薄板弯曲问题的有限元分析

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1.问题描述 一块方板，边长为 L，厚度为 t（
1 1 ，材料为铝，分别用不同密 L/t ） 80 5
度的四节点 12 个自由度的矩形单元来划分网格。 要求： 考虑四边简支和四边固支两种边界情况，分别计算受均匀载荷 q 和在 板中心处受集中载荷 P 两种载荷情况下，板的中心挠度 max (不超过板厚 t 的 1/5)， 进而计算出不同情况下的方板的中心挠度系数；将计算出的系数与精确解 进行比较，通过比较发现不同有限元网格密度对薄板弯曲问题计算结果的影响。 本例中，方板边长 L=40mm，厚度 t=1mm，铝的弹性模量 E=70GPa，泊松比
2w { } 2 x
2w y 2
2w 2 xy
T
称为薄板的广义应变分量。 将形函数代入上式，得出
2w { } 2 x 2w 2 2 a [ B ]{ } e 2w y 2 2w 2 xy 2
0.3 ，粗略计算当 q=0.1MPa 或者 P=50N 时，板中心挠度小于板厚的 1/5，属
于小挠度弯曲，因此载荷可取这两个值。 2.理论基础 2.1 矩形薄板弯曲单元 2.1.1 挠度函数 薄板弯曲单元中比较简单的是四节点 12 个自由度的矩形单元，将矩形薄板 沿坐标方向划分为若干矩形单元，如图 1 所示，每个单元设有四个节点，每个节 点位移有三个分量： 挠度 w， 绕 x 轴的转角 x w / y ， 绕 y 轴的转角 y w / x ， 即
w x, y Amn sin
m 1 n 1


