第一章矢量分析与场论基础题解

第一章 矢量分析与场论基础
1-1 求下列温度场的等温线 1）T
xy
=，2）T
x
y
=
+12
2
解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 ⑴ C
xy =，x
C y
=
；⑵ C
y
x =+2
2
1-2 求下列标量场的等值面 1）u
a x
b y cz
=
++1
，2） =-
u
z x
y 2
2
+， 3）u
x
y
z =ln(++)
2
2
2
解 据题意可得 ⑴ k
cz by ax =++ ⑵ c
y
x
z
=+-
2
2
，()
2
2
2
c z y
x -=+
⑶ ()c z y x =++222ln ，c e z y x =++222，2222k z y x =++
1-3 求矢量场A e e e =++x y z x y z 2 经过点M (.,.,.)102030的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得
z
z y y x x 2d d d ==
解微分方程，可得 x c y 1=，22x c z =
将点M (.,.,.)102030的坐标代入，可得 21=c ，32=c 即 x y 2=，23x z = 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A e e e =++y x x y y z x y z 222的矢量线方程。

解 根据矢量线的定义，可得
z
y z y
x y x
y x 2
2
2
d d d =
=
解微分方程，可得 122c y x =-，x c z 2= 为所求矢量线方程。

1-5 设u x z yz xz ()M =+-+32222，求：
1）u ()M 在点M 0102030(.,.,.)处沿矢量l e e e =++yx zx xy x y z 方向的方向
导数，
2）u ()M 在点M 0(.,.,.)102030处沿矢量
l e e e =+-+-+()()622222x z z z y x x y z 方向的方向导数。

解 l 的方向余弦为
1722
32
2
cos 2
22
=
++=
α，
17
32
32
3
cos 2
22
=
++=
β，17
22
32
2cos 2
22
=
++=
γ
；
又有
12
260
=+=∂∂M
M
xz
x x
u ，
6
20
-=-=∂∂M
M
z
y
u ，
42220
=+-=∂∂M
M
x
y z z
u
据方向导数的定义，可得
17
1417
2
436212cos cos cos 0
=
⨯+⨯-⨯=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂γβαM
M
M
M
z
u y
u x
u l
u
1-6 求标量场u
xy yz zx
=++在点M 0(.,.,.)102030 处沿其矢径方向的方向
导数。

解 l 的方向余弦为
14132
11
cos 2
2
2=
++=
α，
14
232
12cos 2
2
2
=
++=
β，1433
2
13
cos 2
2
2
=
++=γ
； 又有
5
=+=∂∂M
M
z
y x
u ，
4
=+=∂∂M
M
z
x y
u ，
3
=+=∂∂M
M
x
y z
u
据方向导数的定义，可得
14
2214
3
32415cos cos cos 0
=
⨯+⨯+⨯=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂γβαM
M
M
M
z
u y
u x
u l
u
1-7 设有标量场
u xy z
=-22
，求u 在点(.,.,2010 1.0)-处沿该点至
(.,.,3010 -1.0)方向的方向导数。

在点(.,., 1.0)2010-沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？
解 点(.,.,2010 1.0)-至点(.,.,3010 -1.0)的方向余弦为
()
()()
3
11111232
3c o s 2
22
=
--+++--=
α，()
()()
3
21111231
1cos 2
22
=
--+++-+=
β
，
()
()()3
21111231
1cos 2
22
-
=--+++---=
γ；
又有
2
20
-==∂∂M
M
y
x
u ，
420
==∂∂M
M
x
y
u ，
2
20
-=-=∂∂M
M
z
z
u
据方向导数的定义，可得
3
103
2
22412cos cos cos 0
=
⨯+⨯+⨯-=
∂∂+
∂∂+
∂∂=
∂∂γβαM
M
M
M
z
u y
u x
u l
u
当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿z y x e e e G
242-+-=方向导
数达最大值，()()62242422
22
==-++-=G
1-8 求下列标量场的∇u
1）u xy =2；2）u x y =+22；3）u y x =e sin ；
4）u x y z
=234
； 5）u
x y
z
=-+3232
2
2
解 据 z
y x z u y
u x
u u e e e ∂∂+
∂∂+
∂∂=
∇，可得
1） y x x y u e e 22+=∇ 2） y
x y x u e e 22+=∇
3） y
x
x x
y e y e u e e cos sin +=∇
4） z y x z y x z y x z xy u e e e 3
3
2
4
2
2
4
3
432++=∇
5） z
y x z y x u e e e 646+-=∇
1-9 求标量场u xyz
x x y
=-+2
2
2在点(.,., -2.0)-1030处的梯度。

