8种方法解决三角函数最值问题,附例题详解!
三角函数最值问题常见的求解策略
三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１ 求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２ 已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解 ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３ 求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４ 函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解 ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５ 求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解 ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型 十种特殊条件下的 三角恒等变换□韩玉宝 三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１ 设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解 将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２ 已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解 ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８ 求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解 令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５． ２．ｙ∈１２，［］５． ３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略． ２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２． ２．±７１２． ３．５６６５． ４．１４． ５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２． ２．１２０°． ３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎ ｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１ ２．５６６５ ３．③ ４．槡４５９ ５．１１６ ６．［槡－３，槡３］ ７．２ ８．π２ ９．槡２－１２ １０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。
三角函数最值的特征解法
三角函数最值的特征解法三角函数是高中数学中非常重要的内容之一，涉及到三角函数的最值问题是解析几何中非常经典的问题，也是数学中的一个重要研究方向之一、三角函数的最值问题可以用几何方法解决，也可以通过数学分析的方法解决。
几何方法解决三角函数最值问题：一、用三角形的面积求解：对于给定的三角形ABC，若要求最大值或最小值，则把三角形的三个顶点坐标x,y表示成已知直角边x与角度的函数形式（坐标x=af(θ),坐标y=bg(θ)），作直角坐标中的参数方程，然后求它的面积。
一般地，对于三角形的最大或最小面积问题，以到形如y=af(x)与y=bg(x)的直线为直角边的直角三角形的面积最小或最大。
这只是抛物线和双曲线的纵坐标当作已知直角边进行求解的特例。
二、利用三角形的性质求解：对于给定的三角形ABC，已知ΔABC正弦的值，即sinA, sinB, sinC,则根据三角形的面积公式Δ=1/2ABSinc，我们可以求出最大或最小的三角形的面积，进而求出三角形的最值。
通过数学分析的方法解决三角函数最值问题：一、利用函数导数的零点求解：对于给定的三角函数f(x)，我们可以通过求f(x)的导数，然后求导数的零点来求解函数的极值点。
对于一个周期函数，我们只需关注一个周期内的导数的零点。
通过求解导数的零点，可以找到函数的极值点。
二、利用函数的变化趋势求解：通过观察函数的图像或者利用函数的性质，可以确定函数的最值点。
例如，对于周期函数，我们只需关注一个周期内的函数变化趋势即可。
通过观察函数的周期、周期内的对称性等特点，可以推测出函数的最值点。
三、利用辅助角的方法求解：对于给定的三角函数f(x)，复杂的问题可以通过引入辅助角来简化。
通过引入辅助角，可以将原问题转化为一个更简单的三角函数问题，从而求解函数的最值。
四、利用三角函数的周期性求解：对于三角函数的最值问题，我们可以利用函数的周期性来求解。
通过观察函数的周期，可以确定函数的最值点。
三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2
3
所以 的取值范围为（
2，
6＋ 2
］.
2
＝
高中总复习·数学
2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值
如何解答三角函数最值问题
解题宝典三角函数最值问题的类型很多.要提高解答三角函数最值问题的效率，需要掌握不同类型三角函数最值问题的特点，对三角函数式进行合理的化简或转化，充分利用三角函数的性质与图象来解题.本文重点探讨一下几类常见三角函数最值问题的解法.一、f ()x =A sin ()ωx +φ+k 型对于形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，一般要利用三角函数y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象来求其最值.例1.求函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最值.解：∵x ∈[-π4，π6]，∴-π6≤2x +π3≤2π3，由正弦函数y =sin x 的图象可知-12≤sin æèöø2x +π3≤1，-14≤12sin æèöø2x +π3≤12，∴函数y =12sin æèöø2x +π3在区间[-π4，π6]上的最大值是12，最小值是-14.解答形如f ()x =A sin ()ωx +φ+k 、f ()x =A cos(ωx +φ)+k 、f ()x =A tan ()ωx +φ+k 的三角函数最值问题，要首先从y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 的性质和图象入手，在y =sin x 、y =cos x 、y =tan x 图象的基础上作相应的变换，找出对应的最值点、与坐标轴的交点、对称轴等，从而快速确定函数在定义域内的最值.