泰勒公式及函数逼近
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For i= 7,i£ 17,a= Normal Series Sin x , x,0,i ; Plot a,Sin x , x, -2Pi,2Pi , PlotStyle® RGBColor 0,0,1 , RGBColor 1,0,0 ; i= i+ 2
@ @8 @<@8 < @D D @ 8 @D @D D 8D < < D
@ @@@@8<DD @D D D D@ @ @D D
输出结果为： 输出结果为：
5 2.7166666666666667
6 2.7180555555555556
7 2.7182539682539683
2.7182818284590452
2.7182818284590452
2.7182818284590452
运行上面程序，绘出了从 阶直至 阶直至17阶的泰勒多 运行上面程序，绘出了从7阶直至 阶的泰勒多 的比较图（ ），观察图表可得 项式与 sin x 的比较图（图3-3），观察图表可得， ），观察图表可得， 范围内， 在区间 [ −2π ,2π ] 范围内， x 的17次多项式与 次多项式与 sin 函数吻合得很好了。 函数吻合得很好了。
解：我们根据拉格朗日余项
ex e 3 n +1 n +1 | Rn |=| x |< |x| < (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!
可得， 即可。 可得，欲使 | Rn |< 0.005，只要取 n = 5 即可。下 面的Mathematica语句利用函数 e x 的5阶泰勒 面的 语句利用函数 阶泰勒 的值，并判断误差： 多项式来近似计算 e d 0 的值，并判断误差：
实验三
泰勒公式与函数逼近
泰勒公式的展开格式： 泰勒公式的展开格式： Series[expr,{x,x0,n}]（表示在 点展开， 点展开， （表示在x0点展开 阶数为n），而求函数的泰勒多项式格式为： Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]。 。 注意： 对泰勒多项式作图时可使用“ 注意 ： 对泰勒多项式作图时可使用 “ Evaluate” 命令把它转化为可运算的。 命令把它转化为可运算的。
d = -1 0 ; W i e d £ 1 = N N r a S r e E p x , x ,5 h l 0 ,a oml eis x ,0 " ," ,a " E p d ," ,N x 0 P i t d ," rn 0 N E p d - a ;d += 0 4 x 0 0 .
@ @@@@ < @8 D DD @DD D@D @ @
4
4
2
2
-6
-4
-2 -2
2
4
6
-6
-4
-2 -2
2
4
6
-4
-4
3 2
1
0.5
1
-6
-4
-2 -124Fra bibliotek6-6
-4
-2 -0.5
2
4
6
-2 -3
-1
1
1
0.5
0.5
-6
-4
-2 -0.5
2
4
6
-6
-4
-2 -0.5
2
4
6
-1
图3－3
-1
对函数逼近的影响。 （3）固定 n = 6 ，观察 x 0 对函数逼近的影响。 ） 在下面的语句中， 在下面的语句中，为了方便调用 sin x 的泰勒多项 的泰勒展开函数tt， 式，首先定义了 sin x的泰勒展开函数 ，然后用不 同的颜色在同一坐标系中画出了 sin x 及 sin x 的分 处的6阶泰勒多项式的图形 阶泰勒多项式的图形： 别在 x0 = 0, x0 = 3, x0 = 6处的 阶泰勒多项式的图形：
For i = 1, i £ 11, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - Pi, Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 ;
@ @8 @ @@8 < D D @ 8 @< @ D D 8D D < < D
x
的
语言如下： 解：为此，我们输入Mathematica语言如下： 为此，我们输入 语言如下
n= 5 ; W i e n£ 1 ,a= N N r a S r e E p x , x ,n hl 0 oml eis x ,0 .x® 1 7 ; ,1 ,a ,N x 7 ,E p Pitn r n ," " ," " E p 1 ,1 , " " x 1 -a ;n+= 1
k =1 n
很小时， 当 | x − x0 | 很小时，有
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k k!
其中， 其中，T ( x ) = f ( x0 ) + ∑
k =1
n
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k k!
称为 f (x) 在点 为余项。 为余项。
x 0 处的 阶泰勒多项式； （| x − x 0 | n ） 处的n阶泰勒多项式 o 阶泰勒多项式；
0.6
1.82205
1.82212
0.0000708004
1.