解
(
)(
)z
y
x x y z x
xz
xy yz
u e e
e 2222
2
2
++++-=∇，则所求梯度为
()()z
y x z y x M
u
e e e e e e 1234121462120
+-=++-+--=∇
1-10 求标量场2
2
3)
,(y
x
y x u +=具有最大方向导数的点及方向，所求的点满
足x y 221+=。

（提示：最大的方向导数就是在点(,)x y 处的梯度，模
最大，且满足x y 221+=，即求条件极值。

）
解
y
x y x y x y
u x
u u e e e e 26+=∂∂+
∂∂=
∇，2
2
436y
x
u
+=∇，将2
1x
y
-±=代
入，可得
(
)
4
3214362
2
2
2
+=-+=∇x x
x u ，即 []
4
322
2
+=∇x u ，
当1±=x
、0=y 时，有6
max
±=∇u
，即点()0,1-和()0,1为满足条件的点，又
()
x u
e 60,1-=∇-，()
x
u
e 60,1=∇，即最大方向导数的方向分别为x
e ±
1-11 设r
e e e r =++x y z r n
x y z , =, 为正整数，
1）求∇∇∇r r f r n 2,,(),
2）证明∇=∙
（a r a a
),(是常矢量）
解 1）
()()r
e e e 22222
2
2
2
=++=++∇=∇z y x
z y x z
y
x
r
()
(
)
()()z
y x
n
n n
z y x z y x n z
y x r
e e e
22221
22222
2
22++++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++∇=∇-
r
nr
r
nr
n n r r 2
122-⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
()()()()r
r f r r f r r f r f r r '='=∇'=∇-1
2） 证明 设
z
z y y x x a a a e e e a ++=，则 z
a y a x a z y x ++=⋅r a ，
因此，可得 ()()z
z y y x x z y x a a a z a y a x a e e e r a ++=++∇=⋅∇，证毕。

1-12 设S 为上半球面x y z a 2222++=≥ (z 0),其法向单位矢量e n 与z 轴的夹
角为锐角，求矢量场r e e e =++x y z x y z 沿e n 所指的方向穿过S 的通量。

（提示：注意r 与e n 同向）
解 将r e e e =++x y z x y z 用球坐标表示，则在S 面上有n
a e r
=，因此，可得
3
2
22d a
a
a s
ππ=⨯=⋅⎰s r
1-13 求均匀矢量场A 通过半径为R 的半球面的通量。

（如图1-1所示）
解 设半球面的方程为x y z a 2222++=≥ (z 0),则矢量A 通过S 面的通量等于矢量A 通过S 面在0=z 的平面上的投影的通量，因此，2d R A s
π=⋅⎰s A
1-14 计算曲面积分y
x x z x z yz y
z y xy x
S
d d )12(d d )2(d d )2(2
2
+-+-+-=
Φ
⎰⎰
,
其中S 是球心在原点，半径为a 的球面外侧。

解 设z y x x z yz y xy x e e e A )12()2()2(22+-+-+-=，根据散度定理，可得
()()3
2
2
3
4d 1222222d d d d )12(d d )2(d d )2(a
v
x z z y y x v y x x z x z yz y
z y xy x
v
v
s
S
π=
+-+-+-=⋅∇=
⋅=
+-+-+-=
Φ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
A s
A
1-15 求矢量场A 从内穿出所给闭曲面S 的通量： 1）A e e e =++x y z x y z 333，S 为球面x y z a
2222
++= 2）A
e e e =-++-++-+（x y z y z x z x y x y z )()()，S 为椭球面
x a
y b
z c
22
22
22
1+
+
=
解 1） 根据散度定理，可得
()()5
2
22
2
2
5
12d 43d 333d d a
r r r v z
y
x
v
a
v
v
s
ππ=
⨯=++=
⋅∇=
⋅⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
A s A
2） ()()abc
abc v
v
v
v
s
ππ43
43d 111d d =⨯=++=
⋅∇=
⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
A s A
1-16 求下列空间矢量场的散度： 1）A e e e =-+-+-()()()2332z y x z y x x y z
2）A e e e =-+++-()()()3232
32
2
x
yz y yz xyz xz x y z
解 1）
=∂∂+∂∂+∂∂=
⋅∇z A y A x A z y x A
2） xz
xy z
y x z
A y
A x
A z y x 6362
2
-+++=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A
1-17 求div A 在给定点处的值：
1）A e e e =++x y z x y z 333在M （1.0，0.0，-1.0)处； 2）A e e e =-+422
x xy z x y z
,在M （1.0，1.0，3.0）处；
3）A r r e e e ==++xyz x y z x y z ()在
M （1.0，3.0，2.0）处。

