九章 湍流基础

湍流研究大致有三方面内容：
（1）湍流机理 （2）湍流的流动结构 （3）湍流预测（湍流模型） 9.1 湍流统计理论 9.1.1 湍流的统计方法 （1） 各态遍历假说 最常用的描述湍流统计的近似方法是平均方法。平均方法有 时均法、体均法及概率平均法（系综平均法）。 a. 时均法：定义物理量V(x,t)对时间的平均值 V ( x, t ) ，适合定 常湍流
Vi 0 xi
Vi (Vi Vi) (Vi Vi) Vi xi xi xi xi

(Vi Vi) (Vi Vi ) ( p p ) 2 (Vi Vi) (V j V j) t x j xi x 2 j
N (k )
~
i
)
Vi t
同理：
~ Vi Vi x j x j
~ mnVi mnVi m n m t xn t x j j
f.脉动值各阶导数的平均值等于零 9.1.2 脉动量的关联
m nVi 0 t m x n j
设Vi为湍流的瞬时流速，K=0.5Vi2 表示单位质量流体的动能。其 平均值

1 p
ij 2 S ij
2Vi ij x 2 x j j
xi

2Vi 单位质量流体上的平均流粘性应力的合力 x 2 j
ViV j 雷诺应力 pij
直角坐标中：
u u u v P v u v v w u w v
K 1 1 1 1 i V iV i (V i V i )( V i V i ) V i V i V iV 2 2 2 2
脉动量的关联——脉动量乘积的平均值，反映脉动量之间统 计上的联系程度。如两个脉动量的关联等于零，则称它们在统计上 不相关，或统计独立。 n阶自关联：同一脉动量n次乘积的平均值 n阶互关联：不同脉动量n次乘积的平均值
因此，雷诺方程又可以表示为
V V p 2Vi i V j i (V jVi ) t x j xi x 2 x j j
——雷诺方程，湍流时均方程
2Vi Vi Vi V j ( ) ( ) ( ) x 2 x j x j x j x j xi x j j S ij V i Vi ( )2 x j x j x j xi
（a）二阶时间关联Rij(x,t;τ) 同一空间位置上，相隔给定时间差τ的两个脉动量时间序 列之积的平均值定义为这两脉动量的二阶时间关联。
R ij ( x , t ; r ) V i ( x , t ) V j ( x r , t )
Rij(r>r0)≡0 表示Vi/, Vj/在空间方向r上互不相关。 一般，r→∞时，Rij(∞)=0 (c)二阶及n阶时空关联: 二阶时空关联：
R ij ( x , t ; ) V i ( x , t ) V j ( x , t )
如果Rij(τ>τ0)=0，表示Vi/, Vj/ 在相隔时间大于τ0时，互不相关。 但同一时刻的统计量的自关联总是大于零， 如： R ii ( 0 ) V i ( x , t ) V i ( x , t
A( p ) ( x i , t )
以下的讨论均建立在各态遍历假说成立的前提下！ （2）时均值和脉动值的性质 流体力学中讨论湍流问题，通常采用时均的方法。 瞬时量=平均值A +脉动值A/ ，即



A j f ( A j ) dA j
今尚未找到关于湍流概率密度的基本方程。
可见，概率平均值 A( p ) ( x i , t ) 取决于概率密度f(Aj) ，但至
3 V1V
（1）湍流脉动运动方程（湍流脉动动量方程） N-S 方程减去雷诺方程（湍流时均方程）得
V 2Vi V V V p j) i V j i V j i V j i ( ViV x j x j xi x 2 x j t x j j
A 0
AA
脉动量
因此，在湍流的统计理论中，用概率平均方法进行理论研 究，而用试验得到的时均值或体均值予以验证。这意味着时均 或体均法可推广到非定常或不均匀湍流。
c.脉动值乘以常数的平均值为零 KA 0 d.脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零
B A 0
1
e.湍流瞬时值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数
概率论中各态遍历假说：一个随机变量在重复多次的试验中出 现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长时间或相当大的 空间内以相同的概率出现。 由于这一假设：
A ( t ) A ( ) A( p ) A
A A A
平均值 脉动值与平均值的性质： a.平均值的平均仍为原平均值 b.脉动值Biblioteka Baidu平均值为零
Vi t

Vi Vi p j ) V j ( ij ViV t x j xi x j
——用应力表示的雷诺方程，可用于非牛顿流体。
单位质量流体的平均流动量的局部变化率 单位质量流体的平均流动量的迁移变化率 单位质量流体上的平均流压力的合力
(ViV j ) x j
j 雷诺方程中有10 个未知数：V , p , ViV
雷诺方程加上连续性方程，只有四个方程，显然方程组不封闭 湍流统计理论的任务便是找到雷诺应力的封闭方程。 9.1.4 雷诺应力
(2)雷诺应力的物理意义:单位面积上脉动动量通量平均的负值 取一个体积为dx1dx2dx3 的微元控制体，假设只考虑有脉动速度 V1/,V2/,V3/ ，(即认为微元体本身以时均速度移动)
t x j
u w v w w w
x j
j 表示单位质量流体所具有雷 说明：在本教材中引入 Rij ViV 诺应力。在均质不可压湍流中，密度为常数，常常可用单位质量 流体所具有的雷诺应力表示。
(ViV j ) 1 p ij pij 雷诺方程也可写成 Vi ( )
~ Vi 1 t N ~ k) V i 1 N (~ 1 Vi ( t N t t N k 1 k 1
N (k )
几个常用的关联： （1）湍动能k：流体质点单位质量的湍动能k定义为脉动速度平 方的平均值的一半。 1
k 2 i V iV
V
k 1
j ij ViV
单位时间内，过dx2dx3的质量为ρV1/dx2dx3 它在三个坐标轴方向具有的动量为：
1dx 2 dx 3 , V1V 2dx 2 dx 3 , V1V 3dx 2 dx 3 V1V
9.1.5 雷诺应力输运方程和湍动能输运方程 x3


