【高中数学】 等差数列及其前n项和 学案
等差数列及前n项和教案
等差数列及前n项和教案教案标题：等差数列及前n项和教案教案目标：1. 学生能够理解等差数列的概念和特点。
2. 学生能够找到等差数列的公差和通项公式。
3. 学生能够计算等差数列的前n项和。
教学重点：1. 理解等差数列的概念和特点。
2. 掌握等差数列的公差和通项公式。
3. 掌握计算等差数列的前n项和的方法。
教学难点：1. 掌握等差数列的通项公式的推导过程。
2. 理解等差数列的前n项和的计算方法。
教学准备：1. 教师准备黑板、白板、彩色粉笔或白板笔。
2. 准备等差数列的例题和练习题。
3. 准备计算等差数列前n项和的例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等差数列的概念，例如："同学们，你们知道什么是等差数列吗？"2. 让学生举例说明等差数列的特点，例如："请举一个等差数列的例子，并说明它的特点。
"3. 教师对学生的回答进行点评和引导，确保学生对等差数列的概念和特点有基本的了解。
二、讲解等差数列的公差和通项公式（15分钟）1. 教师通过示意图和具体例子，讲解等差数列的公差的概念和计算方法。
2. 教师引导学生思考等差数列的通项公式，并逐步推导出通项公式的公式形式。
3. 教师通过例题和练习题，帮助学生掌握等差数列的公差和通项公式。
三、计算等差数列的前n项和（20分钟）1. 教师讲解等差数列前n项和的概念和计算方法。
2. 教师通过示意图和具体例子，讲解等差数列前n项和的计算步骤。
3. 教师通过例题和练习题，帮助学生掌握计算等差数列前n项和的方法和技巧。
四、巩固练习（15分钟）1. 教师提供一些练习题，让学生独立或小组完成。
2. 教师布置一些课后作业，巩固学生对等差数列及前n项和的理解和掌握。
五、总结与展望（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、特点、公差和通项公式以及计算前n项和的方法。
2. 教师展望下节课的内容，例如引入等差数列的应用问题，如等差数列在日常生活中的应用等。
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的公式。
3. 能够运用前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的公式。
3. 等差数列前n项和的性质。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念及其性质，等差数列的前n项和的公式。
2. 教学难点：等差数列前n项和的性质的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解等差数列的概念、性质和前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨等差数列前n项和的性质。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念，激发学生兴趣。
2. 新课导入：讲解等差数列的定义及其性质，引导学生理解等差数列的特点。
3. 公式讲解：讲解等差数列的前n项和的公式，让学生掌握计算等差数列前n项和的方法。
4. 案例分析：分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用，让学生学会运用知识解决实际问题。
5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的性质及其应用。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列概念和性质的理解程度。
2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对等差数列前n项和公式的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面，重点是否突出，难点是否讲清楚。
2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否适合学生，是否有效激发学生的兴趣和参与度。
3. 反思教学效果：根据学生反馈和作业情况，评估教学目标的达成程度。
八、教学拓展1. 等差数列在实际生活中的应用：举例说明等差数列前n项和公式在生活中的运用，如计算工资、奖金等。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法。
2、能够熟练运用等差数列前 n 项和公式解决相关问题。
3、体会等差数列前 n 项和公式的应用价值，提高数学思维能力。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）利用等差数列前 n 项和公式解决实际问题。
2、难点（1）等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的理解。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式进行变形和求解。
三、知识回顾1、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示。
2、等差数列的通项公式：＼（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）（＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数，＼（d\）为公差）四、引入新课在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：一个等差数列的各项之和是多少？例如，一堆按等差数列排列的钢管，如何快速计算它们的总数？这就涉及到等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\），则\（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋a_n\）①我们将上式倒过来写可得：＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2}＋＼cdots ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋（a_3 ＋ a_{n 2}）＋＼cdots ＋（a_n ＋ a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝＼frac{n2a_1 ＋（n 1)d}｛2}＼）方法二：通项公式法由等差数列的通项公式\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\）可得：＼＼begin{align}S_n&＝a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d\＼＆＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼六、等差数列前 n 项和公式的应用1、已知\（a_1\），＼（d\），＼（n\），求\（S_n\）例 1：在等差数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 2\），＼（d ＝3\），＼（n ＝ 10\），求\（S_{10}＼）。
等差数列及其前n项和教案
等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。
3. 能够运用等差数列的概念和前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 等差数列的定义与性质等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，这个数列叫做等差数列。
等差数列的性质：（1）等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d（2）等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 (a1 + an) 或Sn = n/2 (2a1 + (n-1)d)2. 等差数列的前n项和的计算方法（1）利用通项公式法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] （2）利用首项和末项法计算等差数列的前n项和：Sn = n/2 (a1 + an) = n/2 (a1 + a1 + (n-1)d) = n/2 [2a1 + (n-1)d] 3. 实际问题中的应用例题：已知等差数列的前5项和为35，公差为3，求首项和末项。