2.71667
2.71828
0.00161516
输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果 输出结果每一行的最后一项表示误差， 中可以看出， 中可以看出，当 | x |< 1 ，其误差 | Rn |< 0.005
对误差的影响） 例2 （观察阶数n 对误差的影响）利用函数e n阶多项式计算e 的值，并求误差。 的值，并求误差。 （n=5,6,7,8,9,10） ）
一个函数 f (x) 若在点 x 0 的邻域内足够光滑， 的邻域内足够光滑， 则在该邻域内有泰勒公式
f ( x) = f ( x0 ) + ∑
k =1 n
f
(k )
( x0 ) ( x − x 0 ) k + o（| x − x 0 | n ） k! k!
f ( x) ≈ f ( x0 ) + ∑
2
3 2 1
1
-3
-2
-1 -1
1
2
3
-3
-2
-1 -1
1
2
3
-2 -3
-2
1
1
0.5
0.5
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-1
-1
1
1
0.5
0.5
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.5
1
2
3
-1
图3－2
-1
（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点 ）扩大显示区间范围， x 0 时泰勒多项式对函数的逼近情况。 时泰勒多项式对函数的逼近情况。 显然， 显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的 x 范围由 [−π , π ] 分别改到 [−2π ,2π ] ，并相应增 加阶数。 下命令： 加阶数。故输入如 下命令：
@@D @D@@D< D @@ D D 8 @@ @< @ D 8< 8D D < @ D 8 @D < D
输出的结果如图3-4所示。 所示。 输出的结果如图 所示
2 1.5 1 0.5 -7.5 -5 -2.5 -0.5 -1 -1.5 -2 2.5 5 7.5
图3－4 －
从本实验我们可以得到一些结论， 函数的泰勒多 从本实验我们可以得到一些结论 ， 项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高， 项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高 ， 但是对于任一确定的次数的多项式， 但是对于任一确定的次数的多项式 ， 它只在展开 点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度 。
0.366667
0.548752
0.818731
.x® d ; 0 " ,
输出结果为： 输出结果为：
-1
- 0.6
- 0.2
0.3 67879
0.548812
0.818731
0.00121277
0.0000596361
8.64113 ´ 10-8
0.2
1.2214
1.2214
9.14935 ´ 10-8
和
实验习题3 实验习题 1. 对 f ( x) = cos x 重复上面的实验。 重复上面的实验。 2. 作出函数 y = ln(cos x + sin x) (−
2
π
4
≤x≤
π
4
)
x 的函数图形和泰勒展开式（ 的函数图形和泰勒展开式（选取不同的 0 n 值）图形，并将图形进行比较。 图形，并将图形进行比较。
0.0016151617923786
0.0002262729034897
0.0000278602050770
8 2.7182787698412698
2.7182818284590452
3.0586177754 ´ 10-6
9 2.7182815255731922
10 2.7182818011463845
; i= i+ 2
运行后得到了六幅图（ 运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观 ） 察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况， 察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况 ， 范围内， 显然在[ −π , π ]范围内，第五幅图中两个函数的图形 已经基本上吻合了，也就是说， 已经基本上吻合了，也就是说， x 的9次多项式 次多项式 sin 与函数几乎无差别。 与函数几乎无差别。
下面我们利用Mathematica计算函数 f (x ) 的 计算函数 下面我们利用 各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形， 各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进 一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 泰勒公式的误差） 例1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计 算 e x 。若 | x |< 1 ，要求误差 | Rn |< 0.005 。
tt x0_, n_ := Normal Series Sin x , x, x0, n ;
gs0 = tt 0, 6 ; gs3 = tt 3, 6 ; gs6 = tt 6, 6 ;
Plot Sin x , gs0,gs3,gs6 , x, - 3Pi,3Pi , PlotRange® -2,2 , PlotStyle® RGBColor 0,0,1 , RGBColor 1,0,1 , RGBColor 1,0,0 , RGBColor 0,1,0
t = Table Normal Series Sin x , x, 0, i
PrependTo t, Sin x ;
Plot Evaluate t , x, - Pi, Pi
上述语句中的函数“ 上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是 是 添加到表t中 运行后得到图3-1。 表示把函数 sin x 添加到表 中。运行后得到图 。
3 2 1
@ @D @8 <8 < @D D D @@8 < @ D @ D
, i, 1, 13, 2 ;
-3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3
图3-1
为了使图形比较更加生动， 为了使图形比较更加生动，下面我们作出 sin x 和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较 图，并且在图中红色曲线表示函数 f ( x ) = sin x 的 图形， 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 图形 ， 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形 。 命令如 下：
2.7182818284590452
2.7182818284590452
3.028858530 ´ 10-7
2.73126608 ´ 10-8
从结果中可知，阶数越高，误差越小。 从结果中可知，阶数越高，误差越小。
例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察 （根据图形观察泰勒展开的误差） f ( x) = sin x 的各阶泰勒展开的图形。 的各阶泰勒展开的图形。 固定， 的影响。 解：（1）x0 = 0 固定，观察阶数 n 的影响。 ） 处的偶数阶导数为零， 因为 f ( x) = sin x 在 x0 = 0 处的偶数阶导数为零， 所以首先我们在同一坐标系内显示函数 f ( x) = sin x 阶泰勒多项式的图形。 及它的 n( n = 1,3,5, ⋯ ,13) 阶泰勒多项式的图形。 故输入命令如下： 故输入命令如下：
@ @8 @<@8 < @D D @ 8 @D @D D 8D < < D
@ @@@@8<DD @D D D D@ @ @D D
输出结果为： 输出结果为：
5 2.7166666666666667
6 2.7180555555555556
7 2.7182539682539683
2.7182818284590452
2.7182818284590452
2.7182818284590452
运行上面程序，绘出了从 阶直至 阶直至17阶的泰勒多 运行上面程序，绘出了从7阶直至 阶的泰勒多 的比较图（ ），观察图表可得 项式与 sin x 的比较图（图3-3），观察图表可得， ），观察图表可得， 范围内， 在区间 [ −2π ,2π ] 范围内， x 的17次多项式与 次多项式与 sin 函数吻合得很好了。 函数吻合得很好了。
解：我们根据拉格朗日余项
ex e 3 n +1 n +1 | Rn |=| x |< |x| < (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)!
