第四章 杆件的变形(拉压杆)

A P B
a b
RA RB P 0
（2）物理关系
RAa l A EA
P
RB b l B EA
RB
（3）协调关系 杆件的总变形
A
a
l l A lB
RAa RBb 0
0
B
P
b
（4）补充方程 （5）联立求解
RB b l B EA
RAa l A EA
0.15 mm
10KN
l2
FN 2 l2
A
0.05 mm
2、逐段计算各段的变形量
FN 3l3 l3 0 . 3 mm EA
3、叠加，计算总变形
l li
i 1
n
0.15 0.05 0.3 0.5mm
例2 图示中的二杆为钢杆，AB杆的横截面面积 A1=200mm2，AC 杆的横截面面积A2=250mm2，E＝
l N 前的正负号是根据 轴力而定的;
受拉取正号； 受压取负号。
5 、温度应力的解法： 三关系法
温度应力属于静定问题还是超静定问题？ 超静定问题
例9 等截面杆AB的二端固定，线胀系数α＝ 12×10－6，温度升高 T 60 度时， 求杆内的应力。
A B
(1)静力学关系： RA RB
A
B
R A RB 0
M
A
0
F AB FCD sin AD 0
FCD 4.16F
2、强度计算
C 0.75m A 1m D 1.5m B F
FN [ ] A
4.16F [ ] A
d=2cm,E=200GPa, []=160MPa
F 12.06 KN
FCD 4.16F
(3)、计算杆件变形量 CD杆的变形量
例1 杆件材料的弹性模量E=100GPa，较粗部分的横截面
面积A1=2000mm2、较细部分的横截面面积A2=1000mm2。
求杆件的总变形。
15KN 2m 5KN 1m 10KN
3m
1、作杆件内力图 15KN 5KN 2m FN 15KN 1m 3m
10KN
FN 1l1 l 1 A1
15 103 2 103 100 109 2000 106
RA RB P 0
RAa RBb 0
b RA P ab
a RB P ab
三关系法总结
1、静力学关系 确定研究对象 受力分析 静力学方程
2、物理关系 杆件在各自轴力作用下的变形量；
3、协调关系 变形后节点的新位置；几何法确定各变形量之间的关系
4、补充方程
物理关系代入协调关系 得到协调方程 5、联立静力学方程与协调方程求解 6、强度、刚度计算
250
[σ]1=160MPa
[σ]2=12MPa
F 698kN
N1 0.283F N 2 0.717F
例8 杆的上下两端都是固定约束，若抗拉刚 度EA已知，求两端反力。
A
a P
b
B
判断是否是静不定问题， 确定静不定次数。 1次超静定问题 求解方法： 三关系法 （1）静力学关系 RA
y
未知力个数
=
独立的平衡方程数。
二、超静定问题与超静定结构
计算各杆的受力
FN1
1 3 2
FN3
FN2
A
F
F
F 0 F 0 F
x
y
FN1 sin FN 2 sin 0
N1
cos FN 2 cos FN 3 F 0
2个方程
3个未知量；
未知力个数〉平衡方程数
(2) 物理关系：
R Al l N EA
温度变化引起变形
l T lT
(3) 协调关系
lT A
B'
lF
FRA
A
B
FRB' B
l 0
(4) 补充方程：
lT l N 0
lT
R Al EA 0
(5) 求解得到：
R A EAT
200GPa, F=10KN，求节点A的水平、铅垂位移。
(1)受力分析： FAB FAC
取节点A为研究对象
FAB sin F 0
A F
FAB F sin 30 20KN
AAB=200mm2， AAC=250mm2， E＝200GPa, F=10KN
FAB cos FAC 0
例3已知AB大梁为刚体，拉杆直径d=2cm,E=200GPa, []=160MPa.求：(1)许可载荷[F],（2）B点位移。
C 0.75m
A