解：设首项为a1，末项为an，则有：S5 = n/2 (a1 + an) = 5/2 (a1 + an) = 35a1 + an = 14an = a1 + (n-1)d = a1 + 43 = a1 + 12将an代入上式得：a1 + (a1 + 12) = 142a1 + 12 = 142a1 = 2a1 = 1an = a1 + 12 = 1 + 12 = 13三、教学重点与难点：重点：等差数列的定义与性质，等差数列的前n项和的计算方法。
难点：等差数列前n项和的计算方法的灵活运用。
四、教学方法：采用讲解法、例题解析法、练习法相结合的教学方法，通过PPT辅助教学，使学生更好地理解和掌握等差数列及其前n项和的知识。
五、教学准备：1. PPT课件2. 黑板、粉笔3. 教学案例及练习题六、教学过程：1. 导入：通过复习等差数列的定义与性质，引导学生进入本节课的学习。
等差数列及其前n项和教案
等差数列及其前n项和教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。
2. 让学生掌握等差数列的前n项和公式，并能灵活运用。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、性质。
2. 等差数列的通项公式：ar + (a1 a)d。
3. 等差数列的前n项和公式：S_n = n/2 (a1 + a_n) 或S_n = n/2 (2a1 + (n 1)d)。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念、通项公式、前n项和公式。
2. 教学难点：等差数列前n项和公式的推导及灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等差数列的性质。
2. 使用数形结合法，帮助学生直观理解等差数列的前n项和公式。
3. 利用实例分析，让学生学会解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如连续的自然数、等间隔的时间等，引导学生思考等差数列的特点。
2. 讲解：讲解等差数列的定义、性质，引导学生推导等差数列的通项公式。
3. 探讨：分组讨论等差数列的前n项和公式，引导学生运用归纳法进行推导。
4. 应用：通过例题，让学生学会运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
教案编辑专员：[[您的名字]]六、教学练习1. 让学生通过练习题加深对等差数列概念、通项公式和前n项和公式的理解。
2. 培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
练习题：（1）判断题：等差数列的任意两项之和等于这两项中间项的两倍。
（对/错）（2）填空题：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
（3）计算题：已知等差数列的首项为2，公差为3，求前5项的和。
七、拓展与应用1. 让学生了解等差数列在实际生活中的应用，如等差数列在统计、物理、经济学等领域中的应用。
2. 培养学生将所学知识运用到实际问题中的能力。
案例分析：分析现实生活中等差数列的应用实例，如连续奖金发放、等额本息还款等，引导学生运用等差数列的知识解决实际问题。
等差数列前n项和教案
等差数列前n项和优秀教案一、教学目标知识与技能：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 掌握等差数列前n项和的公式；3. 会运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
过程与方法：1. 通过探究等差数列的性质，引导学生发现等差数列前n项和的规律；2. 利用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心；2. 培养学生勇于探索、积极思考的精神；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点重点：1. 等差数列前n项和的公式；2. 运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
难点：1. 等差数列前n项和的公式的推导；2. 灵活运用等差数列前n项和公式解决复杂问题。
三、教学准备教师准备：1. 等差数列的相关知识；2. 等差数列前n项和的公式；3. 教学案例和练习题。
学生准备：1. 掌握等差数列的基本知识；2. 具备一定的数学思维能力；3. 准备笔记本，做好笔记。
四、教学过程1. 导入：通过复习等差数列的基本知识，引导学生回忆等差数列的性质，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究等差数列前n项和的公式：引导学生发现等差数列前n项和的规律，引导学生利用已知的等差数列性质推导出前n项和的公式。
3. 讲解等差数列前n项和的公式：讲解公式的含义、推导过程及其应用，让学生理解并掌握公式的运用。
4. 运用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和：通过具体案例，让学生学会运用不同的方法求解等差数列前n项和，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
五、课后反思教师在课后要对教案进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对性地调整教学方法，以提高教学效果。
关注学生的学习情况，了解学生在学习等差数列前n项和过程中遇到的问题，及时给予解答和指导。
等差数列前n项和教案（共5篇）
等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。
【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。
等差数列前n项和公式教案
等差数列前n项和公式教案教学目标：1. 知识目标：让学生掌握等差数列前n项和公式的推导方法，并能够准确运用公式。
2. 能力目标：* 通过公式的探索、发现，培养学生的观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理能力。
* 让学生学会利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生的类比思维能力。
* 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生的思维灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：* 通过公式的发现，让学生感受到普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
* 通过公式的运用，帮助学生树立“大众教学”的思想意识。
* 通过生动具体的现实问题、令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
教学内容：1. 等差数列的前n项和定义：一般地，我们称a1 + a2 + a3 + ... + an为数列an的前n项和，用Sn表示。
记法：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an。
2. 等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
3. 公式的推导方法：倒序相加法。
4. 公式的运用。
教学步骤：1. 导入：介绍等差数列的概念和前n项和的定义。
2. 探索与发现：通过倒序相加法，引导学生探索等差数列前n项和公式的推导过程。
3. 讲解公式：详细解释公式的意义、来源和应用方法。
4. 练习与巩固：给出一些例题，让学生运用公式进行求解，以加深对公式的理解和掌握。
5. 总结与反思：对本节课内容进行总结，并引导学生反思学习过程中的收获和不足之处。
《等差数列的前 n 项和》 教学设计
《等差数列的前 n 项和》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解等差数列前 n 项和公式的推导过程，熟练掌握等差数列前 n 项和公式，并能运用公式解决相关问题。
2、过程与方法目标通过对等差数列前 n 项和公式的推导，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力；通过公式的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生在探索和解决问题的过程中，体验数学的乐趣，增强学习数学的信心，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导及应用。
