《微积分预备知识》PPT课件

推广：对n个集合 A1 , A2 …，An ，它们的并集 n Ak={x 存在某个不大于n的自然数k，使 k 1
x ∈ Ak } n
交集 A k1 k= {x 对每一个不大于的n自然数
k， 使x ∈Ak }
推广：对无穷个集合 A1 , A2,…，An ，…它们的

并集 Ak={ x 存在某一自然数n ∈N ，
2、数轴：有方向，原点，单位长度的直线。
B
-1
0
A
1
2
数轴上点A的坐标是实数2，数轴上点B的坐标是实数-1。
二者关系：全体实数与数轴上的全体点之间有一一对 应关系。因此，在今后的学习中，“数a”与“点a” 就有相同的含义。
三、 实数的绝对值
1、定义：实数a的绝对值 a
a2

a a
a≥0 a＜0
a
b
.
。
数集｛x a＜x≤b｝称为有限半开区间， 记作（a,b］
a
b
。.
（2）无限区间：对于实数a 数集｛x x>a｝称为无限开区间， 记作（a,＋∞）
a
＋∞
。
数集｛x x≥a｝称为无限半开区间，
记作［a,＋∞）
.
a
＋∞
数集｛x x<a｝称为无限开区间， 记作（-∞,a）
－∞
a
。
数集｛x x≤a｝称为无限半开区间， 记作（-∞，a]
∴(- 2 -
2-
1 3
, a+δ =- 2 +
1 3
1 ,3
1
2 + 3 )是所求的邻域。
（2）若A B,则B A，且称A与B等价，常用“当 且仅当，有且仅有”表示
（3）各种条件的作用
• 充要条件:可以转化矛盾,简化问题 • 充分条件:可以讨论相关的结论
• 必要条件:可以缩小讨论范围 利用否定性
二、实数与数轴
1、 有理数
实数 无理数
正有理数 零 负有理数 正无理数 负无理数
正整数 正分数 负整数 负分数
记作：A=B。 （3）并集：集合D=｛x x∈A或x∈B｝称为A与B的
并集。记作：D=A ∪ B。
A∪B
（4） 交集：集合 E=｛x x∈A且x∈B｝称为A与B 的交集，记作：E=A ∩ B。
A
A
B∩
A-B
B
A∩B
（5） 差集：集合F=｛x x∈A且x B｝称为A
与B的差集。记作: F=A - B。
a k a k或a k
4 、运算
ab a b
ab a b
b a b a ab a b
aa bb
b 0
四 、 集合
1、定义 所谓集合是指具有某种特定性质的事物的全体。
一般用大写字母A，B， …，K， N，…表示。 构成集合的事物称为集合的元素，用小写字母
a a 或B=｛ a1 ， 2 ，…， n，… ｝
例 如：A=｛2，4，6，8，10 ｝ B=｛1,3,5，7，…,2n+1,…｝
（2）描述法： 将集合中元素所具有的特定性质描述出来的方
法。一般形式，A=｛x 元素x所具有的特定性质｝ 例如： A=｛x x为不超过10的正整数｝ B=｛x x为全体奇数｝
（2）几何意义：
由于： x a x a a x a U(a, ) (a , a )
是以a为对称中心的对称开区间。
。δ δ 。 a-δ a a+δ
例：求点- 2 的
1 邻域。 3
解：a = - 2 , δ = 1 3
∴a-δ = -
2、几何含义： a 表示点 a 到原点的距离。
a -1 0 1 3、性质
(1) a ≥0,且 a =0 a=0
(2) a = a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ （3） a a a
（4） a k k a k a k k a k
（5）设k>0,则 a k a k或a k
预备知识
预备知识 一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义：设A为条件，B为结论 • 若有A就有B，则称A是B的充分条件，记作：A B • 若有B必有A，则称A是B的必要条件，记作：A B • 若有A就有B，且有B必有A，则称A是B的充要条件,
记作：A B
例如：
A

θ =2 a=3
B
sinθ =1
－∞
.a
特别：全体实数构成无限区间（－∞，＋∞） （3）区间的表示：
可用集合表示，可用不等式表示，也可在 实轴上表示
例：区间（-2，3）=｛x -2<x<3 ,x∈R ｝
-2
0０
3
7、邻域：（或邻区）是特殊的开区间 （1）定义： 设a与δ 是两个实数，且δ >0，则数集
｛x x-a <δ ｝称为点a的δ 邻域，记作U（a，δ ）。 其中a称为邻域中心， δ 称为邻域半径。 数集｛x 0< x-a <δ ｝称为点a的δ 去心邻域，记作 U0（ a ，δ ）。
a =3
三条边相等 全等
A是B的什么条件 A是B的充分条件 A是B的必要条件 A是B的充要条件
符号 AB AB AB
2、 几点说明
（1）根据命题中的条件与结论是相对的，而不是绝 对的，因此充分与必要条件也是相对的，而不 是绝对的。
如：A B 表示A为条件, B为结论, A是B的充分条件 B A 表示B为条件, A为结论, B是A的必要条件
4、数集
如果集合里的元素全是数，则称为数集（是特殊 的集合）。
几个特殊的数集： 实数集R 、有理数集Q、正整数集N、整数集Z
5、集合间的关系：设A与B是两个集合 （1）子集：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称
A是B的子集。记作A B或B A。
（2）相等：如果A B且B A，则称A与B相等。
k 1
有x ∈ An }

A 交集 k 1
k={x
对任意自然数n ∈N ，使x∈An }
6、区间〔是特殊的数集〕 （1）有限区间 对于实数a<b，数集｛x a<x<b｝称为有限开区 间，记作（a,b）
a
b
数集｛x a≤x≤b｝称为有限闭区间，
记作［a,b］
a
b
数集｛x a≤x<b｝称为有限半开区间， 记作[a,b）
x ,a，……表示。 若事物a是集合A的元素，记作：a ∈A。
若事物a不是集合A的元素，记作：a A。
2、类型
有限集：只含有有限个元素的集合。 无限集：含有无限个元素的集合。 空 集：不含有任何元素的集合，记作φ 。
3、表示法
（1）列举法：按某种顺序列出集合中全部元素的方法。
一般形式 A=｛ a1 , a2 ,…， an ｝