七、微波滤波器的基本概念与理论

a1 0
a2
a1 0
3
写成矩阵形式为：
b1 S11 S12 a1 b S a 2 21 S22 2
S S S 由其物理意义可以看出 S11 、 22 为反射系数， 12 、 21 为传输系数。
4
2. 二端口网络的 T 参数定义如下:
38
图7.4.4 低通原型到带阻的转换
39
7.5 导抗变换器
• 导抗变换器包括阻抗变换器和导纳变换器。 • 若把理想的阻抗变换器看成二端口的网络，则其阻抗变换 关系为 2
K Z1 Z2
其中K是实数，是特性阻抗的倒数。
40
• 理想阻抗倒量变换后的ABCD矩阵为：
0 A B C D 1 jK
V1 A V2 I1 C V2
I2
V1 B I 2 V 0 0
2
I2
I1 D I 2 V 0 0
2
5
写成矩阵形式为：
V1 A B V2 I C D I 2 1
6
3.特性参数定义
LA 20log Smn dB LR 20log Smn dB m, n 1, 2 m n n 1, 2
49
图7.6.1 频率映射
50
• 通过Richards变换， 集总电感被变换成短路枝节；集总电容被变换成开路枝节。
图7.6.2 在Richards变换下集中和分布式单元的对应部分
51
另一种重要的分布式元件是二端口网络 • 特性阻抗为 Zu 的传输线的ABCD矩阵为：
A B cos C D j sin / Z u
Butterworth滤波器的振幅平方特性如下所示：
S21 j
2
1 1 2n
10
图7.2.1 Butterworth最大平坦低通响应
图7.2.2 Butterworth响应的极点分布
11
7.2.4 Chebyshev响应 Chebyshev低通响应有等波纹的通带和最大平坦的阻带， 其传递函数振幅平方特性为：
第七章
微波滤波器的基本概念与理论
1
7.1 微波滤波器基本概念
大部分微波滤波器和滤波器元件可以通过一个 二端口网络来表示：
图7.1.1 二端口网络
2
1. 二端口网络的散射参数 S 定义如下：
b1 S11 a1 b2 S 21 a1
a2
b1 S12 a2 0 b2 S 22 a2 0
53
7.6.3 耦合线等效电路 • 一般的耦合线网络如图所示：
图7.6.6 一般的耦合线网络
54
• 利用下面的四端口电压－电流关系：
I1 I v 2 p I3 t I4
D p
其中，p为复频率变量，D(p)为Hurwitz多项式。 C类全通网络：极点和零点落在σ 轴上。 D类全通网络：极点和零点关于σ 轴对称。
15
图7.2.8 单个C类全通网络的特性
7.3 低通原型滤波器及其元件
低通原型滤波器就是所有元件值都归一化的低通模拟滤波器。 所谓的归一化就是使源阻抗或者导纳 g 1，通带截止频 0 率 。如图便是低通原型滤波器的两种实现：
Z 0 / g0 ,当g0为电阻时 0 g0 / Y0 ,当g0为电导时
26
• 阻抗比例尺的用法：
L 0L C C /0 R 0R G G /0
27
7.4.1 低通变换 • 低通原型到实际低通的频率变换规则为：
c c
• 元件变换规则为：
• 对于无损耗网络，Richards变换定义如下：
t j tan
其中，


vp
l
47
•
与频率成正比，可以表示为：
其中
0 是在参考频率 0 时的 值。
0 0
48
• 令 tan ，
0 / 2
则得到频率映射：
tan 2 0
c L 0 g c c g C c 0
28
图7.4.1 低通原型到实际低通的变换
29
7.4.2 高通变换 • 低通原型到高通滤波器的频率变换规则为：
c c
• 元件变换规则为：
1 0 L c c g
1 Snn VSWR 1 Snn
21 P
d21 d d
7
7.2 传递函数
7.2.1 概要 1、无源无耗滤波器的传递函数的振幅的平方记为:
G j
2
1 1 2 Fn2
2、对于线性时不变网络，传递函数可以定义成有理函数的 形式：
N p S21 D p
c 1
16
图7.3.1 全极点低通原型滤波器
其对应规则为： 若 g1 是串联电感 ，则 若 g1 是并联电容 ，则 若 gn 是串联电感 ，则 若 gn 是并联电容 ，则
g0是源导纳 ；
g0是源阻抗； g n1是负载导纳； g n1 是负载阻抗；
17
7.3.1Butterworth低通原型滤波器 若在通带截止频率 c 1 处的衰减是 LAr 3.01dB ，则 Butterworth低通原型滤波器的元件值可以通过下面的式子 来计算：
图7.2.5 椭圆函数低通响应
13
7.2.6 高斯（最大平坦群延迟）响应 高斯响应可以用下面的有力传递函数来近似：
S 21 p a0
a
k 0
n
k
pk
2n k ! ak nk 2 k ! n k !
图7.2.7 高斯（最大平坦群延迟）响应
14
7.2.7 全通响应 传递函数为 S p D p 21
g 0 1.0 2i 1 gi 2sin 2n g n 1 1.0 , i 1, 2, , n
18
7.3.2 Chebyshev低通原型滤波器 若给定通带波纹 LAr 和阶数 n ，则Chebyshev 低通原型滤波器的元件值为：
g 0 1.0 g1 sin 2n 2
jK 0
41
• 理想导纳变换器的导纳变换关系为
J2 Y1 Y2
其中J是实数，是特性导纳的倒数。
42
• 理想导纳倒量变换后的ABCD矩阵为：
A B 0 C D jJ
1 jJ 0
43
• 通过导抗变换器，可实现如下变换：
• 对其应用Richards变换为
jZu sin cos
A B 1 C D 1 t2
1 t / Z u
Zu t 1
52
7.6.2 Kuroda恒等式 在设计传输线滤波器时， Kuroda恒等式能实现不 同形式的电网络之间的 转换。
图7.6.3 Kuroda恒等式
图7.5.1 导抗倒量变化器
44
7.5.3 导抗倒量变换器的实现