2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想方法的渗透。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课（1）回顾等差数列的定义、通项公式等相关知识。
（2）提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导（1）高斯算法讲述高斯计算 1+2+3+＋100 的故事，引导学生发现求和的规律。
（2）倒序相加法以等差数列{aₙ}为例，其通项公式为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d。
设 Sₙ ＝ a₁＋ a₂＋ a₃＋＋ aₙ ①Sₙ ＝ aₙ ＋ aₙ₋₁＋ aₙ₋₂＋＋ a₁②①＋②得：2Sₙ ＝（a₁＋ aₙ) ＋（a₂＋ aₙ₋₁) ＋＋（aₙ ＋ a₁)因为等差数列的性质：若 m ＋ n ＝ p ＋ q，则 aₙ ＋ aₙ ＝ aₙ ＋aₙ，所以有：2Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ)则 Sₙ ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2又因为 aₙ ＝ a₁＋（n 1)d，所以 Sₙ ＝ na₁＋ a₁＋（n 1)d ／2 ＝ n(a₁＋ aₙ) ／ 2 ＝ na₁＋ n(n 1)d ／ 23、公式理解（1）分析公式的结构特点，强调 a₁、d、n 在公式中的作用。
（2）通过具体例子，让学生理解公式中各项的含义。
4、公式应用（1）例 1：已知等差数列{aₙ}中，a₁＝ 2，d ＝ 3，n ＝ 10，求S₁₀。
高中数学必修5《等差数列的前n项和》教案
高中数学必修5《等差数列的前n项和》教案一、教学目标1. 了解等差数列的概念和性质；2. 能够求等差数列前n项和的公式；3. 能够应用等差数列的前n项和公式解决实际问题。
二、教学重难点1. 理解等差数列的性质和前n项和公式的推导过程；2. 能够正确运用公式解决实际问题。
三、教学方法1. 归纳法教学法；2. 实例演示法；3. 课堂讲解法。
四、教学过程1. 等差数列的概念和性质1) 定义：若一个数列从第二项开始，每一项与它的前一项之差相等，则该数列为等差数列。
2) 性质：（1）等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。
（2）等差数列的前n项之和：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。
3) 练习：已知等差数列的首项为$5$，公差为$3$，求第$10$项的值。
解：$a_n=a_1+(n-1)d=5+(10-1)×3=32$。
2. 等差数列的前n项和1）等差数列的前n项和定义为：$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$。
2）考虑S(n)+S(n)的值：S(n)+S(n)=a1+a2+...+a(n-1)+anan+an-1+...+a2+a1结论：S(n)+S(n)=(a1+an)+(a2+a(n-1))+...，共n/2项，其值均为a1+an。
即：2S(n)=n×(a1+an)。
故：$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}$。
3）练习：已知等差数列的首项为$2$, 公差为$3$, 求该等差数列的前$10$项和。
解：$a_1=2,d=3,n=10$,$S_n=\frac{n[a_1+a_n]}{2}=\frac{10[2+(2+9×3)]}{2}=110$。
五、课后作业1. 熟练掌握等差数列的概念及其公式；2. 完成教材上相应的练习题；3. 思考并尝试解决实际生活中遇到的等差数列问题。
等差数列及其前n项和学案
教案标题等差数列及其前n项和教师姓名学生姓名学科数学适用年级高中三年级适用范围全国教学目标知识目标1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列;2、熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质;3、掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.能力目标通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度价值观1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.2、通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点;知识点等差数列的概念、通项公式、性质及前n项和重难点重点：等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和的理解与应用难点：灵活应用等差数列定义、通项公式、性质、前n项和公式解决一些简单的有关问题.知识讲解1．等差数列的有关定义 (1)一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的__差__等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为__ a n ＋1－a n ＝d __________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是__ A ＝a ＋b2________，其中A 叫做a ，b 的___等差中项_______．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝_ a 1＋(n －1)d _______，a n ＝a m ＋_ (n －m )d _______ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝_ na 1＋n (n －1)2d _________＝__(a 1＋a n )n2__________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .4．等差数列的性质(1) 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有__a m ＋a n ＝a p ＋a q ________， 特别地，当m ＋n ＝2p 时，___ a m ＋a n ＝2a p ___________.(2) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为__2d ______(3) 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为__ md ____的等差数列.(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为__递增数列__________； 若d <0，则数列为____递减数列______；若d ＝0，则数列为___常数列_____． (6)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝n2d .若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最______值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最______值. 大 小6．方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解.例题讲解题型一 等差数列的基本量的计算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3， a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)方法一 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.因为关于a 1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d 2－8(10d 2＋1)＝d 2－8≥0， 解得d ≤－22或d ≥2 2.方法二 ∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0， 即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.探究提高 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .解 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.题型二 等差数列的判定或证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的最大值和最小值. (1)证明 ∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1 ＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞内为减函数.∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.探究提高 1．证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d ；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.就本例而言，所用方法为定义法.2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列．(2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝S n －12S n －1＋1(n ≥2)，a 1＝2.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； ②求a n 的表达式.①证明 由S n ＝S n －12S n －1＋1，得1S n ＝2S n －1＋1S n －1＝1S n －1＋2，∴1S n －1S n －1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1即12为首项，以2为公差的等差数列. ②解 由知1S n ＝12＋(n －1)×2＝2n －32，∴S n ＝12n －32，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －32－12n －72＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72； 当n ＝1时，a 1＝2不适合a n ， 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －72 n ≥2.(2)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． ①求a 2，a 3的值．②是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解 ①∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.②假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3. ∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．题型三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．解 方法一 设此等差数列为{a n }共n 项， 依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146. ② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n . 将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n 2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二 设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180，∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360， 得18n ＝360，∴n ＝20. 所以该数列的项数为20项．变式训练3已知数列{a n }是等差数列．(1)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．解 (1) ∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列， ∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(2) 设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11. ∴数列的中间项为11，项数为7.题型四 等差数列的前n 项和及综合应用例4 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和. 解 (1)方法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.∴a 13＝0，即当n ≤12时， a n >0，n ≥14时，a n <0， ∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 13＝S 12＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.方法二 同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三 同方法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值.且最大值为S 12＝S 13＝130. (2)∵a n ＝4n －25，a n ＋1＝4(n ＋1)－25， ∴a n ＋1－a n ＝4＝d ，又a 1＝4×1－25＝－21.所以数列{a n }是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝4n －25<0， ①a n ＋1＝4n ＋1－25≥0， ②由①得n <614；由②得n ≥514，所以n ＝6.即数列{|a n |}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，而|a 7|＝a 7＝4×7－24＝3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ，则T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧21n ＋n n －12×－4 n ≤666＋3n －6＋n －6n －72×4 n ≥7＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n n ≤6，2n 2－23n ＋132 n ≥7.点评： 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大； (2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)看做二次函数，利用二次函数的图象或配方法求最值，注意n ∈N *.变式训练4(1) 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解 方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312. ∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小．可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二 同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0.①求S n 的最小值及此时n 的值；②求n 的取值集合，使a n ≥S n .解 方法一 ①设公差为d ，则由S 2 009＝0⇒2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0⇒a 1＋1 004d ＝0， d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n1 004a 1，∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n 1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.②a n ＝1 005－n 1 004a 1.S n ≤a n ⇔a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1. ∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0，即(n －1)(n －2 010)≤0，解得：1≤n ≤2 010. 