一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析

数学物理学报2018,38A(4):750-769 h ttp://a cta m s.w ip m.a c.c n

一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的

爆破分析*

赵元章马相如#

(中国海洋大学数学科学学院山东青岛266100)

摘要：该文考虑了具有变扩散系数的反应-扩散方程D ir ic h le t初边值问题解的爆破现象.利

用辅助函数法和修正微分不等式技巧，对变扩散系数和非线性项给出适当的条件，以保证解整

体存在或有限时刻发生爆破，并在整体空间中（N>1)导出了爆破时间的界.同时，给出几

个应用举例.

关键词：反应-扩散方程；变扩散系数；爆破时间的界.

M R(2010)主题分类：35K65; 35B30; 35B40 中图分类号：O175.29 文献标识码：A

文章编号：1003-3998(2018)04-750-20

1引言

我们考虑具有变扩散系数和非局部源项的反应--扩散方程

ut=d iv(a(x)V u(x, t))+f (u),(x, t)G Q x(0, t*),(U)给出齐次D ir ic h le t边界条件和初始条件

u(x, t)=0,(x, t)G dQ x(0, t*),(1.2)

u(x, 0)=u〇 (x),:x G Q,(1.3)其中0c R n(N21)为具有光滑边界d n的有界区域，t*<+⑴表示可能发生爆破的时 间，反之t*=+⑴•变扩散系数a(x)为正的适当光滑函数，非线性项f(u)为非负连续函数并 满足非局部条件，比如，包含（u(x,t))p J^(u(x,t))qd x型非局部项，其中p + q>1•初值u〇(x) 为非负C1类函数且满足适当的相容性条件•因此，由经典拋物型理论知，问题（1.1)-(1.3) 存在唯一的非负局部解且充分光滑.

方程（1.1)出现在许多物理现象和生物种群理论.比如，热传导现象中温度，流体的流 动中浓度及某种生物种群密度的扩散等，见文献[1-3]及相关文献.

收稿日期：2017-07-11;修订日期：2017-12-11

E-mail: zhaoyz@;xrmaouc@

*基金项目：山东省研究生创新计划项目（SDYY14127)

Supported by Innovation Program for Graduates of Shandong Province (SDYY14127) **通讯作者

No.4赵元章等：一类具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程解的爆破分析751

近几十年来，已有许多学者致力于非线性拋物型反应-扩散方程解的爆破现象的研究.

有许多文献研究了半线性拋物方程整体解的存在性与非存在性，解的爆破，爆破时间的界，爆破速率，爆破集和解的渐进行为，读者可参考专著[4-6]以及综述性文献[7-8].粗略地讲，半线性拋物方程整体解和非整体解的存在性以及解的行为依赖于非线性项，维数，初始值以 及非线性边界流.特别地，Q u it t n e r和S o u p le t[5,第五章]详细介绍了具有D ir ic h le t边界条件 的非局部反应-扩散方程解的定性性质.从某种意义上讲，非局部模型比局部模型更赃近实 际问题，而局部理论在非局部模型中不再成立，使我们必须改进和探索现有的研究方法及理 论.本文中，我们的兴趣在于讨论具有变扩散系数和非局部项半线性拋物方程解的爆破现象 中爆破时间界的估计问题.实际上，此类问题中估计爆破时间上界的方法较多（见L e v in e[9] 介绍的六种方法)，但是爆破时间下界的估计值很难得到.最近，关于爆破时间下界估计问 题的研究也有了新的进展.对具有常数扩散系数的局部反应-扩散方程，读者可参看文献 [10-11](三维情形）和文献[12](高维情形).

对具有常数扩散系数的非局部反应-扩散方程的研究方面，S o n g[13]在齐次D ir ic h le t或 齐次N e u m a n n边界条件下，研究了具有非局部源项和局部吸收项的半线性拋物方程

ut=A u^uqdx — kus,(x, t)G Q x(0, t*).(1.4)

Jn

他在三维空间中得到了问题解的爆破时间t*的下界.之后，文献[14]将文献[13]中的结果推 广至高维空间（N23). L i u[15]考虑了在非线性边界条件下的方程（1.4)的解在三维空间中爆 破时间下界.S o n g等丨16]和M a等丨17]考虑了具有空变系数非局部源项的反应扩散方程，并在高维空间中（N23)得到了解的爆破时间的上下界估计值.此外，关于非局部拟线性拋 物型方程中爆破时间的下界估计问题，请参见文献[18] (N=1,2)和文献[19-21] (N23).

对具有变扩散系数的局部反应-扩散方程的研究方面，L i等[22]考虑了非齐次N e u m a n n 边界条件下具有内部吸收项的半线性散度型偏微分方程

N

ut = ^2(a i j(x)u x i)x j — f (u), (x,t)G Q x(0,t*),

i,j=1

其中（ai j(x))为可微的N x N阶正定矩阵，非负函数f满足适当的局部条件.他们得到了 解的整体存性和爆破的充分条件，并给出了在适当测度意义下的爆破时间的上界估计及三 维空间中爆破时间下界估计.：3&旦匕&&等[231在文献[22]的基础上，将爆破时间下界的估计 推广至高维（N23)情形.F a n g和W a n g[24]及M a和F a n g[25]考虑了具有时变系数或空 变系数吸收项的局部问题，并给出了在高维空间中（N23)变系数对爆破时间上下界的影 响.对具有变扩散系数的非局部反应-扩散方程的研究方面，M a和F a n g[26]研究了具有空 变系数非局部吸收项和非线性边界流的反应-扩散方程解的爆破时间上下界.但是，前述的 文献中变扩散系数矩阵（ai j(x))是为了保证一致椭圆型且主要研究了吸收项的系数对爆破 时间界的影响.

特别地，我们关注于W a n g和S o n g[27]最新研究进展.他们考虑了一类具有变扩散系数 和非局部源项的耦合方程组，并对变扩散系数适当限制后讨论了爆破时间下界及非同时爆 破现象.本文中，我们的目的在于对具有变扩散系数的非局部模型（1.1)-(1.3)建立若干不同 测度意义下解的整体存在性与爆破的充分条件，并在整体空间上（N21)讨论变扩散系数 对爆破时间界的影响.

本文的剩余部分结构如下：第二节，我们给出整体解存在的充分条件.第三节，利用修 正不等式技巧，找出变扩散系数a(x)对爆破的影响且在两种不同的测度意义下得到爆破发