22222a b a c +==得

c =，所以a 、b 、c 不可能都为整数。即等腰直角三角形三边长组成

的不是一组勾股数。

综上所述得以下勾股数的四种表现形式：

★ 2n+1、222n n +、2221n n ++（n 为正整数）是一组勾股数。 ★

2（n+1）、n 2+2n 、n 2+2n+2（n 为正整数）是一组勾股数。

★22

+（m、n表示两个不同的正整数且m＞n）是

m n

-、2mn、22

m n

一组勾股数。

★如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc（n为正整数）也是一组勾股数。

我们从中任取一种形式来，给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数。

每种形式也可求出无数组勾股数，所以勾股数的组数也就是无数个了。