故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}.(3)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝m ，前m 项和S m ＝n (m ≠n )，求它的前m ＋n 项 的和S m ＋n .解 方法一 设{a n }的公差为d ，则由S n ＝m ，S m ＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧S n＝na 1＋n n －12d ＝m ， ①S m ＝ma 1＋m m －12d ＝n . ②②－①得(m －n )a 1＋m －n m ＋n －12·d ＝n －m ，∵m ≠n ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋m ＋n m ＋n －12d＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋m ＋n －12d ＝－(m ＋n ).方法二 设S n ＝An 2＋Bn (n ∈N *)，则⎩⎪⎨⎪⎧Am 2＋Bm ＝n ， ③An 2＋Bn ＝m . ④ ③－④得A (m 2－n 2)＋B (m －n )＝n －m .∵m ≠n ，∴A (m ＋n )＋B ＝－1，∴A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n )，∴S m ＋n ＝－(m ＋n ).课后作业A. 基础题自测1．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．352．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．73在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为 ( )A ．14B ．15C ．16D ．174．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的是 ( ) A ．S 30是S n 中的最大值 B ．S 30是S n 中的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝05．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝10，b 1＝90，a 2＋b 2＝100，那么数列{a n ＋b n }的第2 012项的值是( )A.85B.90C.95D.1006．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 3n ，则数列{b n }的前9项和等于________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3， ∴a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝a 3n ＝9n ，∴数列{b n }的前9项和为S 9＝9＋812×9＝405.7．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝___15_____.8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝__10______. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝____27____.10．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4. (1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．(1) 证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d(2)解 由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110， 故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2))(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1)B.中档题演练1.设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于 ( ) A.31B.32C.33D.342.数列{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A.40B.200C.400D.203设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A.8B.7C.6D.54.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于 ( ) A.0B.16C.13D.125.在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0 (n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于( ) A.－2B.0C.1D.26．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．D [解析] a n b n ＝2n －1a n 2n －1b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，所以当n ＝1,2,3,5,11时满足．7 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝__15______. 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝__13______.9. 等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为___75_____.10. 设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为_____1941___. 11.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p 、q ∈R ，且p 、q 为常数). (1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列； (2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.(1)解 a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ，要使{a n }是等差数列，则2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，所以只有2p ＝0， 即p ＝0.故当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列. (2)证明 ∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数.∴{a n ＋1－a n }是等差数列. 12．在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值． （2）求数列{|a n |}的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36，∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63， a n ＋1＝3n －60， 令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21，∴S 20＝S 21＝－630， ∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).C.难题我破解1．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)． (1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列(2)解 由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2(3)解 若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)(9分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]2.已知等差数列{a n }中，公差d >0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题设知，{a n }是等差数列，且公差d >0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4. ∴a n ＝4n －3 (n ∈N *).(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列. 即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列.。
