江苏省兴化中学2020至2021学年高二下学期2月周末自主练习数学试题

2020-2021学年度第二学期高二数学周末自主练习

班级 姓名 成绩

一、填空题（5分×14=70分）

1、已知方程

12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是)2

3

,1( 2、已知椭圆的焦点在x 轴上，长半轴长与短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准

方程为

116

3622=+y x 3、对于直线m 、 n 和平面 α、β、γ，有如下四个命题：;,,//)1(αα⊥⊥n n m m 则若

;//,,)2(ααn n m m 则若⊥⊥;//,,)3(γαβγβα则若⊥⊥,

)4(α⊥m 若

,β⊂m βα⊥则，其中正确的命题的个数是 1

4、下列命题：①若0xy =，则x 、y 中至少有一个为0；②“矩形的对角线相等”的逆命题；③“若a b >，则a b a b +<-”的否命题；④“若0k >，则关于x 的方程

220x x k +-=有实数根”的逆否命题，其中真命题的序号是 ①④

5、设直线30ax y -+=与圆2

2

(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为

a =_____0_____

6、若不等式1x a -<成立的充分不必要条件是

13

22

x <<，则实数a 的取值范围是 13

22

a ≤≤

7、已知直线06:1=++ay x l 和()=++-a y x a l 232:20，则当21//l l 时两直线之间的距离为

3

2

8

8、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是

π3

8

9、若方程2

2

24380x y kx y k +++++=表示一个圆,则实数k 的取值范围是

)

,4()1,(+∞⋃--∞

10、（理）已知圆的极坐标方程为：2cos 604πρθ⎛

⎫--+= ⎪⎝

⎭，若点P (x ，y )在该圆上，

则x ＋y 的最大值为 6

（文）已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则=-m M 32 11

、若正方体的棱长为

，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

3

2

12、在下列四个正方体中,能得出AB ⊥CD 的序号是 ①

13、(理)

已知两曲线的参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪

⎨=⎪⎩（0≤θ ＜π）和25()4x t t R y t

⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，则

它们的交点坐标为

)

5

5

21(，

(文)若()π2,0∈x ，则函数sin cos y x x x =-的单调递增区间是()

π,0

14、α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： ②③④→①或①③④→② 二、解答题（共90分）

15、设圆C 上的点()3,2A 关于直线02=+y x 的对称点仍在圆上，且直线01=+-y x 被圆

C 截得的弦长为22，求圆C 的方程

解：解：设所求圆的圆心C 的坐标为()b a ,，半径为r ，则有02=+b a ①，

()

()

2

2

2

32r b a =-+-② ，2

2212⎪⎭⎫

⎝

⎛+-+=b a r ③，由①②③消去r a ,得

()()()2

1323222

2

2

+-+=-+--b b b ，化简得021102

=++b b ，3-=b 或7-=b ，

④

①

则所求圆的方程为()()52362

2

=++-y x 或()()2447142

2

=++-y x

16、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；

（2）两个焦点坐标分别是（0，-2）和（0,2）且过点P （23-

,2

5） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为122

22=+b

y a x )0(>>b a ，

由题意可得,82,102==c a 4,5==∴c a 9452

2222=-=-=∴c a b ，所以所求椭圆标

准方程为

19

252

2=+y x ； （2）因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为122

22=+b

x a y )0(>>b a ，

由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋2

2)225()23(-+-102

11023+=

102=，10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b ，所以所求标准方程为16

102

2=+x y 解法2：∵ 42

222-=-=a c a b ，∴可设所求方程142

222=-+a x a y ，将点（23-,25）的坐标代入可求出10=a ，从而椭圆方程为16

102

2=+x y 17、如图，正三棱柱ABC --111C B A 中（底面是正三角形，侧

棱垂直于底面），D 是BC 的中点，AB =a ， （1）求证：111C B D A ⊥；

（2）判断A 1B 与平面ADC 1的位置关系，并证明你的结论 解：(1) 略证：由A 1A ⊥BC 、AD ⊥BC ，得BC ⊥平面A 1AD ，从而BC ⊥A 1D ，又BC ∥B 1C 1，所以A 1D ⊥BC ；

(2)平行，略证：设A 1C 与C 1A 交于点O ，连接OD ，通过证OD 是△A 1CB 的中位线，得出OD //A 1B ，从而A 1B //平面ADC 1

18、（理） 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2cos α， y ＝2＋2sin α.(α为参数)

M 是C 1上的动点，P 点满足OM 2=，P 点的轨迹为曲线C 2，(1)求C 2的参数方程；

(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π

3

与C 1的异于极点的交点

为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB （文）设.ln 2)(x x

k

kx x f --

=（1）若0)2(='f ，求过点（2，)2(f ）的直线方程； （2）若)(x f 在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围

解：（理）设P (x ，y )，则由条件知M )2

2(y x ，，由于M 点在C 1上，所以

A

B

C C 1

B 1

A 1

D