函数展开称正弦级数与余弦级数

的条件（Dirichlet 充分条件） ，我们在开区间 (−π .0) 补 充函数的定义域，得到定义在 ( −π , π ] 上的函数 F ( x) 使它在 ( −π , π ) 称为奇函数或者偶函数，这种方法称为 奇延拓或者偶延拓。然后将奇延拓或者偶延拓后的函数 展开成傅立叶级数，这个级数必然是正弦函数或者余弦 函数，再限制 x 在[0, π ] 上，此时 F ( x) ≡ 便得到函数的正弦或余弦级数。 步骤： 第一.步： 补充定义。 第二.步： 求系数，注意积分区间的变化。 第三.步： 带入正弦或余弦级数公式。 二、 周期不一定为 2π 的函数的傅立叶级数求法：
f ( x) ，这样
设周期为 2l 的周期函数 的条件，则它的傅立叶展开式为：
f ( x) 满足收敛定理
a0 ∞ nπ x nπ x f ( x) = + ∑ (an cos + bn sin ) l l 2 n =1
变换思想为做变量代换 z
其主要
=
πx
l
，因为
−l ≤ x ≤ l 则
−π ≤
πx
正弦级数与余弦级数展开方法
在实际运用中 （如研究某种波动问题， 热的传导， 扩散问题等） 还需要把定义在区间[0, π ] 上的周期函数 弦级数。 这类展开问题按以下方法解决： 一、 定义域为 [0, π ] 的周期函数的傅立叶级数的求法： 补充定义法： 设
f ( x) 展开成正弦级数或余
f ( x) 在定义区间 [0, π ] 上且满足收敛定理
l
≤π 。
① 其中，系数为：
an
1 = l
l
−l
∫
l
f ( x) cos
nπ x dx l
（n=0.1.2.3….）
1 nπ x dx bn = ∫ f ( x)sin l −l l
（n=1.2.3….） ② 若 f(x)为奇函数：其正弦级数为：
∞
f ( x) = ∑ bn 来自百度文库in
n =1 l
nπ x l
2 nπ x 其系数： bn = ∫ f ( x )sin dx l 0 l
（n=1.2.3….） ③ 若 f(x)为偶函数，则其余弦级数为：
a0 ∞ nπ x f ( x) = + ∑ an cos l 2 n =1
其系数
2 nπ x dx an = ∫ f ( x) cos l 0 l
l