第7章 连续系统的时域和频域分析

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虽然理想低通滤波器是物理不可实现的非因果系统，但是在实际中设计一个传输特性接近于
理想特性的滤波器电路却并不难。
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7.2 连续系统的时域响应
7.2.1 LTI系统的数学模型与微分方程
LTI系统是最常见、最有用的一种系统，描述该系统的输入、输出特性使用 常系数线性微分方程。因此LTI连续系统的时域分析归结为：建立并求解线性 微分方程。
称这些值为初始状态或起始值。
• （2）0+状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激 励的影响。若输入是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ci时用t=0+时刻的初始值， 即 (j=0,1,2…，n-1)。而包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。
• 0+状态的确定方法如下： ➢ 已知 0-状态求 0+状态的值，可用冲激函数匹配法。 ➢ 求 0+状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。 • （3）从 0-状态到 0+状态的跃变。 ➢ 通常，需要从已知的初始状态设法求得。当系统已经用微分方程表示时，系统
相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。如图7-1-3所示。
• 不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。即，对h(t)的要求：h(t)=K (t – t0)
• 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内， 系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。
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引出系统 H ( j) 的重要意义在于研究信号传输的基本特性，H ( j) 是一个加权函数，对各
（1）特征方程的根为n个单根。
当特征方程的根（特征根）为n个单根（不论实根、虚根、复数
根）1，，2 … ，n 时，则通解表达式为：
（2）特征方程的根为n重根。
yh (t) C1e1t C2e2t ... Cnent
当特征根为n个重根(不论实根、虚根、复数根) =1 =…2 = 时， n 通解表达式
•
Y ( j) KX ( j) e jt0 H ( j) X ( j)
（7.1.4）
• 所以无失真传输系统的系统函数为： H ( j) K e jt0 ，即频域无失真传输条件为：
•
H ( j) K
•
t0
（7.1.5）
• 系统要实现无失真传输，对系统H(j)的要求是：
要求幅度是与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。
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7.1 信号通过线性系统
系统可以看作是一个信号处理器，当信号通过线性系统时，会产生两种结 果：输出信号失真和不失真。系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是 信号的传输，一类是波形变换。因此对系统的不同用途有不同的要求：无失 真传输；利用失真进行波形变换（如滤波）。
7.1.1 信号作用于LTI系统的响应
• 强迫响应的形式取决于外加激励，对应于微分方程的特解。即
• （2）系统的响应由暂态响应（Transient）和稳态响应（Steady-state） 组成。
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Hale Waihona Puke Baidu
完全响应 = 暂态响应 + 稳态响应
• 暂态响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t增加，它将消失。
• 稳态响应由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 即
励是角频率ω的基本信号时，其响应是信号与系统的冲激响应的卷积：
y(t) h(t) e jt h( ) e j(t )d h( ) e j d e jt
（7.1.1）
而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，常称为系统的频率响应函
数。即：
y(t) H ( j) e jt
H ( j) h( ) e j d
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3. 完全解与系统的完全响应
• 完全解代表系统的完全响应，系统的完全响应有以下类型：
• （1）系统的响应由自由响应（Natural）和强迫响应（forced）组成。
•
完全响应 = 自由响应 ＋ 强迫响应
• 自由响应也叫固有响应，由系统本身特性决定的，与外加激励形 式无关。对应于微分方程的齐次解。
• 时域无失真传输的条件：无失真传输是指线性系统输出响应的波形与输入激励的波形完全相 同，只有幅度的大小和出现时间的先后可以不同，而没有波形上的变化，如图7-1-2所示。即：
•
y(t) Kx(t t0 )
（7.1.3）
• 频域无失真传输的条件：对上述公式取傅里叶变换，并利用时移特性，可得其频谱关系为：
|H( j )|
•
（7.1.6）
H
(
j)
e ictd 0
| | c | | c
1 ω
• 它可以看作是宽度为2c的门函数 g() ：H ( j) e jctd g() （7.1.7）-ωC 0 ωC
• （1）冲激响应：h(t) F 1[e jctd g()] ，根据傅立叶变换得：
θ( )
•
h(t)
c
Sa[c
(t
td
)]
（7.1.8）
• 这是一个非因果函数，可见理想低通滤波器实际上是不可实现的非因果系统。
• （2）阶跃响应 • 经推导，可得
t
g(t) h(t) (t) h( )d t c sin[c ( td )]d c ( td )
• •
g(t) 1 1
解、再求特解，微分方程的经典解：
• 完全解（代表系统的完全响应） y(t)
• = 齐次解 yh (t) + 特解 y p (t。)
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1. 齐次解
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
yh (t) Ci eit
i 1
齐次解的函数形式仅取决于系统本身的参数（特征值），齐次解代表零输入响
应、自然响应或固有响应。并注意齐次解的重根、复根情况处理方法。
（7.1.2）
H ( j) 反映了响应y(t)的幅度和相位，代表了系统对信号的处理结果。
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2.一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
• 同样，一般信号f(t)作用于LTI系统时，系统
输出的响应在时域是该信号与系统响应函
数的卷积，因此在频域是信号的频谱函数
与系统函数的频谱函数（冲激响应）的乘
1. 基本信号作用于LTI系统的响应
傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。
对周期信号：
f (t)
Fn e jnt