1m
D 1.5m
B F
1、受力分析
C 0.75m A 1m F D 1.5m B F
FCD
Fx Fy
d=2cm,E=200GPa, []=160MPa
Mechanics of Materials
引言
2 2
若车床主轴的弯曲变形过大， 将影响齿轮的啮合与轴承的配合， 造成磨损不均，降低寿命，还会影 响加工精度。 ——限制变形 刚度问题
车辆中的叠板弹簧应 有较大的变形，才能更好 地起缓冲减振作用。 ——利用变形
研究变形 的目的
超静定问题 振动计算
§4-1 轴向拉伸或压缩时的变形
DD
l sin
1.67 103 m
AD ) 4.17 103 m AB
计算某节点位移的步骤
（1）受力分析：静力学求各杆受力；
（2）计算各自变形量： 物理关系
FNi .li li EAi
（3）在节点处拆开、自由伸缩 在伸缩后的端点做杆件轴线的垂线------以切代弧；
E＝200GPa,
FAB 20KN
FAC 17.3KN
（3） 确定节点A的新位置 在节点点A处拆开 各自自由伸缩； 该伸长的伸长，该缩短的缩短；
分别以B、C为圆心，变形后杆长为半径作弧 ，
两弧线的交点为节点A的新位置 。
l AB 1mm
lBC 0.6 mm
A’
(4) 以切代弧：
Fwk.baidu.com
木材的许用应力[σ]2=12MPa，
E2=10GPa，求许可载荷F。
250 250
分析是否超静定问题 拉压超静定问题 1次超静定 三关系法 1、静力学关系
F
F
250
N1
N1
250
N2
N 2 4N1 F 0
2、物理关系
N1l L1 E1 A1
F
L2
N 2l E2 A2
查表知40mm×40mm×4mm等边角钢 A1 3.086cm2 木材
l
温度变化
T
杆件由于温度变化引起的变形量为：
lT lT
4 、有温度变化时杆件的总变形
有温度变化时，杆件的总变形 l 由两部分所组成： 即由温度变化所引起的
lT + 内力引起的
l N
l lT l N
lT 前的正负号是根据
若温度升高取正号; 温度变化而定的；
温度降低取负号；
FN1
FN2
A
F
F F
x
0
0
FN1 sin FN 2 sin 0
FN 1 FN 2
y
FN1 cos FN 2 cos FN 3 F 0
2、物理关系
杆件在各自轴力作用下沿轴线方
向的变形量
1
3 F
2
FN 1l l1 EA
FN2 l l2 EA
注意事项
1、 内力按真实方向假设；
2、 变形与内力一致； 3、 内力无法确定真实方向时可任意假设， 但必须满足变形与内力一致； 受力图、 变形协调图；
4、必须画出两种图：
5、两种方程： 静力平衡方程 补充方程；
要求： 变形与内力一致；
四 、温度应力 1、热胀冷缩：温度的变化会引起物体的膨胀或收缩；
§4-2 拉伸、压缩超静定问题
§4-3 圆轴扭转变形与刚度条件.超静定问题
§4-4 梁的变形.挠曲线微分方程及其积分
§4-5 用叠加法求弯曲变形
§4-6 简单静不定梁 .提高梁得刚度得措施
§4-7 杆的应变能
§4-1 轴向拉伸或压缩时的变形
FN l 当 p时， l — 胡克定律 EA
对于静定结构，温度的均匀变化会在杆件内引起应力吗？ 构件可以自由变形，变形不会受到任何限制， 温度均匀变化时，构件内不会产生应力；
对于超静定结构： 温度的均匀变化会在杆件内引起应力吗？ 在构件内会产生应力。 温度均匀变化时构件的变形受到限制，
2、温度应力或热应力 由于温度变化而在构件内产生的应力。 3 、线胀系数 α 温度每变化1℃，单位长度上杆件的变形量； 如果杆长
E 1 =200GPa E2=10GPa
6、应用强度条件，确定许可载荷 由角钢强度条件，确定许可载荷F
F
N1 1 A1
0.283F 1 A1
F 698 kN
由木柱的强度条件，确定许可载荷F
250
N2 2 A2
许可载荷
0.717F A2

2
F 1046 kN
A2 25 25 625cm
2
250
3、变形协调关系
250
l1 l2
E 1 =200GPa；
E2=10GPa
4、补充方程
F
N1 N2 E1 A1 E2 A2
5、补充方程与静力学方程联立求解
N1 N2 E1 A1 E2 A2
250 250
N 2 4N1 F 0
N1 0.283F N 2 0.717F
静力学不能求解全部的未知力； 超静定结构的强度和刚度均得到提高.
讨论
超静定问题与超静定结构： 未知力个数多于独立的平衡方程数。 超静定次数： 未知力个数与独立平衡方程数之差
例4 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超 静定，则为几次超静定？
B D E B D


C
A

C
F
未知内力数：3 平衡方程数：3
FAC FAB cos30 17.3KN
（2） 计算各杆变形量
l AB
FABl AB EA1
AAB=200mm2， AAC=250mm2，
20 103 2 103 1m m 9 6 200 10 200 10
l BC
FBC l BC 0.6m m EA2
l1 l2
FN3l3 FN3 lcos l3 EA EA
3、协调关系
寻找变形后节点的新位置
1
3 F
2
1
3

⊿L2
2
4、通过几何法，确定各变 形量之间的关系
⊿L1 ⊿L3
l1 l3cos
5、得到补充方程
将物理关系代入协调方程
l1 l3cos FN 1l FN3 l 2 cos EA EA
F
未知力数：5
静定。 平衡方程数：3 2次静不定。
例5 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超
静定，则为几次超静定？
未知内力数：3 平衡方程数：2
1次静不定； F
三、静不定问题的分析方法 三关系法
例6 三杆的材料、截面面积完全相 同，1、2杆长为L，计算各杆的受力 1 3 F 2
1、静力学关系 FN3
C 0.75m A 1m D 1.5m B F
lCD
FN lCD EA
3
d=2cm,E=200GPa,
F 12.06 KN
10 m
FCD 4.16F
(4) 确定变形后节点的新位置
D
C 0.75m A 1m D 1.5m B F
D’
yB
(5) 几何法计算位移
y B DD /(
小变形条件下:
在变形后杆件的端点作杆件轴线的垂线，两垂线的交点D近 似代替变形后节点的新位置A’
(5) 几何法计算节点位移
节点的水平位移
x A D l 2 0.6mm
铅垂位移
y l2 tan60 l1 sin 30
A’ D
1.0392 2 3.039 mm
l
i 1
n
FNi li EA
变截面杆
阶梯杆
FN x dx (dx) EAx
l
i 1
n
FNi li EAi
l
l
0
FN x dx EAx
刚度条件:
l [l ]
（许用变形）
根据刚度条件，可以进行刚度校核、截面设计及
确定许可载荷等问题的解决。
各垂线的交点为节点的新位置。
（4）几何关系： 计算节点位移。
§4-2 拉伸、压缩超静定问题
一、静定问题与静定结构 计算各杆的受力
FN1
1
FN2
A

A
2
F
F
F F
x
0 FN1 sin FN 2 sin 0
0
FN1 cos FN 2 cos F 0
6、静力学方程与补充方程联立求解
1
3 F
2
l1
FN 1 FN 2
FN3
F cos2 1 2 cos3
FN 1l EA
FN3 lcos EA
l3

F 1 2 cos 3
例7木制短柱的4个角用4个 40mm×40mm×4mm的等边角 钢加固， 已知角钢的许用应力 [σ]1=160MPa，E 1 =200GPa；