《小波变换基础》word版
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第9章 小波变换基础
9.1 小波变换的定义
给定一个基本函数)(t ψ,令 )(1)(,a b t a
t b a -=ψψ
(9.1.1)
式中b a ,均为常数,且0>a 。显然,)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化,我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ,即
)()(2R L t x ∈,则)(t x 的小波变换(Wavelet Transform ,WT )定义为
dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-=
⎰
*ψ
〉〈==⎰
*
)(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ (9.1.2) 式中b a ,和t 均是连续变量,因此该式又称为连续小波变换(CWT )。如无特别说明,式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数,
b 是时移,a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波,或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和
伸缩所产生的一族函数,我们称之为小波基函数,或简称小波基。这样,(9.1.2)式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数,也可以是复函数。若)(t x 是实信号,)(t ψ也是实的,则
),(b a WT x 也是实的,反之,),(b a WT x 为复函数。
在(9.1.1)式中,b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置,也即时间中心。尺度因子a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出,由)(t ψ变成)(a
t
ψ,当
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1>a 时,若a 越大,则)(a
t
ψ的时域支撑范围(即时域宽度)较之)(t ψ变得越大,反之,