对非周期信号：
f (t)
1
。
F ( j) e jt d
2
在频域分析中，信号的n定 义域为(–∞，∞)，而t=-∞时总可认为系统的状态为0，因
此本章的响应指零状态响应，常写为y(t)。设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激
y'(t) by其(t中) ：0
即求解对应齐次微分方程的解。
（b 7.b20.7/）b1
2．零状态响应（ZSR）
不考虑原始时刻系统储能的作用，即系统的初始状态等于零，只由系统的外
加激励信号产生的响应，是零状态响应（ZSR）。 对于典型的一阶系统，由（7.2.4）式，得
d [ebt y(t)] ebt ax(t) dt
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7.2.3连续系统的零输入、零状态响应
用连续系统的时域分析法，求解LTI系统的微分方程时，需要求出零输入响应
和零状态响应，才能得出完全响应。
1．零输入响应（ZIR）
没有外加激励信号的作用，完全只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生
的响应，是零输入响应（ZIR）。
对于一阶系统，零输入响应为求常系数线性微分方程：
第7章 连续系统的时域和频域分析
• 本章将研究连续系统的时域分析（激励与响应） 和在频域（包括复频域即s域）中的关系及其应用。
• 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行 分析的方法，具有直观、准确的优点，可以提供 系统时间响应的全部信息。频域、复频域分析法 在线性连续系统分析中也具有独特用途和优势； 系统的频域分析主要包括求表征系统频率特性的 频率响应特征量和在频域求解系统输出两方面内 容。本章介绍的连续系统分析对于研究系统性质、 系统对信号的传输、处理能力和系统设计有重要 意义。
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7.2.2 微分方程的经典解与连续系统的完全响应
• 由（7.2.1）式可知，n阶常系数线性微分方 程为：
•
bn y (n) (t) bn1 y (n1) (t) ... b2 y (2) (t) b1 y (1) (t) b0 y(t)
• 求解微分 a方m x(m程) (t)的 a一m1x般(m1步) (t)骤 ...是 a：2 x(2先) (t)求 a1出x(1)齐(t) 次a0 x(t)
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方
法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。 系统分析的过程一般分为三个阶段： 首先要建立系统的数学模型，即LTI系统的微分方程，在电路分析中，系统 微分方程的建立依据是构成系统的各部件的特性以及各部件之间的连接方式。 具体到电路中，微分方程的列写依据是欧姆定律（VAR）、基尔霍夫定律 （KCL和KVL）以及电子元器件的U-I关系。 然后，求解微分方程，得出输出响应的变化规律。 最后对其数学结果进行物理解释，反映实际应用的结果。
频率分量进行加权：信号的幅度由
加权，信号的相位由
| H ( j) |
修正。
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7.1.3理想低通滤波器
•
无失真传输要求传输信号时尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着
失真。具有如图7-1-4所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器，c称为截止角频率。
• 理想低通滤波器的频率响应可写为：
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2. 特解
特解代表零状态响应、受迫响应或强迫响应。特 解的函数形式完全由激励信号决定。 求特解： （1）根据微分方程右端输入信号的函数形式有对应 特解的形式，用待定系数法由初始值定出齐次解 中的待定常数Ci。 （2）设含待定系数的特解函数式。在输入信号为直 流和正弦信号时，特解就是稳态解。 （3）用初始值确定积分常数。将上述代入原方程， 比较系数定出特解，一般情况下，n 阶方程有n个 常数，可用个n初始值确定。 几种常见的典型自由项激励函数和相应的特解，如 表7-1所示。
• （3）系统的响应由零输入（Zero-input）响应和零状态 (Zero-state) 响 应组成。即
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完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
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4.关于0-和0+初始值
• （1）0-状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的。 • 在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值反映了系统的历史情况而与激励无关。
积，LTI系统的时域分析与频域分析的关系
如图7-1-1所示。
f(t)
LTI系统 h(t) y(t)
f(t) X h(t ) =y(t)
F(j ).H(j)=Y(j)
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7.1.2无失真传输
• 线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成：
➢ 幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；
➢ 相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位 置产生变化，但不产生新的频率成分。而非线性系统产生的非线性失真将产生新的频率成分。
为：
yh (t) C1e1t C2te2t ... Cnt n1ent
求yh的(t) 基本步骤如下： 求系统的特征根，写出 yh的(t) 通解表达式。 由于激励为零，所以零输入的初始值：，由此确定出积分常数C1，C2，…，Cn 将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入通解表达式，即得 。 yh (t)
2
c (t td 0
)
sin x
x
dx
1 2
1
Si[C
(t
td
（7.1.9）
)]
g(t) 1
0
td
td
C
t
• 波形如图7-1-5所示，可见理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，而且在-∞<t<0 区域就已经出现震荡，这是采用理想化频率响应所致。
• Si( y9)% 。0y si这nx x一d x由称频为率正截弦断积效分应，引特起点的是振有荡明现显象失称真为，吉只布要斯现c象<∞。，则必有振荡，其过冲比稳态值高约
的初始值从0-状态到 0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及 其各阶导数：
➢ 当微分方程右端含有冲激函数(t)及其各阶导数时，响应y(t)在t=0处将发生0-状 态到 0+状态的跃变。
➢ 否则不会跃变。 • （4）各种响应用初始值确定积分常数： ➢ 在经典法求全响应的积分常数时，用的是0+状态初始值。 ➢ 在求系统零输入响应时，用的是0-状态初始值。 ➢ 在求系统零状态响应时，用的是0+状态初始值，这时的零状态是指0-状态为零。