利用割补法巧解几何题

利用割补法巧解几何题
割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题
中。

下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：
一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形
例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
∠A=135°，AD=2，BC=6 H
求四边形ABCD面积
解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D
∠C=45°，延长BA、CD交于H，将
图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A
易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ，
∴S四边形
ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16
B C 例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD
面积为5√３， D
求AD长 C
解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用
已知延长AD、BC交于H，将图形割
补成特殊三角形。

B ∵∠A=30°，AB=8
∴BH=4，AH=4√３，CH=3 A
∴S△ABH=8√３，S△HDC=3√３=1/2HC·DH
∴DH=2√３AD=2√３
D
思考题：
1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90°
求四边形ABCD面积
A B
2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D
∠BCD=120°，AB=2√６，
BC=5√３，CD=6
求AD长 A
C B
二．利用角平分线与垂直割补全等
例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于 E
求证：BD=2CE
解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A
∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E
轴对称图形△BCF
即：△FBE≌△CBE， D
易证：△ABD≌△ACF
∴BD=CF=2CE B C
思考题：
1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，
BD⊥AD，AD交于BC于O C D
求证：OA=OD O
A B
2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A
∠B的平分线与AD垂直
求证：AC=2BD
D
B C
三．利用互补割补全等
例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1
求五边形ABCDE面积 B
解：延长CB到F，使BF=DE连
AD、AF、AC E 易证：△AED≌△ABF， F
△ADC≌△AFC，
∴五边形ABCDE面积为△ACF
面积的2倍，即等于 1 A
例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥
BC，且AH=1
求四边形ABCD面积 D 解：过A作AE⊥AH交CD延长线于E
易证：△ABH≌△ADE
∴AH=AE=1
∴四边形ABCD面积为正方形
AHCE面积等于 1 B H C 思考题：
1．五边形ABCDE中，AB=AE， A
BC+DE=CD，∠ABC+∠AED
=180°，连AD E
求证：AD平分∠CDE
D
B
C。