【高中数学】 等差数列及其前n项和 学案

第2讲 等差数列及其前n 项和

一、知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母d 表示．

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2

，其中A 叫做a ，b 的

等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2

d ＝（a 1＋a n ）n

2

．

3．等差数列的性质

已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论

1．等差数列的函数性质

(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．

(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2

d ＝d 2

n 2＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次

函数且常数项为0.

(3)单调性：当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．

2．记住两个常用结论

(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，

S 奇S 偶＝a n

a n ＋1

； ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1

. (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a n

b n

.

二、教材衍化

1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：487

2．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．

解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8

＝2a 5＝180.

答案：180

3．已知等差数列5，427，34

7

，…，则前n 项和S n ＝________．

解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝1

14(75n －5n 2)．

答案：114

(75n －5n 2

)

4．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．

解析：由已知可得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，

5a 1＋10d ＝30，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1

＝26

3，d ＝－4

3，

所以S 8

＝8a 1

＋8×72d ＝32.

答案：32

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N +，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )

(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )

(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏

常见误区|Ｋ(1)忽视等差数列中项为0的情况； (2)考虑不全而忽视相邻项的符号； (3)等差数列各项的符号判断不正确．

1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________．

解析：由|a 3|＝|a 9|，d <0，得a 3＝－a 9， 即a 3＋a 9＝0，所以a 6＝

a 3＋a 9

2

＝0.

所以a 5>0，a 6＝0，a 7<0.

所以当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或6

2．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.

即⎩

⎪⎨⎪⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.

答案：⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－5，－307

3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N +)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N +)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.

答案：130

等差数列基本量的计算(师生共研)

(1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝5

6

，则公差d ＝( )