第21讲 数列的概念

第二十一讲数列的概念
【复习目标】
数列的定义和通项公式。

正确利用数列的递推关系解答数列问题。

【基础知识回顾】
一、数列的概念
1、数列的定义
数列是按照一定的次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为
的函数f(n),当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1),f(2),…,f(n), ….
2、数列的通项公式
一个数列{a
n }的第n项a
n
与之间的函数关系，如果可以用一个公式
a
n
=f(n)来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。

二、数列的分类
1、按照项数是有限还是无限分：、。

2、按照项与项的大小关系分：、、、。

三、a
n 与S
n
的关系
设数列{a
n }前n项和S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,则
a
n
=
四、几点小提示：
1、数列与数集应予以区别，数列中的数列排列有序，数集中的数排列有序，数集中的元素无序；数列中的数可重复出现，数集中的元素互异。

2、并不是每一个数列都有通项公式，给出前n项时，写出的通项公式可以不止一个。

3、已知{a
n }的前n项和S
n
求a
n
时，用a
n
=求解应注意分类讨论。

a n=S
n -S
1
n-
是在n≥2条件下求出的，应检验a
1
是否适合。

如果适合，则合写在
一块，如果不适合，则分段表示。

【基础知识自测】
1、数列 ,9
24
,715,58,1的一个通项公式n a 是（ ）
A 、122+n n
B 、1)2(++n n n
C 、)1(21
)1(2+-+n n D 、12)2(++n n n
2、已知数列}{n a 的通项公式是1
32+=
n n
a n ，那么这个数列是（ ） A 、递增数列 B 、递减数列 C 、摆动数列 D 、常数列
3、已知数列前n 项和+∈+-=N n n n S n ,1322则它的通项公式是 。

4、已知数列}{n a 满足n a a a n n +==+11,0，则=2009a 。

5、如果数列}{n a 的前n 项和为32
3
-=
n n a S ，则这个数列的通项公式是 。

6、已知函数f(x)=12(1),1
x
x x -≥+构造数列a n =f(n)（n ∈N +）： （1）求证：
a n >-2；
（2）数列}{n a 是递增数列还是递减数列？为什么？
【典型例题】
例1、写出下列各数列的一个通项公式：
（1）1，191733
,,,3356399…
（2） ,3231,1615,87,43,21
（3） ,1337,1126,917,710,1,32---
（4）325374
,,,,,751381911
---…
（5）7，77，777，7777，…
（6）246810
,,
,,,315356399
… 变式训练：根据数列的前几项，写出数列{a n }的一个通项公式：
（1）-1，7，-13，19，…，a n = （2）0.8，0．88，0.888，…，a n =
（3）115132961
,,,,,,248163264--…，a n =
（4）379
,1,,,21017
…，a n =
（5）0，1，0，1，…，a n =
规律总结： 二、
例2、已知数列{a n }满足：a 1=1，2
1
n - a n =a 1n -(n ∈N ，n ≥2)
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 这个数列从第几项开始以后各项均小于1
1000
？
变式练习： 1、写出数列{a n }的通项公式，a 1=0，a 1n += a n +（2n-1）(n ∈N +
)
2、a
1=1，a
n
=
1
n
n-
a
1
n-
（n∈N，n≥2），求a
n。

规律总结：
三、已知S
n ，求a
n
例3、已知数列{a
n }的前n项和为S
n。

（1）若S
n =（-1）1n+n⋅，求a
5
+a
6
及a
n
；
（2）若S
n =3n+2n+1,求a
n。

变式练习：正项数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
1
=2，a
n
2(2).
n≥则求
数列{a
n
}的通项公式。

规律总结：
《第二十一讲 数列的概念》当堂检测 命题人：苗桂玲 审核人：董茂庆
1．下列对数列的理解有四种：（1）数列可以看成一个定义在N +（或它的有限子集{1，2，……，n}）上的函数；（2）数列的项数是有限的或无限的；（3）数列若图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；（4）数列的通项公式是唯一的。

其中说法正确的序号是( ) A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（1）（3） D ．（1）（2）（3）（4）
2、设S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =
1n n +，则5
1
a =（） （A ）
56 （B ） 65 （C ）1
30
（D ）30 3. 已知数列}{n a 的前n 项的乘积为+∈=N n T n n ,32
，则100a =（ ） A 、1983 B 、1993 C 、2003 D 、2013
4、已知a n
n ∈N +），则在数列}{n a 的前50项中最小项和最大项
分别是（ ）
A 、a 1, a 50
B 、a 1, a 44
C 、a 45,a 50
D 、a 44, a 45
5. 观察下列各式： 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 ……
请写出第4、第5个等式，并写出第n 个等式。

6.
《第二十一讲 数列的概念》 课后定时达标训练
命题人：苗桂玲 审核人：董茂庆
一、选择题
1．若数列的前四项为2，0，2，0，则这个数列的通项公式不能是 （ ） A. a n =1+（-1）1n + B. a n =1-cosn π C. a n =2sin 2
2
n π
D. a n =1+(-1)1n -+(n-1)(n-2) 2．已知数列}{n a 中，a 61=2000,且a 1n += a n +n,则a 1=（ ） A. 168 B.169 C. 170 D. 171
3、已知数列}{n a 满足a 0=1, a n = a 0+ a 1+a 2+…+a 1n -(n ≥1)则当n ≥1时，a n =（ ）
A. 2n
B.
(1)
2
n n + C.21n - D. 2n -1 4. 已知数列}{n a 对任意的p 、q ∈N +满足a p q +=a p +a q ,且a 2=-6,那么a 10=( )
()A -165 ()B -33 ()C -30 ()D -21
5、已知数列}{n a 满足a 1n ++ a n =1
2
（n ∈N +）, a 2=2,S n 是数列}{n a 的前n 项
和，则S 21为 （ ）
()A 5 ()B 72 ()C 92 ()D 13
2
6数列}{n a 中，1n +=1,1,21
n
n a a a =+则a 6 =
（ ） ()A 13 ()B 1
13
()C 11
()D 1
11
7、若f(a+b)=f(a)()f b ⋅(a,b ∈R)且f(1)=2,则
(2)(4)(1)(3)f f f f ++…+(2012)
(2011)
f f 等于（ ）
A ．2009
B ． 2010
C ．2011
D ．2012 8、 已知数列}{n a 的前n 项和S n =n 2-9n,第k 项满足5<a k <8,则k=（ ） A ．9 B ． 8 C ．7 D ． 6
二、填空题
9、已知一个数列}{n a 的前几项为14916
,,,,251017
…则a n =
10、（2009重庆卷理）设12a =，12
1
n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}
n b 的通项公式n b = ．
11、（2009北京理）已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,
n n n n a a a a n *
--===∈则2009a =________；2014a =_________.
12、在数列{}n a 中，a n =4n-5
2
, a 1+a 2+a 3+…+a n =a n 2+bn, *n N ∈,其中a 、b 为常数，则ab=
一．选择题答案：1-4 5-8 二．填空题答案：9. 10. 11. 12.
三、解答题
13、根据下列条件，求数列的通项公式n a
（1）在数列}{n a 中，n n n a a a 2,111+==+； （2）在数列}{n a 中，n n a n
n a a 2
,411+=
=+ （3）在数列}{n a 中，12,311+==+n n a a a
14、已知数列}{n a 中，前n 项和S n = n 2-n+1,求数列}{n a 的通项公式。

15、已知数列}{n a 中，)(2,111++∈∙==N n a a a n n n （1） 求通项公式n a ；
（2） 若n n
a n
b 42log =，求数列}{n b 的最小项。