二、f ()x =λsin x +μcos x +t 型对于f ()x =λsin x +μcos x +t (λ、μ不全为0，t ∈R)型三角函数的最值问题，应先把函数式进行恒等变换，利用辅助角公式，将其转化为f ()x =λ2+μ2⋅sin(x +φ)+t （其中cos φ=λλ2+μ2，sin φ=μλ2+μ2，tan φ=μλ）的形式，或转化为f ()x =μ2+λ2cos(x +φ)+t 的形式；然后根据正弦或余弦函数的有界性来求其最值.例2.在直角坐标系中，曲线C 的参数方程是ìíîïïïïx =1-t 21+t 2,y =4t 1+t 2,(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是2ρcos θ+3ρsin θ+11=0，求曲线C 上的点到直线l 的最短距离.解：将参数方程设为{x =cos α,y =2sin α,(α为参数,-π<α<π)根据点到直线的距离公式，可得曲线C 上任意一点(cos α,2sin α)到直线l 的距离为d =||||||4cos æèöøα-π3+117，当α=-2π3时，||||||4cos æèöøα-π3+11取得最小值7，则曲线C 到l 的最短距离是7.目标式2cos α+23sin α+11形如f ()x =λsin x+μcos x +t ，要求三角函数的最值，需要先利用辅助角公式进行恒等变换，将目标式转化成余弦函数式4cos æèöøα-π3；然后再根据余弦函数的有界性求其最值.三、f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)型对于形如f ()x =k sin 2x +m sin x +n (k ≠0)、f ()x =k cos 2x +m cos x +n (k ≠0)的三角函数最值问题，一般采用换元法求解.首先令sin x =t 、cos x =k ，得到二次函数；再利用二次函数和正余弦函数的性质求最值.例3.求函数f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x的最小值.解：f ()x =sin æèöø2x +3π2-3cos x=-2cos 2x -3cos x +1，令cos x =t ，t ∈[-1,1]，得y =-2t 2-3t +1=-2æèöøt +342+178，当t =1时，函数最小值是-4.原函数可化成f ()x =k cos 2x +m cos x +n 的形式，于是通过换元，将三角函数式转化为关于t 的二次函数式，这样便可直接根据二次函数的性质求最值.在解题时，需重点关注二次函数的定义域，此时二次函数的定义域受三角函数cos x =t 的单调性和有界性影响.四、f ()x =λsin x +t μcos x +n 或f ()x =μcos x +nλsin x +t(λμ≠0)型对于此类三角函数最值问题，一般有两种解法.一余涛涛38解题宝典是解析法，将函数f ()x =μcos x +nλsin x +t化成f ()x =μλ.cos x +n μsin x +t λ，再用换元法，令k =cos x +n μsin x +t λ，这样就得到线性函数f ()k =μλ.k （λμ≠0）,即可根据线性函数的单调性求最值；或将k 看作是单位圆上的一个动点(sin x ,cos x )与定点(-t λ,-nμ)连线的斜率的最值，通过数形结合来解题.二是利用三角函数的有界性，通过恒等变形，将函数式转化成整式，再根据辅助角公式和三角函数的有界性来求最值.例4.求函数f ()x =sin x -1cos x +1的最大值.解法一：设P ()x ,y 是圆x 2+y 2=1上的动点，点A ()-1,1，k 是P 、A 两点所在直线的斜率，则PA 的直线方程是y -1=k (x +1),整理得kx -y +k +1=0.可知当直线与圆相切时，直线PA 的斜率最大，∵圆心到PA 直线的距离d ==1，解得k =0，∴f ()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法二：将y =sin x -1cos x +1(x ≠(2k +1)π)变形，可得y +1=sin x -y cos x =1+y 2sin (x +φ),即sin ()x +φ=y +11+y 2，而||||||||y +11+y2=|sin (x +φ)|≤1，得||y +1≤1，则y ≤0,即函数()x =sin x -1cos x +1的最大值是0.解法一主要是运用了解析法，将函数最值问题转化为求单位圆x 2+y 2=1上的动点P (x ,y )与定点A (-1,1)连线斜率的最值，通过数形结合求得最值.解法二主要是利用正弦函数的有界性，通过三角恒等变换，将函数式转化为sin ()x +φ，再根据正弦函数的有界性|sin (x +φ)|≤1，建立关于y 的不等式，从而求得y 的最值.五、f ()x =λsin x +nμsin x 型对于形如f ()x =λsin x +nμsin x 、f ()x =λcos x +n μcos x 、f ()x =λtan x +n μtan x(λ、μ、n 为常数)的三角函数最值问题，通常利用基本不等式来求最值.当不能使用基本不等式求解时，可设t =sin x ，将原函数变为f ()t =λt +n μt ，再利用对勾函数的单调性求最值.还可以利用导数法来求最值.例5.当π4≤x ≤π2时，求函数f ()x =cos x +1cos x 的最小值.解法一：函数可变形为f ()x =cos x +12cos x+12cos x ，由基本不等式得cos x +12cos x≥2，当且仅当cos x=12cos x （即x =π4）等号成立,∵12cos x ≥，∴f ()x.解法二：∵π4≤x ≤π2，∴0<cos x ≤,令t =cos x ，∴0<t ≤,∴f ()t =t+1t为减函数，∴当t =时，f ()t =t +1t 有最小值解法三：对函数求导数，可得f ′()x =sin 3xcos 2x，∵π4≤x ≤π2，∴f ′()x >0，由此可判断出函数f ()x =cos x +1cos x在区间[π4，π2]x =π4时，函数f ()x =cos x +1cos x 取得最小值.解法一主要运用了基本不等式a +b ≥2ab(a >0,b >0)，由于cos x +12cos x为两式的和，且其积为定值，在两式相等时可取等号，这就满足了运用基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等.解法二主要运用对勾函数f ()x =x +ax的性质.运用对勾函数的性质求最值，需熟记对勾函数的单调性和最值点.解法三主要运用到导数法来求得最值.可见，求解三角函数最值问题是有规律可循的.（1）一般是从三角函数的解析式入手，明确其结构特征，充分利用函数的性质与图象来寻找解题思路；（2）对于比较复杂的三角函数式，需要利用诱导公式、同角的三角函数关系式、两角和差公式、二倍角公式等进行恒等变换，将函数式化简或转化成单一的三角函数式来求最值；（3）在求三角函数最值时，可灵活运用换元法、基本不等式法、解析法、三角函数的有界性进行解题.掌握这些方法与规律就能有效提高求三角函数最值问题的效率.（作者单位：江苏省无锡市洛社高级中学）39。
