高考数学中比较大小的策略

高考数学中比较大小的策略

云南省会泽县茚旺高级中学 杨顺武

在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分.为帮助考生避免无谓失分，本文对这类问题的解题策略进行深入探讨，以提高考生的成绩： 策略一：直接法

就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1.若2

2

221231

1

11

,,,x S x dx S dx S e dx x

=

==⎰

⎰

⎰则123S S S 的大小关系为（ ）

A ．123S S S <<

B ．213S S S <<

C ．231S S S <<

D ．321S S S << 解：本题考查微积分基本定理2

232111

1733

S x dx x =

==⎰

2

2211

1ln ln 21S dx x x ===<⎰

，22

23117(1)3

x x S e dx e e e e e ===-=->⎰。

所以213S S S <<，选B.

策略二：估算法

就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。 例2.已知ln x π=，5log 2y =，1

2

z e

-=，则

A.x y z <<

B.z x y <<

C.z y x <<

D.y z x <<

解：1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 1

21

==-，112

1<<

e ， 所以x z y <<，选D.

策略三 数形结合法

就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将比较大小与某些图形结合起来，利用直观几何性质，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

例3.已知二次函数),0(0)(2

>=++=a c bx ax x f 满足关系)2()2(x f x f -=+，试比较

)5.0(f 与)(πf 的大小。

思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2=x 对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。

解：（如图1）由)2()2(x f x f -=+， 知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线 它与2=x 距离越近的点，函数值越小。

)()5.0(25.02ππf f >∴->-

思维障碍 有些同学对比较)5.0(f 与)(πf 的大小，只想到求出它们的值。而此题函数

)(x f 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已

知条件的含义，因而思维受到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解题。提高思维的变通性。

策略四 单调性比较法

例 4.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有

2121

()()

0f x f x x x -<-.则

A.(3)(2)(1)f f f <-<

B. (1)(2)(3)f f f <-<

C.(2)(1)(3)f f f -<< D .(3)(1)(2)f f f <<- 解:由2121()(()())0x x f x f x -->等价，于

2121

()()

0f x f x x x ->-则()f x 在

1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得

(3)(2)(1)f f f <-<,故选A.

策略5 特殊值法

就是运用满足题设条件的某些特殊数值对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

例5. 若0

∴不妨取x=0.1得x 2=0.01。x 3=0.001，显然x 3

凡是遇到含有绝对值的比较大小，如()()12||f x f x e

-≤，通常采用最值法来处理。

例6.已知1=x 是函数()()2x

f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R ) （1）求a 的值；

（2）任意1x ，[]20,2x ∈时，证明：()()12||f x f x e -≤

分析：利用极值点处的导数为零可求a ，处理()()12||f x f x e -≤可转化为求[]20)(，

在x f 上的最大值与最小值，

解：（1）'()(2)e x

f x ax a =+-，由已知得0)1('=f ，解得1=a ．

当1a =时，()(2)e x

f x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =.

（2）由（1）知，()(2)e x

f x x =-，'()(1)e x f x x =-.

当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x

e x x

f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；

当(]1,2x ∈时，'()(1)0x

f x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增.

所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-.