整式的乘法解题技巧

妙用幂的运算法则解题

一、计算

例1 计算（1）0.12516×（-8）17；

（2）（-0.125）673×22026.

分析：本题的两个小题指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：0.125与8互为倒数，乘积为1．因此逆用积的乘方法则，简化计算．注意在逆用法则时，应先把不同的指数变成相同指数．解：（1）0.12516×（-8）17=0.12516×（-817）=-0.12516×817=-0.12516×816×8=-0.125×816×8=-116×8=-8.

（2）

673

3

673202367320232023201920194

111

(0.125)2()22()22

822

⎡⎤

⎛⎫

-⨯=-⨯=-⨯=-⨯⨯

⎢⎥

⎪

⎝⎭

⎢⎥

⎣⎦

=

2019

201920194

11

()2221616.

22

⎡⎤

⎛⎫

-⨯⨯=-⨯⨯=-

⎪

⎢⎥

⎝⎭

⎣⎦

二、求值

例2 已知a p=2，a q＝3，a r＝4，a m＝12，求a4p+3q+r-2m的值.

分析：条件中已经分别给出了a p、a q、a r、a m的值，要求a4p+3q+r-2m的值，看似复杂，其实只需逆用同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则及幂的乘方的法则，将a4p+3q+r-2m转化成a p、a q、a r、、a m的形式即可.

解：因为a4p+3q+r-2m＝a4p×a3q×a r÷a2m＝（a p）4×（a q）3×a r÷（a m）2，又a p＝2，a q＝3，a r＝4，a m＝12，所以a4p+3q+r-2m＝24×33×4 ÷122＝12.

多项式乘多项式的两个基本方法

多项式的乘法不仅是本节的重点内容，也是前面所学知识的综合运用，多项式与多项式相乘时，如何做到不重、不漏，简便易行呢？下面给同学们介绍两种常用的方法.

一、普遍乘：箭头法

两个多项式相乘，可根据箭头指示并结合原式计算，即先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

例1 计算：（a-2b）（-a-3b）.

=-a2-3ab+2ab+6b2=-a2-ab+6b2.

评注：利用箭头法计算，要防止出现漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应是这两个多项式项数的积.多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．在计算时，可根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”直接来确定积中各项的符号.

二、整体乘：整体法

两个多项式相乘时，我们可以把其中的一个多项式看成一个“整体”，先按单项式与多项式相乘的法则来计算，然后再进一步求解.

例2 计算：（2m-3）（m2+3m）.

（2m-3）（m2+3m）=2m（m2+3m）-3（m2+3m）=2m3+6m2-3m2-9m=2m3+3m2-9m.

评注：依据转化思想，多项式的乘法可转化为单项式与多项式相乘，进而再转化为单项式与单项式相乘.

整式乘法求值小技巧

有些关于整式乘法运算求值的问题，不宜直接计算，这就需要同学们抓住问题的特点，施以不同的方法和技巧来解决.本文介绍几种小技巧，作为开启同学们计算能力之门的钥匙.

一、巧用特殊值

例1 若（3+x）2（2-x）=a+bx+cx2+dx3，则a-b+c-d的值为＿＿＿＿＿.

分析：a-b+c-d恰好是当x=-1时关于x的多项式a+bx+cx2+dx3的值，所以将x=-1分别代入原等式的两边即可.

解：令x=-1，得（3-1）2[2-（-1）]=a-b+c-d，所以a-b+c-d=12.

二、系数巧对应

例2若（x-1）（x2+ax+3b）=x3+5x2+cx-15，求a，b，c的值.

分析：（x-1）（x2+ax+3b）可化为x3+（a-1）x2+（3b-a）x-3b，所以比较对应项系数即可求出a，b，c的值.

解：因为（x-1）（x2+ax+3b）=x3+（a-1）x2+（3b-a）x-3b，且（x-1）（x2+ac+3b）=x3+5x2+cx-15，所以比较对应项的系数，得a-1=5，-3b=-15，3b-a=c，解得a=6，b=5，c=9.

三、大数巧换元

例3 计算：20063-2005×2006×2007-2008.

分析：仔细观察发现本题是由四个数“2005、2006、2007、2008”有规律排列的，我们只需选其中一个用字母表示，其余的可以用含此字母的代数式表示，这样就可以将“数”转化为“式”简化计算.

解：设2006=a，那么原式＝a3-（a-1）·a·（a+1）-（a+2）＝a3-（a3-a）-a-2=-2.

整式的除法一二三

一、单项式除以单项式

例1 计算：（1）b a c b a 232232÷-

；

（2）)2(2

3)2(433

y x y x +÷+. 分析 （1）依据单项式除以单项式的法则：①确定商的系数；②相同字母分别按同底数幂相除；③只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式． （2）把)2(y x +看做一个整体进行单项式除法.

解：（1）b a c b a 232232÷-

=c b c b b a a 232231

)()()232(-=⋅÷⋅÷⋅÷-； （2）)2(23)2(433y x y x +÷+=23)2(21)]2()2[()2343(y x y x y x +=+÷+⋅÷=2

2222

1y xy x ++.

评注：单项式除以单项式要注意到结果中的字母不多不漏，例如在第（1）题中，102

22

2

===÷-a a a a ，

商式里就不能再含字母a ，同时被除式中的字母c 也不能漏掉.

二、多项式除以单项式

例2 计算： 2222233

512

1

)43322

1

(y x y x y x y x ÷+-

. 分析：按照多项式除以单项式法则，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．注意“多项式的每一项”应连同它前面的符号.

解：2222233

5

12

1

)43322

1

(y x y x y x y x ÷+-

=22232235121)32(12121y x y x y x y x ÷-+÷222212

143y x y x ÷+ =9863

+-x y x .

评注：多项式除以单项式，实际上是先转化为单项式除以单项式，但必须注意项的符号和漏项问题．

三、整式的除法与整式的乘法互为逆运算

例3 已知多项式2x 3+ax 2+x-3能被2x 2+1整除，商式为x-3，试求a 的值. 分析：根据整式的除法与整式的乘法互为逆运算，列式求解. 解：（2x 2+1）（x-3）=2x 3-6x 2+x-3. 根据题意可得2x 3-6x 2+x-3=2x 3+ax 2+x-3.

由两个多项式相等，则对应项系数必相等，得a=-6.

评注：整式除法中没有余式，则被除式=除式⨯商式；整式除法中有余式，则被除式=除式⨯商式+余式.整式的除法可用乘法检验，整式的乘法也可用除法检验.