mx ny sin a b
式中 Amn 为待定系数。 假定荷载
q x, y qmn sin
m 1 n 1


mx ny sin a b
qmn
2
则可得位移函数 :
w x, y
1 D 4

m2 n2 a 2 b2

{ 3 }T
{ 4 }T ]T
Vi { F i } M xi M yi
( i 1, 2 ,3 , 4 )
单元的节点荷载为
{ F }e [{ F1}T
取位移函数为
{ F2 }T
{ F3 }T
{ F4 }T ]T
w 1 2 x 3 y 4 x 2 5 xy 6 y 2 7 x 3 8 x 2 y 9 xy
4*4
8*8
16*16 图2 4.结果与分析 4.1.均布载荷作用下四边简支板
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不同网格密度下，均布载荷作用下四边简支板的位移云图如图 3 示，各 板的位移分别为：0.1657mm、0.1651mm、0.11646mm，计算可得板中心挠 度系数分别为 0.004149、0.004134、0.004122，而精确解为 0.004062。
图3 4.2.集中载荷作用下四边简支板 不同网格密度下，集中载荷作用下四边简支板的位移云图如图 4 示，各板的 位移分别为：0.1529mm、0.1483mm、0.1482mm，计算可得板中心挠度系数分别 为 0.012252、0.011883、0.011875，而精确解为 0.0011600。
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在本实例中， 建模主要有以下三个步骤： 1） 、 创建有限元模型 （预处理阶段） ， 2） 、施加载荷并求解（求解阶段） ，3） 、结果分析（后处理阶段） 。 建模过程具体如下：采用壳单元建立几何外形，即 40*40 的方板；然后建立 材料铝，输入材料材料参数（E=70000,v=0.3） ，用该材料生成壳截面，将该截面 属性赋予所建的外形，设定壳的厚度为 1；组装，设定分析步和输出参数；网格 分别划分成：4*4、8*8、16*16 三种，采用四节点矩形单元；四条边施加简支或 固支约束（简支约束三个位移，固支还要约束三个转动） ，中面施加均布或者集 中载荷；提交分析模型；结果查询。 （不该采用减缩积分单元） 采用不同网格密度建立有限元模型如图 2：
wi { i } xi yi
wi (w / y )i (w / x ) i
( i 1, 2 , 3 , 4 )
图1
3
单元的节点位移为
{ }e [{ 1 }T
节点荷载为
{ 2 }T
T
将广义应变矩阵{ }和板弯弹性矩阵{D}代入薄板弯曲的总位能泛函中，应 用最小位能原理得即可单元刚度矩阵
[k e ] ab
1
1 1
[ B] [ D][ B]dd
T
1
2.2 四边简支矩形板的纳维叶解法
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在经典解析法中，w(x, y) 常设为三角级数形式。例如，四边简支矩形板的 w(x, y)设为: (纳维尔解)
2.1.2 单元刚度矩阵 根据克希霍夫(Kirchhoff)假设，将用 w 表示的位移 u ,v 代入几何方程
x { } y xy
2w z 2 x
2w y 2
2w 2 xy
T
z{ }
这里，记{ } 为
令
( x x0 ) / a ,
( y y0 ) / b
i、i 为节点的坐标值，则
w [ N 1 ]{ 1 } [ N 2 ]{ 2 } [ N 3 ]{ 3 } [ N 4 ]{ 4 } [ N ]{ } e
其中称[N]为形函数矩阵，第 i 个子矩阵为
T
2w b 2 2
2w [ N ]{ } e ab
T
这里的[B]称为应变矩阵源自文库
[B] [Bi Bj Bm Bp ]
第 i 个子矩阵[ Bi ]为
2w [ Bi ] 2 2 a 2w 2 b 2 2w 2 [ N i ] (i i, j , m , p ) ab
变分原理与有限元素法课程报告
报告名称：薄板弯曲问题的有限元分析 姓名： 学号： 导师： 专业：
2015.5.15
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目录
1. 问题描述...........................................................................................................3 2. 理论基础...........................................................................................................3 2.1 矩形薄板弯曲单元..................................................................................... 3 2.1.1 挠度函数............................................................................................ 3 2.1.2 单元刚度矩阵.................................................................................... 5 2.2 四边简支矩形板的纳维叶解法................................................................. 5 3. 有限元模型.......................................................................................................6 4. 结果与分析.......................................................................................................7 4.1 均布载荷作用下四边简支板..................................................................... 7 4.2 集中载荷作用下四边简支板..................................................................... 8 4.2 均布载荷作用下四边固支板..................................................................... 9 4.2 集中载荷作用下四边固支板................................................................... 10 4.5 总结............................................................................................................11
2
10 y 3 11 x 3 y 12 xy
3
在位移函数中，前三项包含了单元的刚体位移状态，二次项代表了单元的均 匀应变状态。可以证明，此位移模式能够保证相邻单元的公共边界上挠度 w 和 转角的连续性。分别求出上式中对 x,y 的导数
w 2 2 4 x 5 x 3 7 x 2 2 8 xy 9 y 2 3 11 x 2 y 12 y 3 x w 3 5 y 2 6 y 8 x 2 2 9 xy 3 10 y 2 11 x 3 3 12 xy 2 y
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2 2 N i (1 i )( 1 i )( 2 i i ) / 8 [ N i ] N xi b i (1 i )( 1 i ) 2 (1 i ) / 8 2 N a i (1 i ) (1 i )( 1 i ) / 8 xi ( i 1, 2 , 3 , 4 )
Et 3 为板弯曲刚度。 12 1 2


本文通过有限元计算出板中心挠度 wmax ，进而计算出中心挠度系数，与 精确解比较得出相关结论。 3.有限元建模 有限元分析时采用 ABAQUS 软件， ABAQUS 是一款功能强大的有限元分析 软件，可以分析复杂的固体力学和结构力学系统，模拟非常庞大复杂的模型，处 理高度非线性问题。 ABAQUS 包括一个丰富的、 可模拟任意几何形状的单元库。 并拥有各种类型的材料模型库，可以模拟典型工程材料的性能，其中包括金属、 橡胶、高分子材料、复合材料等材料。作为通用的模拟工具， ABAQUS 能够解 决 大 量 结 构 （ 应 力 / 位 移 ） 问 题 。 ABAQUS 有 两 个 主 求 解 器 模 块 — ABAQUS/Standard 和 ABAQUS/Explicit，本文对薄板弯曲的有限元静力分析使 用的是 ABAQUS/Standard 模块。
sin
mx ny sin a b
根 据 上 式 位 移 函 数 的 形 式 可 将 方 板 在 四边简支和四边固支两种边界情 况，分别计算受均匀载荷 q 和在板中心处受集中载荷 P 两种载荷情况下，板的中 心挠度 wmax 写成如下形式
wmax
qL4 D
wmax
PL2 D
式中， L 为方板边长， D