三角函数最值问题(典型题型)
三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。
1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。
2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。
(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。
（word完整版）高中三角函数最值问题难题
（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。
解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。
解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。
三角函数最值问题常见解法
三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。
例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。
()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。
常用三角函数最值求解四法 三角函数公式大全表格
第1页共3页
本文格式为 Word 版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可。
解. 或者也可先用反解法,再用三角函数的有界性求解.
∴ f(x)的最小正周期为π,最大值为 1+■.
解 原函数可变形为 y=1+■.
说明 解这类问题先降幂是关键,一般常用以下四个三角公式来降
又|cosx|≤1,可直接得到 y≥3 或 y≤■.
本文格式为 Word 版，下载可任意编辑，页眉双击删除即可。
常用三角函数最值求解四法 三角函数公式大全表格
解 y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1 =-2(sinx-■)2+■.
三角函数最值问题是高考数学中常常涉及的问题,解这一类问题,对 三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高,一方面应充分利用三角函 数自身的特殊性(如有界性等),另一方面还要留意将求解三角函数最值问 题转化为求我们所熟知的函数(二次函数等)最值问题. 那么,常见的求三 角函数最值的方法有哪些呢?让我们一起看过来!
一、配方法
二、界值法
若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数,且它们的最高次数是 2 时,一般可通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处 理.
例 1 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值. 分析 题目中的三角函数名一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和 倍角,所以可先化简,使三角函数的名和角到达统一,然后配方求最值.
分析 式中有两个三角名,可通过角的变换转化为代数式求函数值域
最大值.
问题.
分析 在此题的函数表达式中,既含有正弦函数,又含有余弦函数,并
解 令 sinx+cosx=t,则 t=■sin(x+■),t∈[-■,■].
高三数学三角函数的最值问题分类例析
三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。
因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。
三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。
例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。
解三角形中的最值与范围问题(解析版)
专题5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．【分析】设220CDBD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设220CDBD m ==>， 则在ABD △中，2222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+−⋅∠=+−， 所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++−++−===−+++++++44≥=−当且仅当311m m +=+即1m =−时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m =−.1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系. 则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD −+−+∴===−≥−++++++++==当且仅当即时等号成立。
微专题三角函数与解三角形中最值问题
【分析】 在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【解析】∵直线 是曲线 的一条对称轴. ，又 . .∴平移后曲线 为 .曲线 的一个对称中心为 . .
，注意到 ，故 的最小值为 .故选：C.
例题9：某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
1．（2020·黑龙江高三）若函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像.则 在区间 上的最小值为（）
A． B． C． D．
【分析】注意平移是针对自变量x，所以 ，再利用整体换元法求值域（最值）即可.
【解析】由已知 ，
，又 ，故 ，
，所以 的最小值为 .