高中数学《等差数列的前n项和》教案苏教版必修
高中数学《等差数列的前n项和》教案苏教版必修一、教学目标1.掌握等差数列的定义和性质。
2.理解等差数列的通项公式和前n项和公式。
3.能够应用前n项和公式计算等差数列的和。
4.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点1.等差数列的定义和性质。
2.等差数列的通项公式和前n项和公式。
3.应用前n项和公式计算等差数列的和。
三、教学内容1. 等差数列的定义和性质•等差数列的定义：若一个数列中任意相邻两项的差等于同一个常数d，则称该数列为等差数列。
•等差数列的性质：–公差d是等差数列的一个重要属性，它确定了等差数列的变化规律。
–等差数列的第n项可以表示为：a n=a1+(n−1)d。
–等差数列的前n项和可以表示为：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
2. 等差数列的通项公式和前n项和公式•等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d，其中a n表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
•等差数列的前n项和公式：$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中S n表示等差数列的前n项和。
3. 应用前n项和公式计算等差数列的和•通过前n项和公式，我们可以方便地计算等差数列的前n项和。
•实际应用中，等差数列的前n项和常用于计算某项数值的总和，例如等差数列的总销售额、总花费等。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问学生，引导他们回顾等差数列的定义和性质，以及等差数列的通项公式。
2. 介绍前n项和公式的推导过程教师通过具体例子，引导学生思考前n项和公式的推导过程，并解释推导的原理和思路，强化学生对公式的理解。
3. 进一步练习教师出示一些实际问题，引导学生运用前n项和公式计算等差数列的和。
通过练习，巩固学生对公式的应用能力。
4. 拓展应用教师引导学生思考等差数列在实际问题中的应用，并组织学生进行小组讨论，分享彼此的思考和启发。
五、课堂练习1.已知等差数列的首项为5，公差为2，求前10项和。
《等差数列前n项和》教案
《等差数列前n项和》教案一、教学目标1. 让学生理解等差数列前n项和的定义及公式。
2. 培养学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过探究等差数列前n项和的性质，提高其数学思维能力。
二、教学内容1. 等差数列前n项和的定义。
2. 等差数列前n项和的公式。
3. 等差数列前n项和的性质。
三、教学重点与难点1. 重点：等差数列前n项和的定义、公式及性质。
2. 难点：等差数列前n项和的公式的推导及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列前n项和的定义及公式。
2. 利用案例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等差数列前n项和的性质。
3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识及数学交流能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的基本概念，引导学生思考等差数列前n项和的定义。
2. 新课：讲解等差数列前n项和的定义，推导出等差数列前n项和的公式。
3. 案例分析：运用等差数列前n项和公式解决实际问题，引导学生发现等差数列前n项和的性质。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固等差数列前n项和的公式及性质。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的重要性质。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问等方式了解学生对等差数列前n项和定义及公式的理解程度。
2. 练习题：分析学生完成练习题的情况，评估学生对等差数列前n项和的掌握情况。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解学生对等差数列前n项和性质的理解。
七、教学拓展1. 等差数列前n项和的公式在实际问题中的应用，如计算工资、奖金等。
2. 引导学生探究等差数列前n项和的公式的推导过程，提高学生的数学思维能力。
八、教学反思1. 反思教学方法的有效性，根据学生的反馈调整教学策略。
2. 分析学生的学习情况，针对性地进行辅导，提高学生的学习效果。
九、课后作业1. 巩固等差数列前n项和的公式及性质。
等差数列前n项和教案
等差数列前n项和教案教案标题：等差数列前n项和教案学科：数学年级：高中一年级教学目标：1. 能够识别等差数列，并掌握其基本特征。
2. 理解等差数列前n项和公式的推导过程。
3. 能够运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
教学重点：1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程。
2. 运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
教学难点：1. 掌握等差数列前n项和公式的运用。
2. 能够将实际问题转化为数学模型，并找出合适的公式求解。
教学准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 学生练习册或作业本。
3. 针对不同能力层次的练习题。
4. 计算器（可选）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等差数列的概念，复习等差数列的定义和基本特征。
2. 提问学生：是否知道等差数列前n项和的计算方法，以及如何推导出公式。
二、知识讲解（15分钟）1. 通过例题演示，解释等差数列前n项和公式的推导过程。
2. 解释每个步骤的原理和思路，并与学生互动讨论相关问题。
3. 强调等差数列前n项和公式的重要性和实际应用。
三、练习与拓展（20分钟）1. 学生个人或小组完成练习册上的练习题，用等差数列前n项和公式解答问题。
2. 引导学生思考并解决实际问题，如等差数列的应用于生活中的场景。
3. 扩展学生思维，提供一些挑战性问题，要求学生运用等差数列前n项和公式求解。
四、巩固与总结（10分钟）1. 学生展示解题过程，相互评价并订正答案。
2. 教师总结等差数列前n项和公式的应用方法和注意事项。
3. 对学生提出的问题进行解答，并强调学生在解决实际问题时的思考方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置作业，要求学生在课后进一步巩固和拓展所学知识。
2. 要求学生提出一个实际问题，运用等差数列前n项和公式进行求解，并在下节课交流解答。
教学延伸：1. 学生可以通过编写一个程序来计算等差数列前n项和的值，并与手工计算结果比较。
2. 通过让学生解决一些实际问题，如物资储备、时间规划等，来应用等差数列前n项和公式。
等差数列的前n项和教案
等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。
3. 能够运用等差数列的前n项和解决实际问题。
二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。
2. 等差数列的前n项和的计算方法。
三、教学难点1. 等差数列的性质的理解与应用。
2. 等差数列的前n项和的计算方法的推导与理解。