解 1）
2
2
2
333z
y x
z A y A x A z y x ++=∂∂+
∂∂+
∂∂=
⋅∇A ，则6
33=+=⋅∇M
A
2）
z
x z A y A x A z y x 224+-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A ，则8
624=+-=⋅∇M
A
3）
()[]
xyz
xyz xyz xyz z y x xyz z
A y
A x
A z y x z y x 6222=++=++⋅∇=∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇e e e A ，
则362316=⨯⨯⨯=⋅∇M A
1-18 求标量场u x y z =342的梯度场的散度。

解
z
y x z y x z y x z y x z y x z
u y
u x
u u e e e e e e 4
3
2
3
3
2
4
2
243++=∂∂+
∂∂+
∂∂=
∇
()222222243223246322126y x z x z y xy y x z y x z xy u ++=++=∇⋅∇
1-19 已知液体的流速场
V e e e =++3523x xy xyz x y z ，问点M （1.0，2.0，3.0）是否为源点？ 解 2356x y z x x ++=⋅∇v ，由于065≠=∇M v ，所以M 是源点。

1-20 已知点电荷q q 12,分别位于M M 12，两点处，求从闭曲面S 内穿出的电
场强度通量ψE , ,其中S 为：
1）不包含M M 12，两点的任一闭曲面； 2）仅包含M 1点的任一闭曲面； 3) 同时包含M M 12，两点任一闭曲面。

解 据高斯通量定理，可得 1） 0d =⋅=ψ⎰⎰s
E s E
2） 1d q s
E =⋅=ψ⎰⎰
s E 3） 21d q q s
E +=⋅=
ψ⎰⎰
s E
1-21 求矢量场A
e e e =-++y x c x y z
(c 为常数）沿下列曲线的环量
1）圆周x y R z 2220+==,（旋转方向与z 轴成右手关系）
2）圆周(),x y R z -+==20222（旋转方向与z 轴成右手关系） 解 设圆周包围的曲面为s ，则2R s π=，据斯托克斯定理，可得
1） ()2
2d 2d d d R
C x y z y
x s
z s
z y x s
l
π=⋅=⋅⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-∂∂∂∂∂∂=
⋅⨯∇=
⋅⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰
s e s e e e s
A l A
2） ()2
2d 2d d d R
C x
y
z y x s
z
s
z y x s
l
π=⋅=⋅⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-∂∂∂∂∂∂=
⋅⨯∇=
⋅⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
s e
s e e e s
A l A
1-22 求矢量场A
e e e =++xyz x y z ()
在点M （1.0，3.0，2.0）处的旋度以及在
这点沿方向e e e e n
x y z =++13
22()
的环量面密度。

解 矢量场A
e e e =++xyz x y z ()
在点M （1.0，3.0，2.0）处的旋度为
()()()()[]
()()()z
y x z y x M
z
y x M
z y
x z y x
M
xz yz yz xy xy xz
A A A z y x e e e e e e e e e e e e A 43266332+--=-+-+-=-+-+-=
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂=⨯∇
沿方向e e e e n x y z =
++13
22()
的环量面密度为 ()3
143
223
1=
⨯+
--
=⋅⨯
∇n M e A
1-23 设矢量场A
e e =++-()()x y y x x y
，求该矢量场沿椭圆周C ：
x
a
y b
22
22
1
+
=与z 轴成右手关系方向的环量。

解 据斯托克斯定理，可得
()()ab x
y y
x z y
x s
z
s
z y x s
l
π2d 2d 0d d -=⋅-=⋅⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+∂∂∂∂∂∂=
⋅⨯∇=
⋅⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
s e
s e e e s
A l A
1-24 求题1-16中各矢量场的旋度。

解
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡∂∂∂∂∂∂
=⨯∇z y
x z y x
A A A z y x e e e A ，分别可得
1） ()()()()z y x z y x M e e 642332211++=+++++=⨯
∇e e e e A
2） ()()()z y
x M ze z
yz y yz xz 23222
++-
-+-=⨯∇e
e A
1-25 试证明矢量恒等式∇⨯∇=（u )0
和∇∇⨯=∙
()A 0。

证明 1） 对于标量函数u ，有
()02
22
22
2=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∂∂+∂∂+∂∂⨯∇=∇⨯∇z y x z y x
z y
x y x u y x u z x u z x u z y u z y u z
u y
u x
u z y
x x u
y u
x u u e e e e e e e e e
2） 对于矢量函数A ，有
)(2
2
2
2
2
2
=∂∂∂-
∂∂∂+
∂∂∂-
∂∂∂+∂∂∂-
∂∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂-
∂∂⋅∇=⨯∇⋅∇z
y A z
x A y
x A z
y A z
x A y
x A y A x A z x A z A y z A y A x y A x A x A z A z A y A x y z x y z x y z x y z z x y y z x
z y
z e e e A。