第七章应力和应变分析、强度理论详解

α角：由x 轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正； 反之为负。
二、极值正应力和极值切应力
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
令 d 0 d
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
可见在 0 的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）
主平面
主应力
x
2
y
sin
2
xy
只有一个主应力不为零 (就是拉压时斜截面应力分析)
有两个主应力不为零 (材料力学研究)
三个主应力都不为零 (弹性力学研究)
FP
例1
S平面
S平面
5 4
3
x1
Mz Wz
2 1
1
l/2
l/2
FP
5
2
4
Mz
FPl 4
3 2
2
1
2
x2
2
3
3
例2 l
SF
a
Fa T
M
Fl
S平面
y
1
T
4
z
x
2
3 Mz
1
τ
假定1对应着切应力取得极值的截面，则有
tan
21
x 2 xy
y
cos 21
2 xy
x y
2
4
2 xy
sin 21 tan 21 cos 21
x y
x y
2
4
2 xy
cos 21
2 xy
x
y
2
4
2 xy
sin 21 tan 21 cos 21
x
y
2
sin 2
1
1 tg 2 20
x y
x y
2
4
2 xy
sin 20 tg20 cos 20
2 x
x y
2
4
2 xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
主应力按代数值排序：σ1 σ2 σ3
将斜截面上的切应力 对 求导数得
d
d
x y
cos 2 2 xy sin 2
cos
2
0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0 0 90 o
由切应力互等定理可知， 两个主平面相互垂直， 因此，主应力也一定互 相垂直。
cos 20
1
1 tg 2 20
x y
x y
2
4
2 xy
sin 20 tg20 cos 20
2 x
x y
2
4
2 xy
cos 20
主平面上的正应力叫作主应力。 3
可以证明，弹性体内任意一点的主平 面和主应力一定存在，并且一定是唯 一存在。
主应力采用符号： 1 , 2 , 3
并且规定： 1 2 3
2 1
主平面的外法线方向称为主方向。
若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体 称为主单元体。
➢ 应力状态的分类
化简得
1 2
( x
y)
1 2
( x
y ) cos 2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy
cos 2
适用条件： ➢斜截面必垂直于x-y平面； ➢ z平面无切应力。
➢ 正负号规则
x a
y yx
xy
x
y
x
α a
n
a
xy
x
t yx
y
正应力：拉为正；反之为 负。 切应力：使微元顺时针方 向转动为正；反之为负。
二、三向应力状态
➢ 在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应 力状态
F
3
A
1 A
2
1
2 3
§7.3 二向应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
x α
y
yx xy
x
y
x
α a
n
a
xy
dA
yx
t
y
Fn 0 Ft 0
➢ 列平衡方程
x α a
n
a
Fn 0
xy
dA
yx
t
源自文库
dA xy (dAcos )sin x (dAcos ) cos y
xy
cos 2
x y
x y
2
4
2 xy
max
min
x
y
2
2
2 xy
0 0 45
最大切应力
max
1
3
2
用应力状态理论解释下列现象：
（1）韧性材料（如低碳钢）构件拉伸时，其表面出现与轴 线成45°左右的滑移线； （2）铸铁构件扭转时，沿45°螺旋面断裂。
[例3] 试求右图中所示单元体的主应力和最大剪应力。
➢ 单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零； ➢ 二向（平面）应力状态：三个主应力中有两个不为零； ➢ 三向（空间）应力状态：三个主应力都不等于零。
二向应力状态和三向应力状 态统称为复杂应力状态。
三
二
向
向
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
单向应力状态 纯剪应力状态
单向应力状态 （简单应力状态）
二向应力状态 (复杂应力状态) 三向应力状态 (复杂应力状态)
低碳钢
45
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
低碳钢
铸铁
45
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
➢ 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同 截面存在不同的应力；同一截面上，不同的点应 力也不一样；即使同一点，不同的方向上应力也 不一样。
➢ 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力 的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向， 需要对各点的应力情况做出分析。
yx (dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
Ft 0
dA xy (dAcos ) cos x (dAcos ) sin
yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
利用三角函数公式
并注意到 xy yx
{ cos2 1 (1 cos 2 ) 2 sin2 1 (1 cos 2 ) 2 2sin cos sin2
1、求主应力
x 10MPa, y 30MPa, xy 20MPa
T W
p
σ
Mz Wz
3
τ
T W
p
σ
M W
z z
§7.2 二向和三向应力状态的实例
一、二向应力状态
➢ 圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态
mn
A
B
DC
n
F p D2
p
(a)
4
(b)
D
m ln
n
F
p D2
4
pD
A D 4
y
np
m
(c)
l n
p d
m
D
FN
(d)
FN
FN pD l 2
第七章 应力和应变分析、强度理论
§ 7.1 应力状态概述
§ 7.2 二向和三向应力状态的实例
§ 7.3 二向应力状态分析——解析法
§ 7.4 二向应力状态分析——图解法
§ 7.5 三向应力状态
§ 7.8 广义胡克定律
§
7.10 强度理论概述
§
7.11 四种常用强度理论
§7.1 应力状态概述
➢ 为什么要研究应力状态? 铸铁
➢ 通过受力构件内某一点的各个截面上的应力情况， 就称为该点的应力状态。
➢ 研究应力状态的方法
在构件内部取微分单元体（一般为正六面 体），代表一个点，分析六个微面上的应力， 并且假设相互平行的微面上，应力相等。
每个微面上的应力 可以分解为一个正应力 和 两个剪应力。
➢ 主平面和主应力
= 0的平面叫作主平面。