四、教学准备1. 教师准备PPT或黑板，展示等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法。
2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题。
五、教学过程1. 引入：教师通过PPT或黑板，展示一些数列的例子，引导学生思考数列的规律。
2. 讲解：教师讲解等差数列的定义、性质和前n项和的计算方法，通过示例进行解释和说明。
3. 练习：教师给出一些等差数列的问题，让学生独立解决，并给出答案和解析。
4. 应用：教师给出一些实际问题，引导学生运用等差数列的前n项和解决实际问题，并提供解答和解析。
5. 总结：教师对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的重要性和应用价值。
六、教学拓展1. 引导学生思考等差数列的前n项和的性质，如奇数项和偶数项的和是否相等。
2. 引导学生探索等差数列的前n项和的公式推导过程。
七、课堂小结1. 回顾本节课学习的等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。
2. 强调等差数列的前n项和在实际问题中的应用价值。
八、作业布置1. 完成教材或练习册上的相关习题，巩固等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法。
2. 选取一道实际问题，运用等差数列的前n项和解决，并将解题过程和答案写下来。
九、课后反思1. 教师对本节课的教学效果进行反思，观察学生对等差数列的概念、性质和前n 项和的计算方法的掌握程度。
2. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和解题策略，为下一节课的教学做好准备。
十、教学评价1. 学生完成作业的情况，判断学生对等差数列的概念、性质和前n项和的计算方法的掌握程度。
等差数列及其前n项和教案
一、等差数列的概念与性质教学目标：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 能够识别和判断一个数列是否为等差数列；3. 掌握等差数列的通项公式。
教学内容：1. 等差数列的定义：介绍等差数列的定义，即数列中相邻两项的差是常数；2. 等差数列的性质：介绍等差数列的性质，如任意一项都可以用首项和公差表示，任意一项与前一项的差等于公差等；3. 等差数列的通项公式：介绍等差数列的通项公式，即第n项等于首项加上公差乘以(n-1)。
教学活动：1. 通过实例引入等差数列的概念，引导学生发现等差数列的性质；2. 通过练习题，让学生练习判断一个数列是否为等差数列，并找出其首项和公差；3. 引导学生推导出等差数列的通项公式，并通过练习题巩固。
二、等差数列的前n项和教学目标：1. 理解等差数列前n项和的定义及其计算方法；2. 能够计算一个等差数列的前n项和；3. 掌握等差数列前n项和的性质。
教学内容：1. 等差数列前n项和的定义：介绍等差数列前n项和的定义，即数列中前n项的和；2. 等差数列前n项和的计算方法：介绍等差数列前n项和的计算方法，即利用首项、末项和项数的关系进行计算；3. 等差数列前n项和的性质：介绍等差数列前n项和的性质，如前n项和与首项、末项和项数的关系。
教学活动：1. 通过实例引入等差数列前n项和的定义，引导学生发现等差数列前n项和的性质；2. 通过练习题，让学生练习计算一个等差数列的前n项和，并运用其性质；3. 引导学生探究等差数列前n项和的计算方法，并通过练习题巩固。
三、等差数列的求和公式教学目标：1. 理解等差数列的求和公式及其推导过程；2. 能够运用求和公式计算等差数列的前n项和；3. 掌握求和公式的应用。
教学内容：1. 等差数列的求和公式：介绍等差数列的求和公式，即前n项和等于首项加末项乘以项数除以2；2. 等差数列求和公式的推导过程：介绍等差数列求和公式的推导过程，引导学生理解公式的来源；3. 等差数列求和公式的应用：介绍等差数列求和公式的应用，如计算特殊数列的前n项和。
等差数列及其前n项和教案
等差数列及其前n项和教案一、教学目标：1. 理解等差数列的概念，能够识别等差数列的通项公式。
2. 掌握等差数列的前n项和的计算方法。
3. 能够运用等差数列的性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 等差数列的概念：定义、通项公式。
2. 等差数列的前n项和的计算方法：公式、性质。
3. 等差数列的应用：解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：等差数列的概念、通项公式；等差数列的前n项和的计算方法。
2. 难点：等差数列的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解等差数列的概念、通项公式、前n项和的计算方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的学习兴趣和积极性。
五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念。
2. 讲解：讲解等差数列的概念、通项公式，引导学生理解等差数列的性质。
3. 练习：让学生自主完成等差数列的前n项和的计算，巩固所学知识。
4. 应用：分析实际问题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列的概念、通项公式和前n项和的计算方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生的掌握情况，对教学方法进行调整，以提高教学效果。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生作业的完成情况，评估学生对等差数列概念和前n项和计算方法的掌握程度。
3. 测验评价：进行等差数列相关知识的测验，评估学生的学习效果。
七、教学拓展：1. 等差数列的进一步研究：引导学生探讨等差数列的性质，如项数与项的关系、项的取值范围等。
2. 等差数列与其他数列的关系：介绍等差数列与等比数列等其他数列的联系和区别。
3. 等差数列在实际问题中的应用：举例说明等差数列在生活中的应用，如统计数据处理、财务计算等。
高中等差数列前n项和公式教案优秀
高中等差数列前n项和公式教案优秀一、教学目标1.理解等差数列的定义及其性质。
2.掌握等差数列前n项和的公式。
3.能够运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
二、教学内容1.等差数列的定义及其性质。
2.等差数列前n项和的公式。
3.等差数列前n项和公式的运用。
三、教学过程第一步：导入1.引导学生回顾等差数列的定义及其性质。
2.提问：等差数列前n项和有什么特点？第二步：新课讲解1.讲解等差数列前n项和的公式。
公式：等差数列前n项和=(首项+末项)项数/22.解释公式的推导过程。
3.通过例题讲解公式运用。
第三步：课堂练习1.布置练习题，让学生运用公式计算等差数列前n项和。
2.引导学生互相讨论，解答疑难问题。
第四步：拓展提高1.引导学生思考：等差数列前n项和公式在实际问题中的应用。
2.举例讲解等差数列前n项和公式在实际问题中的应用。
第五步：课堂小结2.强调等差数列前n项和公式的重点、难点。
四、课后作业1.巩固等差数列前n项和公式的记忆。
2.提高运用等差数列前n项和公式解决实际问题的能力。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以便更好地引导学生掌握等差数列前n项和公式，提高学生的数学素养。
六、教学评价1.学生对等差数列定义及其性质的掌握程度。
2.学生对等差数列前n项和公式的理解与应用能力。
3.学生在实际问题中运用等差数列前n项和公式的灵活性。
重难点补充：1.等差数列的定义及其性质。
2.等差数列前n项和的公式的推导过程及运用。
教学过程：第一步：导入教师：同学们，我们之前学习了数列，今天我们要学习数列的一个重要概念——等差数列。
请问大家还记得等差数列的定义吗？学生1：等差数列是指数列中每一项与它前一项的差都相等的数列。
教师：很好，还有同学能补充一下等差数列的性质吗？学生2：等差数列的性质有：数列中任意一项都可以表示为首项加上差值的倍数；数列中任意一项的差值都相等。
教师：非常好，那么等差数列前n项和有什么特点呢？今天我们就要学习这个知识点。
等差数列前n项和公式教案
等差数列前n项和公式教案
主题：等差数列前n项和公式教案
1. 教学目标：
- 理解等差数列的概念和性质。
- 掌握求等差数列前n项和的公式。
- 能够运用公式解决实际问题。
2. 教学准备：
- 教师准备黑板、粉笔。
- 学生准备笔和纸。
3. 教学内容和步骤：
步骤一：引入概念
- 教师向学生介绍等差数列的概念，即连续两项之间的差值相等。
- 示例：2，5，8，11，14，...