2．（2020·河北正定中学高三）已知函数 （ ）的部分图象如图所示，且 ，则 的最小值为（）
0
0
5
0
(Ⅰ)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(Ⅱ)将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图象．若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得 .数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得 ．
因为 的对称中心为 ， ．令 ，解得 ， ．
5．（2020北京高三）将函数 图像上的点 向左平移 ( )个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图像上，则
A． ， 的最小值为 B． ， 的最小值为
C． ， 的最小值为 D． ， 的最小值为
【解析】因为点 在函数 的图象上，所以 ，
又 在函数 的图象上，所以 ，则 或 ， ，得 或 ， ．又 ，故 的最小值为 ，故选A．
三角函数的最值求法总结
三角函数的最值（值域）一． 可化为 y=Asin (ωx+φ)+B 的三角函数 *关键：运用辅助角公式例1. 求下列函数的最值（1）f (x) = sin x +3cos x解：f (x) =2 ( 21sin x +23cos x ) =2 sin (x+3π) ∴f (x)max =2,f (x) min = －2如：加上条件 x ∈[－6,2ππ ] 解：―2π≤ x ≤6π , －6π≤ x +3π≤2π ∴ －21≤ sin (x +3π) ≤ 1 ∴ f (x) max = 2, f (x)min =－1.(2) f (x) =21sin 2x +23sin x cos x +1 解：f (x) =21.22cos 1x -+43sin2x+1=－45)62sin(21452sin 432cos 41+-=++πx x x 当sin(2x －)6π=1时，f(x)max =474521=+ 当sin(2x －)6π=－1时，f(x)min =－434521=+二、形如y=at 2+bt+c 二次函数的最值 *关键：换元例1． 求下列函数的最值(1) y = cos 2x +cos x －2解：y = (cosx+49)21- 令t =cosx , t ∈[－1,1]y = (t+)212－49 当t=－21即cosx=－21时，y min =－49 当t=1即cosx=1时，y max =0(2) y =sin x cos x + sin x + cos x解：令t =sin x +cos x , t ∈[－2,2]，sinx cosx =212-t y = 212-t + t =21( t+1)2－1 ∴当t =－1时，y min =－1当t=2时 y max =2122+三. 形如y=d x c b x a ++sin sin ( y =)cos cos dx c b x a ++ *关键：用y 表示cosx （sinx ）例1．y =2cos 1cos 3++x x 解：y cosx +2y =3cosx+1(y －3) cosx = 1－2y∵y ≠3 ( 提问：为什么？) ∴cosx =321--y y ∵x cos ≤1,321--y y ≤1 ∴－2≤y ≤34,即y min =－2,y max =34 另解：y =2cos 532cos 5)2(cos 3+-=+-+x x x ∵－1≤cosx ≤1, 1≤cosx+2≤3,－2≤3－2cos 5+x ≤34∴y max =34, y min =－2思考：y =xx cos 2sin 3 的最值 小结：1. 三角恒等式的灵活应用2. 掌握三角函数求最值的几种常用方法。
三角函数的最值问题全面版
思维点拨：
三角函数的定义域对三角函数有界性 的影响。
2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。
例2 P(66)
求函 yc数 oxtsixn co xst i2n x的最 . 值 2
练习: 是否存在实数a，
使得函数 ysi2nxacox s5a3
在闭区间
的最大值和最
例5、
a设
x [0, ，] 若方程
2
的取值范围。
3sin2(x)a
3
有两解，求
[思维点拨]：在用数形结合法解题
时，作图一定要准确。本题若改为
方程有一解，则 a 的范围又该怎样
呢？
三、课堂小结 （1） 求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一个角 的三角函数，③数形结合法④换元法，⑤基本不等式法。 （2） 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别 注意题设所给出的区间。 （3） 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及 代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。 （4） 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。
例如：设实数x、y满足x2 y2 1 则3x4y 的最大
值为______.
