利用割补法巧解几何题

利用割补法巧解几何题

割补法在初中数学竞赛中经常用到，实际上它也广泛应用于一般几何证明题

中。下面我就从四个方面来说明割补法在几何证明中的重要性：

一．利用垂直与特殊角割补成特殊三角形

例1：四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，

∠A=135°，AD=2，BC=6 H

求四边形ABCD面积

解：由题意知：∵∠C=45°，利用∠B=90° D

∠C=45°，延长BA、CD交于H，将

图形割补成特殊△HBC（等腰Rt三角形） A

易求：HD=AD=2 HB=BC=6 ，

∴S四边形

ABCD=1/2·6·6—1/2·2·2=16

B C 例2：四边形ABCD中，AB=8，BC=1，∠DAB H =30°，∠ABC=60°，四边形ABCD

面积为5√３， D

求AD长 C

解：由题意知：∠A=30°，∠B=60°利用

已知延长AD、BC交于H，将图形割

补成特殊三角形。 B ∵∠A=30°，AB=8

∴BH=4，AH=4√３，CH=3 A

∴S△ABH=8√３，S△HDC=3√３=1/2HC·DH

∴DH=2√３AD=2√３

D

思考题：

1．已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=1， C ∠A=60°，∠B=∠D=90°

求四边形ABCD面积

A B

2．四边形ABCD中，∠ABC =135°， D

∠BCD=120°，AB=2√６，

BC=5√３，CD=6

求AD长 A

C B

二．利用角平分线与垂直割补全等

例1：△ABC是等腰Rt三角形，∠A=90°，AB=AC， F BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD延长线于 E

求证：BD=2CE

解：∵BD平分∠ABC，且CE⊥BE， A

∴延长BA、CE交于F，将图形割补成 E

轴对称图形△BCF

即：△FBE≌△CBE， D

易证：△ABD≌△ACF

∴BD=CF=2CE B C

思考题：

1．已知：AB=3AC，AD平分∠BAC，

BD⊥AD，AD交于BC于O C D

求证：OA=OD O

A B

2．已知：锐角△ABC中，∠B=2∠C A

∠B的平分线与AD垂直

求证：AC=2BD

D

B C

三．利用互补割补全等

例1：五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED C D =90°AB=CD=AE=BC+DE=1

求五边形ABCDE面积 B

解：延长CB到F，使BF=DE连

AD、AF、AC E 易证：△AED≌△ABF， F

△ADC≌△AFC，

∴五边形ABCDE面积为△ACF

面积的2倍，即等于 1 A

例2：在四边形ABCD中，已知：AB= A E AD,∠BAD=∠BCD=90°，AH⊥

BC，且AH=1

求四边形ABCD面积 D 解：过A作AE⊥AH交CD延长线于E

易证：△ABH≌△ADE

∴AH=AE=1

∴四边形ABCD面积为正方形

AHCE面积等于 1 B H C 思考题：

1．五边形ABCDE中，AB=AE， A

BC+DE=CD，∠ABC+∠AED

=180°，连AD E

求证：AD平分∠CDE

D

B

C