可得， 即可。 可得，欲使 | Rn |< 0.005，只要取 n = 5 即可。下 面的Mathematica语句利用函数 e x 的5阶泰勒 面的 语句利用函数 阶泰勒 的值，并判断误差： 多项式来近似计算 e d 0 的值，并判断误差：
实验三
泰勒公式与函数逼近
泰勒公式的展开格式： 泰勒公式的展开格式： Series[expr,{x,x0,n}]（表示在 点展开， 点展开， （表示在x0点展开 阶数为n），而求函数的泰勒多项式格式为： Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]。 。 注意： 对泰勒多项式作图时可使用“ 注意 ： 对泰勒多项式作图时可使用 “ Evaluate” 命令把它转化为可运算的。 命令把它转化为可运算的。
d = -1 0 ; W i e d £ 1 = N N r a S r e E p x , x ,5 h l 0 ,a oml eis x ,0 " ," ,a " E p d ," ,N x 0 P i t d ," rn 0 N E p d - a ;d += 0 4 x 0 0 .
@ @@@@ < @8 D DD @DD D@D @ @
4
4
2
2
-6
-4
-2 -2
2
4
6
-6
-4
-2 -2
2
4
6
-4
-4
3 2
1
0.5
1
-6
-4
-2 -124Fra bibliotek6-6
-4
-2 -0.5
2
4
6
-2 -3
-1
1
1
0.5
0.5
-6
-4
-2 -0.5
2
4
6
-6
-4
-2 -0.5
2
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6
-1
图3－3
-1
对函数逼近的影响。 （3）固定 n = 6 ，观察 x 0 对函数逼近的影响。 ） 在下面的语句中， 在下面的语句中，为了方便调用 sin x 的泰勒多项 的泰勒展开函数tt， 式，首先定义了 sin x的泰勒展开函数 ，然后用不 同的颜色在同一坐标系中画出了 sin x 及 sin x 的分 处的6阶泰勒多项式的图形 阶泰勒多项式的图形： 别在 x0 = 0, x0 = 3, x0 = 6处的 阶泰勒多项式的图形：
For i = 1, i £ 11, a = Normal Series Sin x , x, 0, i Plot a, Sin x , x, - Pi, Pi , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 , RGBColor 1, 0, 0 ;
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x
的
语言如下： 解：为此，我们输入Mathematica语言如下： 为此，我们输入 语言如下
n= 5 ; W i e n£ 1 ,a= N N r a S r e E p x , x ,n hl 0 oml eis x ,0 .x® 1 7 ; ,1 ,a ,N x 7 ,E p Pitn r n ," " ," " E p 1 ,1 , " " x 1 -a ;n+= 1
k =1 n
很小时， 当 | x − x0 | 很小时，有
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k k!
其中， 其中，T ( x ) = f ( x0 ) + ∑
k =1
n
f ( k ) ( x0 ) ( x − x0 ) k k!
称为 f (x) 在点 为余项。 为余项。
x 0 处的 阶泰勒多项式； （| x − x 0 | n ） 处的n阶泰勒多项式 o 阶泰勒多项式；
0.6
1.82205
1.82212
0.0000708004
1.
