第21讲 数列的概念

第二十一讲数列的概念

【复习目标】

数列的定义和通项公式。

正确利用数列的递推关系解答数列问题。

【基础知识回顾】

一、数列的概念

1、数列的定义

数列是按照一定的次序排成的一列数，从函数观点看，数列是定义域为

的函数f(n),当自变量n从1开始依次取正整数时所对应的一列函数值f(1),f(2),…,f(n), ….

2、数列的通项公式

一个数列{a

n }的第n项a

n

与之间的函数关系，如果可以用一个公式

a

n

=f(n)来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。

二、数列的分类

1、按照项数是有限还是无限分：、。

2、按照项与项的大小关系分：、、、

。

三、a

n 与S

n

的关系

设数列{a

n }前n项和S

n

=a

1

+a

2

+a

3

+…+a

n

,则

a

n

=

四、几点小提示：

1、数列与数集应予以区别，数列中的数列排列有序，数集中的数排列有序，数集中的元素无序；数列中的数可重复出现，数集中的元素互异。

2、并不是每一个数列都有通项公式，给出前n项时，写出的通项公式可以不止一个。

3、已知{a

n }的前n项和S

n

求a

n

时，用a

n

=求解应注意分类讨论。

a n=S

n -S

1

n-

是在n≥2条件下求出的，应检验a

1

是否适合。如果适合，则合写在

一块，如果不适合，则分段表示。

【基础知识自测】

1、数列 ,9

24

,715,58,1的一个通项公式n a 是（ ）

A 、122+n n

B 、1)2(++n n n

C 、)1(21

)1(2+-+n n D 、12)2(++n n n

2、已知数列}{n a 的通项公式是1

32+=

n n

a n ，那么这个数列是（ ） A 、递增数列 B 、递减数列 C 、摆动数列 D 、常数列

3、已知数列前n 项和+∈+-=N n n n S n ,1322则它的通项公式是 。

4、已知数列}{n a 满足n a a a n n +==+11,0，则=2009a 。

5、如果数列}{n a 的前n 项和为32

3

-=

n n a S ，则这个数列的通项公式是 。

6、已知函数f(x)=12(1),1

x

x x -≥+构造数列a n =f(n)（n ∈N +）： （1）求证：

a n >-2；

（2）数列}{n a 是递增数列还是递减数列？为什么？

【典型例题】

例1、写出下列各数列的一个通项公式：

（1）1，191733

,,,3356399…

（2） ,3231,1615,87,43,21

（3） ,1337,1126,917,710,1,32---

（4）325374

,,,,,751381911

---…

（5）7，77，777，7777，…

（6）246810

,,

,,,315356399

… 变式训练：根据数列的前几项，写出数列{a n }的一个通项公式：

（1）-1，7，-13，19，…，a n = （2）0.8，0．88，0.888，…，a n =

（3）115132961

,,,,,,248163264--…，a n =

（4）379

,1,,,21017

…，a n =

（5）0，1，0，1，…，a n =

规律总结： 二、

例2、已知数列{a n }满足：a 1=1，2

1

n - a n =a 1n -(n ∈N ，n ≥2)

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 这个数列从第几项开始以后各项均小于1

1000

？

变式练习： 1、写出数列{a n }的通项公式，a 1=0，a 1n += a n +（2n-1）(n ∈N +

)

2、a

1=1，a

n

=

1

n

n-

a

1

n-

（n∈N，n≥2），求a

n

。

规律总结：

三、已知S

n ，求a

n

例3、已知数列{a

n }的前n项和为S

n

。

（1）若S

n =（-1）1n+n⋅，求a

5

+a

6

及a

n

；

（2）若S

n =3n+2n+1,求a

n

。

变式练习：正项数列{a

n }的前n项和为S

n

，a

1

=2，a

n

2(2).

n≥则求

数列{a

n

}的通项公式。规律总结：