c.概率平均法（系综平均法） 在相同的初始条件及边界条件下进行多次重复试验，将测 得结果求算术平均，得到概率平均值。 N
A( p ) ( x i , t )
Vi ( t ) ( xi )
1 T

t 0 T
t0
Vi ( xi , t )dt

j 1
A j ( xi , t ) N
若引入概率密度 f ( Aj ) ，则

Vi 0 xi 假设各态遍历假说成立，用时均值表示统计平均值 Vi Vi Vi
不可压流体的连续性方程:
Vi Vi p 2V i V j t x j xi x 2 j
将 Vi Vi Vi ，p p p 表示 ，并代入上式，得
单位质量流体的平均运动的动能 单位质量流体的湍动能 （2）湍流度e:脉动速度的均方根与当地平均速度绝对值之比， 反映当地脉动运动的强度 1
e i ) 2 (V iV
1
(V iV i ) 2
（3）关联函数
利用关联来考察脉动量在时间序列上或空间分布的统计相关特性
(b)二阶空间关联Rij(x,t;r)：同一时刻，相隔给定空间位移r的两个 脉动量之积的平均值定义为两脉动量之间的二阶空间关联
V j j) (ViV Vi x j x j
按时间平均概念，单位时间内 通过控制面的时均脉动动量为：
1, V1V 2, V1V 3 V1V
1 V1V
0
x2
2 V1V
x1
平均脉动动量在微元体控制面dx2dx3上产生反作用力，如 规定脉动动量方向与坐标一致为正，则单位面积上三个反作用
) 2k 0
R ij ( x , t ; r , ) V i ( x , t )V j ( x r , t )
三阶时间关联：
一般说来，两个随机函数在时间上间隔很长以后，就互不 相关，因此，通常Rij(∞)≡0。
R ij , k ( x , t ; ) V i ( x , t )V j ( x , t )V k ( x , t )
湍流理论就是研究脉动的关联量与平均值之间的相互关系!
9.1.3 湍流的基本方程－湍流连续性方程及雷诺方程 多年实践证明粘性流体的运动方程和连续性方程对于湍流的 瞬时运动同样适用。 （1）连续性方程 （2）雷诺方程
Vi 0 ——脉动流动的连续性方程 xi
由不计质量力的不可压缩流体的瞬时流动的 N-S 方程
x j
雷诺应力的性质： (1)雷诺应力是二阶对称张量，有六个独立分量。
j 是一点，即 0, r 0 的二阶互关联： ViV
j V jVi, ViV Rij R ji
ViV j pij ij p 2 ij , p ij
对上式求平均值，得
Vi 0 xi
——时均流动的连续性方程

Vi Vi V 2Vi p V j V j i t x j x j xi x 2 j
2
V j
V j Vi (V jV i ) V i (V jV i ) x j x j x j x j
第九章 湍流
基本内容 1.湍流运动描述：雷诺平均； 2.湍流模型： Boussinesq涡团粘度模型、混合长度模型、 k-ε 3.基于混合长度模型的简单湍流流动分析（圆管流 动）； 4.湍流稳定性分析：层流向湍流转捩的条件（非线性 分析思想） 关于湍流现象：
第九章 湍流
雷诺：一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动。 泰勒和卡门：是常在流体流过固体表面或相同流体的分层流动中 出现的一种不规则流动。 欣策（I.O.Hinze) 湍流是流体运动的一种不规则情形。在湍流中 各种流动的物理量随时间和空间坐标而呈随机的变化，因而具有 明显的统计平均值。 二十世纪六十年代以来，湍流中大涡拟序结构的发现，改变 了对湍流的某种传统看法。湍流并不是完全不规则的随机运动， 在表面看来不规则的运动中隐藏着某些可检测的有序运动，称为 “拟序运动”，或 “拟序结构”，“相干结构 ( coherent structure)”。
T为平均周期，要求T比湍流的脉动周期大得多，以得到稳定的 平均值，同时又比流动作不定常运动时的特征时间小得多。 b.体均法:对空间平均,适合均匀湍流 空间沿某一方向的各点（如轴线）速度测量结果的平均值 （一维体均法定义） 1 x0 L u ( x ) (t 0 ) u ( x , t 0 ) dx L x0 任意物理量在空间意义上的平均值定义： 1 A( ) (t 0 ) A ( x i , t 0 ) d