2.71667
2.71828
0.00161516
输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果 输出结果每一行的最后一项表示误差， 中可以看出， 中可以看出，当 | x |< 1 ，其误差 | Rn |< 0.005
对误差的影响） 例2 （观察阶数n 对误差的影响）利用函数e n阶多项式计算e 的值，并求误差。 的值，并求误差。 （n=5,6,7,8,9,10） ）
一个函数 f (x) 若在点 x 0 的邻域内足够光滑， 的邻域内足够光滑， 则在该邻域内有泰勒公式
f ( x) = f ( x0 ) + ∑
k =1 n
f
(k )
( x0 ) ( x − x 0 ) k + o（| x − x 0 | n ） k! k!
f ( x) ≈ f ( x0 ) + ∑
2
3 2 1
1
-3
-2
-1 -1
1
2
3
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1
2
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1
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0.5
0.5
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-1 -0.5
1
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1
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1
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0.5
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-1 -0.5
1
2
3
-3
-2
-1 -0.5
1
2
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图3－2
-1
（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点 ）扩大显示区间范围， x 0 时泰勒多项式对函数的逼近情况。 时泰勒多项式对函数的逼近情况。 显然， 显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的 x 范围由 [−π , π ] 分别改到 [−2π ,2π ] ，并相应增 加阶数。 下命令： 加阶数。故输入如 下命令：
@@D @D@@D< D @@ D D 8 @@ @< @ D 8< 8D D < @ D 8 @D < D
输出的结果如图3-4所示。 所示。 输出的结果如图 所示
2 1.5 1 0.5 -7.5 -5 -2.5 -0.5 -1 -1.5 -2 2.5 5 7.5
图3－4 －
从本实验我们可以得到一些结论， 函数的泰勒多 从本实验我们可以得到一些结论 ， 项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高， 项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高 ， 但是对于任一确定的次数的多项式， 但是对于任一确定的次数的多项式 ， 它只在展开 点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。 点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度 。
0.366667
0.548752
0.818731
.x® d ; 0 " ,
输出结果为： 输出结果为：
-1
- 0.6
- 0.2
0.3 67879
0.548812
0.818731
0.00121277
0.0000596361
8.64113 ´ 10-8
0.2
1.2214
1.2214
9.14935 ´ 10-8
和
实验习题3 实验习题 1. 对 f ( x) = cos x 重复上面的实验。 重复上面的实验。 2. 作出函数 y = ln(cos x + sin x) (−
2
π
4
≤x≤
π
4
)
x 的函数图形和泰勒展开式（ 的函数图形和泰勒展开式（选取不同的 0 n 值）图形，并将图形进行比较。 图形，并将图形进行比较。
0.0016151617923786
0.0002262729034897
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9 2.7182815255731922
10 2.7182818011463845
; i= i+ 2
运行后得到了六幅图（ 运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观 ） 察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况， 察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况 ， 范围内， 显然在[ −π , π ]范围内，第五幅图中两个函数的图形 已经基本上吻合了，也就是说， 已经基本上吻合了，也就是说， x 的9次多项式 次多项式 sin 与函数几乎无差别。 与函数几乎无差别。
下面我们利用Mathematica计算函数 f (x ) 的 计算函数 下面我们利用 各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形， 各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进 一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 泰勒公式的误差） 例1 （泰勒公式的误差）利用泰勒多项式近似计 算 e x 。若 | x |< 1 ，要求误差 | Rn |< 0.005 。
tt x0_, n_ := Normal Series Sin x , x, x0, n ;
gs0 = tt 0, 6 ; gs3 = tt 3, 6 ; gs6 = tt 6, 6 ;
Plot Sin x , gs0,gs3,gs6 , x, - 3Pi,3Pi , PlotRange® -2,2 , PlotStyle® RGBColor 0,0,1 , RGBColor 1,0,1 , RGBColor 1,0,0 , RGBColor 0,1,0
t = Table Normal Series Sin x , x, 0, i
PrependTo t, Sin x ;
Plot Evaluate t , x, - Pi, Pi
上述语句中的函数“ 上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是 是 添加到表t中 运行后得到图3-1。 表示把函数 sin x 添加到表 中。运行后得到图 。
3 2 1
@ @D @8 <8 < @D D D @@8 < @ D @ D
, i, 1, 13, 2 ;
-3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3
图3-1
为了使图形比较更加生动， 为了使图形比较更加生动，下面我们作出 sin x 和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较 图，并且在图中红色曲线表示函数 f ( x ) = sin x 的 图形， 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。 图形 ， 蓝色曲线表示泰勒多项式的图形 。 命令如 下：
2.7182818284590452
2.7182818284590452
3.028858530 ´ 10-7
2.73126608 ´ 10-8
从结果中可知，阶数越高，误差越小。 从结果中可知，阶数越高，误差越小。
例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察 （根据图形观察泰勒展开的误差） f ( x) = sin x 的各阶泰勒展开的图形。 的各阶泰勒展开的图形。 固定， 的影响。 解：（1）x0 = 0 固定，观察阶数 n 的影响。 ） 处的偶数阶导数为零， 因为 f ( x) = sin x 在 x0 = 0 处的偶数阶导数为零， 所以首先我们在同一坐标系内显示函数 f ( x) = sin x 阶泰勒多项式的图形。 及它的 n( n = 1,3,5, ⋯ ,13) 阶泰勒多项式的图形。 故输入命令如下： 故输入命令如下：