4
传输线是最简单的导抗变换器。 典型的集总参数导抗变换器如图所示：
45
图7.5.5 几种典型的集总参数导抗倒量变换器
• 有的导抗变换器是集总元件和传输线 的混合，如图所示：
46
图7.5.6 导抗倒量变换器混合了集总元件和传输线
7.6 Richards变换和Kuroda恒等式
22
7.3.4 高斯低通原型滤波器
图7.3.1所示的网络也可以看作Gaussian低通原型滤波器， 因为Gaussian低通原型滤波器如Butterworth和Chebyshev 滤波器一样，是全极点滤波器。Gaussian原型滤波器的 元件的值一般我们可以通过网络合成来得到。
23
7.3.5 全通、低通原型滤波器 基本网络单元如图所示
S21 j
2
1 1 2Tn2
图7.2.3 Chebyshev低通响应
图7.2.4 Chebyshev响应的极点分布
12
7.2.5 椭圆函数响应 如果响应在通带和阻带都是等波纹的，便是椭圆函数响应。 传递函数为：
S21 j
2
1 1 2 Fn2
ln coth
LAr 17.37
19
sinh
2n
• Chebyshev低通原型滤波器的阶数由下式决定：
10 1 arcosh 0.1LAr 10 1 n arcosh s
0.1LAs
20
• 若给定的是反射损耗 换算关系为：
FBW Lp 0c
0 g
34
图7.4.3 低通原型到带通的转换
35
7.4.4 带阻变换 • 低通原型到带阻滤波器的频率变换规则为：
FBW c 0 / / 0
其中，
0 12
2 1 FBW 0
36
• 低通原型中的电感（电容），被变换成带阻滤波器中的并 联（串联） LC 谐振回路，这刚好与带通变换相反。 • 对于并联 LC 谐振回路：
1 1 Cp FBW 0c 0 g
c FBW Lp 0 g 0
37
• 对于串联 LC 谐振回路：
0 1 Ls FBW 0 c g
c FBW g Cs 0 0
8
3、相应的衰减函数定义为:
LA 10lg
4、滤波器的反射损耗为:
1 G j
2
dB
1 G( j) 2 dB LR () 10lg
9
7.2.2 复平面的极点和零点 定义有理传递函数的平面称之为复平面。 零点和极点分别为N(p)和D(p)等于零的解。 7.2.3 按照滤波器的传递函数类型，可将滤波器分为： Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、椭圆函数滤波器、 高斯滤波器、全通滤波器。
LR
，或者电压驻波比 VSWR ，则
LAr 10 lg 1 10
0.1LR
dB
VSWR 1 2 LAr 10 lg 1 dB VSWR 1
21
7.3.3 椭圆函数低通原型滤波器
椭圆函数滤波器的两种实现如图所示：
图7.3.2 椭圆函数的低通原型滤波器
2i 1 2i 3 4sin sin 2n 2n 1 gi , i 2,3, , n gi 1 i 1 2 sin 2 2n 1.0, n为奇数 g n 1 coth 2 , n为偶数 4
Fra Baidu bibliotek32
• 低通原型中的电感（电容），被变换成带通滤波器中的串 联（并联） LC谐振回路。 • 对于串联LC 谐振回路：
c Ls 0 g FBW 0
FBW Cs 0c
1 0g
33
• 对于并联 LC 谐振回路：
c g Cp FBW 0 0
1 1 C c c 0 g
30
图7.4.2 低通原型到高通的转换
31
7.4.3 带通变换 • 低通原型到带通滤波器的频率变换规则为：
1 0 c FBW 0
其中
2 1 FBW 0
0 12
24
图7.3.3 全通滤波器的低通原型
• 该基本单元的 Z 参数为：
zb z a z11 z22 2 zb z a z12 z21 2
由 Z 参数很容易转换成散射参数。
25
g
7.4 频率变换
通过频率变换，把低通原型滤波器的频域 映射到相应 的低通、高通、带通和带阻滤波器的频域 。 通过元件变换，把低通原型的元件值转换为实际元件值 阻抗比例尺定义为：