冗余度机器人

雅克比矩阵和奇异性
• 微(i=分1,2运, 动…原,n)问计题算：终根端据抓关手节的的微微分分运运动动(微d分i 移动d
和微分转动δ )
X J ( )
相应雅克比矩阵可以判断此机器人是满自由度、欠 自由度还是冗余度机器人
• 雅克比的几何性质 操作空间与关节空间的微分关系和速度关系可以 看成是由n维关节空间 Rn和m维操作空间 Rm的线性 映射
• 当m<n时，且满足下列条件
max Rank J (q) m q
则机器人的冗余度为n-m
• 对于某些形位 ：
Rank J (q) m
则机器人处于奇异状态，表示机器人终端抓手失 去某一方向的自由度
冗余度机器人的逆运动学
• 机器臂运动学方程
X J ( )
当机器人有冗余度时，
J R mn （n>m）
冗余度机器人
杭祖权 张郑冉 牛鹏 顾艳庆
摘要
1. 冗余度机器人概要 2. 雅克比矩阵和奇异性 3. 冗余度、冗余空间和奇异状态 4. 冗余度机器人的逆运动学
冗余度机器人概要
• 从运动学的观点是指完成某一特定任务时， 机器人具有多个自由度。
（关节自由度n>操作自由度m）
增加灵活性
• 主要特点：
提高躲避障 碍物的能力
设给定关节速度的二次型目标函数为 ：
G() TW
其中，W Rnn 为加权矩阵，
问题是：给定机械臂末端期望速度，决定各关节速度 并使上式取最小值。
建立新的广义目标函数：
G( , ) TW T ( X J)
该函数的极值应满足：
G
0
G 0
2W J T 0
X J 0
1 W 1J T
X J ( ) X Rm , Rn , J ( ) Rmn
如果m<n，此方程的解 是不确定的，冗余度指
的就是求解的不确定性。
假定它的一个特解s
所以
J
X
(
)Ja
( )(s
0
，a通) 解可a是表雅示克为比矩阵Js
a
( )
的零空间N (J )的元素
得到如下定义：雅克比矩阵J ( )的零空间和它的维 数分别为机器人在形位 是的冗余空间和冗余度
雅克比矩阵J ( )代表映射矩阵
• 域空间R(J )：是操作空间Rm的子空间，代表 机器人在某形位所达到的操作速度的集合。
• 零空间N(J )：是关节空间Rn的子空间，代表
不产生任何操作速度的集合。
dim R(J ) dim N(J ) n
• 当n>m，且J是满秩时，机器人具有冗余度； • 当n=m，且J是满秩时，机器人具有满自由度； • 当n<m，机器人是欠自由度的。
• 由于解的不确定性，因此需要附加一些约束从中 寻求满足复合这些约束条件的解按某一准则寻求 最优解。
当机械臂的雅可比矩阵不是方阵时，如何解决逆 运动学问题？
对于冗余度机器人, 给定手抓速度, 有无穷多组关节 速度的解. 通过使某种性能指标最优, 可以获得一组确定 的解.
下面利用拉各朗日乘子法来解决这一问题：
实际上根据微分运动学方程可以通过解线性方程组的方 法由解出, 解线性方程组的办法比矩阵求逆计算要简单一些, 但是计算量依然很大, 他们都难以实时计算，因此高速实时 计算方法也是机器人学研究的重要内容。
2
得到： (JW 1J T ) 2 X
假定J为满秩矩阵, 因此 JW 1J T 可逆
2(JW 1J T )1 X
W 1J T (JW 1J T )1 X
当加权矩阵W=I时
J T (JJ T )1 X J X
J J T (JJ T )1
雅可比矩阵的伪逆
以上讨论了根据手抓速度求解关节速度的一般方法, 最 后归结为计算雅可比矩阵的逆或伪逆. 但是求解矩阵的逆矩 阵需要进行大量的复杂计算, 在实际计算中, 一般尽量避免 矩阵求逆的计算.
• 奇异性 雅克比J的逆矩阵不是总存在的，当雅克比 行列式为零时，即
J() 0
这时终端抓手处于极 限位置，这些形位称 为机器人的奇异形位 或奇异状态
因此 2 0 或 2 时机械臂发生运动奇异。
两杆重合 两杆伸直
冗余度、冗余空间和奇异状态
• 机器人操作速度 X与关节速度 之间的关系为