2011第八届中国东南地区数学奥林匹克解答
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第八届中国东南地区数学奥林匹克
（试题参考解答 宁波·北仑2011年7月）
第一天
1. 已知31
min
2
2=++∈x b ax R
x .
（1）求b 的取值范围； （2）对给定的b ,求a ． （卢兴江供题） 解法1 记1
)(2
2++=
x b ax x f . 由b f =)0(知，3≥b ，且易知0>a .
（i ）当02≥-a b 时，
3)(21
11
)(2
22
2=-≥+-+
+=++=
a b a x a b x a x b ax x f 等号当1
122
+-=+x a b x a 时，即a
a
b x 2-±
=时取到
此时，a =3=b 时，23=a
（ii ）当02<-a b 时，令)1(12≥=+t t x
t
a
b at t g x f -+
==)()( 当1≥t 时单调增加，所以 min ()(1)3x R f x g a b a b ∈==+-==，此时23
>a 综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞
（2）当3=b 时，23≥a ；当3>b
时，a =
解法2 设1
)(2
2++=
x b ax x f . 因为31
min
2
2=++∈x b ax R
x ，且b f =)0(，所以3≥b
易知0>a ，2
/322)
1()2()('+--
=
x a a
b x ax x f ，
（i ）当02≤-a b 时，令0)('=x f 得00=x ，且有
0
所以3=b 即○13=b ，○22
b
a ≥
（ii ）当02>-a b 时，令0)('=x f 得00=x ，a
a
b x 22,1-±
= 此时易知b f =)0(不是最小值3>⇒b ，)(2,1x f 为最小值
3122)(2,1=+-+-⋅
=
a
a
b b a a
b a x f 3)(2=-⇒a b a ⇒0492
=+-ab a
⇒a =
即○13>b ，○
22
b a =
综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞
（2）当3=b 时，23≥a ；当3>b
时，2
b a -=
2. 已知,,a b c 为两两互质的正整数，且)(,)(,)(3
32332332b a c c a b c b a +++，
求,,a b c 的值． （杨晓鸣供题）
解答 由题设可得到：)(,)(,)(3
33233323332c b a c c b a b c b a a ++++++，又因
为,,a b c 两两互质，所以)(3
33222c b a c b a ++。
不妨设c b a ≥≥，所以
3
32
22
22
3
3
3
3
c b a c b a c b a a ≥⇒≥++≥
又4443
2
3
3
3
18
922c
b c b b a c b b ≤⇒≥⇒≥+≥ 当12≤⇒≥b c ，与c b ≥矛盾。所以1=c 。
显然（1,1,1）是一组解。 当2≥b 时，a b c ≥>。
由2
12)1(2
2
2
3
3
3
3
3
2
2
b a b a b a a b a b a ≥⇒≥++≥⇒++
又由4
2
3
3
2
34(1)1444
b a b b a b b +⇒+≥≥⇒+≥ 当5>b 时，无解；逐个验证2,3,4,5b =得2=b ，3=
c 。
所以满足条件正整数为（1,1,1），（12,3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,2,1），（3,1,2）。
3．设集合{}50,,3,2,1 =M ，正整数n 满足：M 的任意一个35元子集中至少存在两个不同的元素b a ,，使n b a =+或n b a =-.求出所有这样的n .
（李胜宏供题）
解答： 取}35,,3,2,1{⋅⋅⋅=A ，则对任意A b a ∈,，693534,=+≤+-b a b a 下面证明 691≤≤n . 设1235{,,,}A a a a =⋅⋅⋅，不妨设1235a a a <<⋅⋅⋅<； （i ）当191≤≤n 时，
考虑5013521≤<⋅⋅⋅<<≤a a a
69195013521=+≤+<⋅⋅⋅<+<+≤n a n a n a
由抽屉原理，存在1,35()i j i j ≤≤≠，使j i a n a =+，即n a a j i =- （ii ）当6951≤≤n 时， 由5013521≤<⋅⋅⋅<<≤a a a
68113435≤-<⋅⋅⋅<-<-≤a n a n a n
由抽屉原理，至少存在1,35()i j i j ≤≤≠，使j i a a n =-，即n a a j i =+ （iii ）当2420≤≤n 时，
由于1040502501)12(50=-≤-=++-n n 所以3521,,,a a a ⋅⋅⋅中至少有25个属于]2,1[n