步骤二：求等差数列前n项和的公式
- 提出问题：如何求等差数列前n项和？
- 引导学生思考，当n为几时，前n项和容易求得。
- 让学生观察并找规律，求出前n项和公式的一般形式。
- 讲解：前n项和公式为Sn = n(a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示末项。
- 示例：对于等差数列2，5，8，11，14，当n = 4时，前n 项和为(4(2 + 14)) / 2 = 32。
步骤三：应用解决实际问题
- 找一些实际问题，让学生运用前n项和公式解决。
例如：小明连续7天每天花费5元，求这7天的总花费。
- 讲解解题步骤，并引导学生进行解答。
4. 总结与拓展：
- 教师对本节课的要点进行总结，并强调等差数列前n项和公式的重要性和应用。
- 课后布置拓展练习，巩固所学知识。
5. 教学反思：
此教案标题与要求不同，已修改。
《等差数列的前 n 项和》 导学案
《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。
2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。
3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。
二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。
（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。
2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。
（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。
三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。
2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。
（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。
四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。
有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。
高斯很快就得出了答案 5050。
他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。
这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。
五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。
则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。
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第2讲 等差数列及其前n 项和一、知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论1．等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.(3)单调性：当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．2．记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n.二、教材衍化1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4872．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案：1803．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝114(75n －5n 2)．答案：114(75n －5n 2)4．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N +，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视等差数列中项为0的情况； (2)考虑不全而忽视相邻项的符号； (3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________．解析：由|a 3|＝|a 9|，d <0，得a 3＝－a 9， 即a 3＋a 9＝0，所以a 6＝a 3＋a 92＝0.所以a 5>0，a 6＝0，a 7<0.所以当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或62．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3073．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N +)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N +)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列基本量的计算(师生共研)(1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，则公差d ＝( )A.16 B ．112 C ．－16D ．－112(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．【解析】 (1)通解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝76，2a 1＋7d ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1724，d ＝－112，故选D.优解：由等差数列的性质知，a 3＋a 6＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＝(a 1＋a 4)＋4d ＝56，又a 1＋a 4＝76，所以d ＝－112.故选D.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.【答案】 (1)D (2)B (3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．1．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.法一：设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法二：设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.2．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4<S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.等差数列的判定与证明(师生共研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1.因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n2n ＝2. 又b 121＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ≠0，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3， 解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．等差数列性质的应用(多维探究) 角度一 等差数列项的性质的应用(1)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d 为________．【解析】 (1)因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， 所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.【答案】 (1)C (2)5角度二 等差数列前n 项和性质的应用(1)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540【解析】 (1)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100. 【答案】 (1)A (2)A等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d2的等差数列．1．(一题多解)(2020·惠州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )A ．28B ．25C ．20D ．18解析：选B.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×42×2＝25，故选B.优解：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝25，故选B.2．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B ．3828 C.3929D ．4030解析：选A.a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132（a 1＋a 13）132（b 1＋b 13）＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列前n 项和的最值问题(典例迁移)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．【答案】 C【迁移探究】 (变条件)将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值？解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0， 当n ≥14时，a n <0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值． 法二：S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.因为n ∈N +，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值． 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B.由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1>0可推知这个数列递减，从而a 10>0，a 11<0，故n ＝10时，S n 最大．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则S n 的最大值是( )A ．S 1B ．S 7C ．S 8D ．S 15解析：选C.由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0，所以a 8>0，a 9<0，则d ＝a 9－a 8<0，所以在数列{a n }中，当n <9时，a n >0，当n ≥9时，a n <0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.[基础题组练]1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2020·焦作市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933升解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N +)，则a 2 017的值为( )A ．2 018B ．4 028C ．5 037D ．3 019解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋（m －1）d ＝4，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋（m ＋m ＋1）d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________． 解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.答案：2257．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0.答案：09．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N +)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N +)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.[综合题组练]1．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( ) A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1 解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a na 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.2．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )A.113斤 B ．739斤 C.778斤 D ．111斤 解析：选C.设第n 个人得金a n 斤，由题意可知{a n }是等差数列，设公差为d ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝4a 1＋30d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3726，d ＝－778，则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778斤．故选C.3．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ①，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ②，①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝（4＋4n ）n 2＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n4．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n ＝________．解析：因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.答案：4 0325．(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n＋1－2(n 2＋3n ＋2)，设b n ＝a nn ＋1.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)因为数列{a n }满足(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，所以将n ＝1代入得3a 1＝2a 2－12.又a 1＝2，所以a 2＝9.将n ＝2代入得4a 2＝3a 3－24，所以a 3＝20.从而b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5.(2)数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)两边同时除以(n ＋1)(n ＋2)可得（n ＋2）a n （n ＋1）（n ＋2）＝（n ＋1）a n ＋1－2（n 2＋3n ＋2）（n ＋1）（n ＋2），化简可得a n ＋1n ＋2－a nn ＋1＝2，即b n ＋1－b n ＝2， 所以数列{b n }是以1为首项， 2为公差的等差数列．(3)由(2)可得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝(n ＋1)b n ＝(n ＋1)·(2n －1)＝2n 2＋n －1.6．(2020·安徽蚌阜模拟)在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n 和S n ；(2)当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值．解：(1)因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是等差数列． 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1， 从而S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)因为a n ＝2n －1，所以3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·(2n －1)＋1，① 当n ≥2时，3b 1＋5b 2＋7b 3＋…＋(2n －1)b n －1＝2n －1·(2n －3)＋1.②①－②可得(2n ＋1)b n ＝2n －1·(2n ＋1)(n ≥2)，即b n ＝2n －1.而b 1＝1也满足上式，故b n ＝2n －1.令b n ≥8S n ，则2n －1≥8n 2，即2n －4≥n 2.又210－4<102，211－4>112，结合指数函数增长的性质，可知整数k 的最小值是11.。