导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立; 1此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令f '(x)

0得到两个根；

第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论( >0,=0,<0)

第二种：变更主元 (即关于某字母的一次函数)

-----(已知谁的范围就把谁作为主元

)；

例1：设函数y f (x)在区间D 上的导数为f (x)， f (x)在区间D 上的导数为g(x)，若在区间D

4

…、 x

3

mx 3x 2

f (x)

12

6 2

(1 )若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围;

(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m ,函数f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”，求b

值•

4 3^2

3 2

x mx 3x

x mx o

解：由函数f (x)

得f (x)

3x

12 6 2

3 2

g (x) x 2 mx 3

(1) Q y f (x)在区间0,3上为“凸函数”，

贝V g(x) x 2 mx 3

0在区间［0,3］上恒成立

解法一：从 二次函数的区间最值 入手：等价于g max (x)

2x x 3 0 2 1 x 1

2x x 3 0

上，g(x) 0恒成立，则称函数y f (x)在区间

D 上为“凸函数”，已知实数 m 是常数， a 的最大

g(0) g(3)

3 0 9 3m 3 0

解法二：

分离变量法：

0 时,

g(x)

x 3时,g(x) x 2 3 2

x

2 x mx mx

3 0恒成立, 0恒成立

等价于m -—3

x

由 3门

而 h(x) x ( 0 x

m 2

3的最大值

x

(0x3 )恒成立, 3 )是增函数，贝 y h max (x) h(3) 2

(2) v 当 m 2时f (x)在区间a,b 上都为“凸函数”

则等价于当m 2时g(x)

2

x mx 3 0恒成立

变更主元法

2

再等价于F(m) mx x 3

2恒成立 (视为关于 m 的一次函数最值问题)

F( 2) 0 F(2)

例 2:设函数 f(x) 〔x 3 2ax 2 3a 2x b(0 a 1,b R)

3

(I)求函数f (x )的单调区间和极值；

(二次函数区间最值的例子)

g(x) x 2 4ax 3a 2在[a 1,a 2]上是增函数.

g(x)max g(a 2) 2a 1. g(x)min g(a 1) 4a 4.

于是，对任意x [a 1,a 2]，不等式①恒成立，等价于

a 1.

4

又 0 a 1, ••• a 1.

5

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征：f(x) g(x)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型

(n)若对任意的 x [a 1,a 2],不等式f (x) a 恒成立，求a 的取值范围.

x 3a x a

3 3

x=a 时， f(x)

4

b ；

由| f (x) |< a ,得：对任意的

[a 1,a 2],

x 2 4 ax 3a 2 a 恒成立①

则等价于g(x)这个二次函数

g

max

(x )

a

g min (x) a 2

g(x) x

2

4ax 3a 的对称轴x 2a

Q 0 a 1, a 1

2a (放缩法)

g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

令 f (X ) 0,得f (x)的单调递减区间为

解: (i) f (x)

x 2 4ax 3a 2 当x=3a 时,

f(x) 极大值 =b.

即定义域在对称轴的右边,

g(a 1) 2a 1 a 5

例3 ；已知函数f(x)

x 3 ax 2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为 3,

3

t 6 2

g(x) x 3

2 x 2 (t 1)x

3 (t 0)

(［)求a,b 的值；

(n)当x ［1,4］时，求f(x)的值域；

(川)当x ［1,4］时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t 的取值范围。 f(x)的值域是［4,16］

思路1：要使f(x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x 2

2x) 2x 6分离变量

思路2 :二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f '(x) 0或f '(x) 0在给定区间上恒成立，

回归基础题型

解法2：利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子集； 做题时一定要看清楚“在(m,n )上是减函数”与“函数的单调减区间是( a,b )”，要弄清楚两句话的区别:

前者是后者的子集

(I)如果函数 g(x) f (x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值;

令f (x) 0 ,解得：x

列表如下:

可知：f (x)的极大值为f( 2 3) 4 3 ,

解：(I) f /

(x)

3x 2

2ax •••

f /(1) 3

b 1 a

解得a

(n)由(i)知,

f (x)在［1,0］上单调递增，在 ［0,2］上单调递减，在［2,4］上单调递减

又 f( 1)

4, f(0) 0, f(2)

4, f (4)

16

(川)令 h(x) f (x) g(x)

-x 2 (t 1)x 3 x [1,4] 2

例4:已知a R ，函数f (x) 丄x 3 12 乞^x 2

(4a 1)x .

2

(n)如果函数

f(x)是(

)上的单调函数，求 a 的取值范围. 1

解: f (x) x

4

2

(

a 1)x

(4 a 1).

(I)： f (x)是偶函数，•

1.

此时f(x) 丄X 3 12 3x , f (x) ^x 2

3 ,

4

f (x)的极小值为f (2 3) 4、3.