二 重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的 最值。 三 思维方式 1 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型 2 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是 关键的步骤。 3 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角 函数问题来解决。 四 特别说明
三角函数的最值问题
高三备课组
1一： 基础知识
1 、 配方法求最值
主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为 二次函数在闭区间上的最值问题，
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
第34讲 求三角函数最值(值域、范围)的基本方法(解析版)-高考数学二轮复习
第34讲 求三角函数最值（值域、范围）的基本方法一、知识与方法求三角函数的值域,必须熟练地根据题型确定求值域的方法,实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题,而三角函数的最大值、最小值与函数的值域,实质是一个问 题的两个方面.常见的方法如下.(1)利用sin x 和cos x 的有界性直接求值域或最值. (2)转化为二次函数,通过配方法求值域或最值.(3)把所给三角函数式变换成sin()y A x ωϕ=+的形式求值域或最值. (4)通过换元法转化为代数函数求值域或最值,求解时注意新元的范围.(5)解与tan x 有关的二次式时,利用tan y x =∈R 这一条件,使用判别式求值域或最值. (6)数形结合法,可以直观地找到最高点、最低点以及相应x 的值.或转化为利用其隐含 的几何意义求值域或最值.(7)基本不等式法(利用公式时注意构造“和为定值”或“积为定值",并贯彻“一正二定三相等”原则).二、典型例题【例1】(1)求函数2sin 22cos y x x =-的最值;(2)求函数13sin 3sin xy x+=+的最值,并求出相应的x 值;(3)设44sin 2sin cos cos y x x x x =+-,若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的最大值和最小值.【分析】第(1)问,化函数解析式为sin()y A x k ωϕ=++的形式,利用三角函数的有界性求最值.第(2)问,可运用万能公式转化为一元二次方程,使用判别式法,但计算量较大,故通常可运用“分离常数法”,通过讨论求最值;或运用“反解”转化为解不等式求值域从而获得最值.第(3)问,化简,利用指定区间内三角函数的有界性与单调性求最值.【解析】(1)由题意得2sin 22cos sin 2cos 21214y x x x x x π⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭,sin 21,4x π⎛⎫- ⎪⎝⎭故当sin 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,max 1y =当sin 214x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时,min 1y =.（2）【解法一】（分离常数法）13sin 93sin 8833sin 3sin 3sin x x y x x x++-===-+++ ∵1sin 1,x -∴当sin 1x =,即2()2x k k ππ=+∈Z 时,max1y =;当sin 1x =-,即2()2x k k ππ=-∈Z 时,mn1y =-.【解法二】（反解且利用正弦函数有界性) 以y 表示sin x 得13sin 3yx y -=-. 13|sin |1, 1.|31||3|3yx y y y -∴∴---两边平方得22(31)(3)y y --,即210y -,故11y -.∴当2()2x k k ππ=+∈Z 时,max1y =;当2()2x k k ππ=-∈Z 时,min 1y =-.(3)()()()442222sin 2cos sin sin 2cos sin cos sin sin 2y x x x x x x x x x =--=--+=-cos 224x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵30,2,2444x x ππππ∴--∴当242x ππ-=,即38x π=时,max y =当244x ππ-=-,即0x =时,man1y =-.【例2】(1)已知02a,求函数(sin )(cos )y x a x a =++的最值;(2)求函数2474sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值;(3)求()44332cos sin cos sin x x y x x-=-的最值,并求出相应的x 值.【分析】第（1）问，原函数解析式展开后同时含有sin cos x x +与sin cos x x ，运用关系 式2(sin cos )12sin cos x x x x +=+,若令sin cos t x x =+,则可转化为t 的二次函数求最值,但必须注意换元后新元t 的取值范围；第（2）问对解析式降幂转化为二次函数型，运用配方法”求最值;第(3)问,化简后可能会出现sin cos x x +的形式,采用“换元法”,并运用基本不等式求最值,注意运用基本不等式时必须符合“一正二定三相等",并据此进行分类讨论. 【解析】 （1）2(sin )(cos )sin cos (sin cos )y x a x a x x a x x a =++=+++.设sin cos x x t +=,则21||2,sin cos 2t t x x -∴=.∴222211()122t y at a t a a -⎡⎤=++=++-⎣⎦.当t a =-时,2min12a y -=,当t =时,2max 12y a =+. (2)(换元且利用配方法)2474sin cos 4cos4cos y x x x x =-+-()22222272sin 24cos 1cos 72sin 24cos sin 72sin 2sin 2(sin 21) 6.x x x x x x x x x =-+-=-+=-+=-+设sin 2,[1,1]u x u =∈-,由于2(1)6z u =-+在[1,1]-中的最大值为max z =2(11)610--+=,最小值为2min (11)66z =-+=.故当sin 21x =-,即3()4x k k ππ=+∈Z 时,max 10y =;当sin 21x =,即(4x k k ππ=+∈Z)时,min6y =.(3)(换元且利用基本不等式)()()22222cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )cos cos sin sin x x x x x x y x x x x x x+-+==-++22(cos sin )4(cos sin )4(cos sin )1sin cos 22sin cos 1(cos sin )x x x x x x x x x x x x +++==++++设cos sin (22)4t x x x tπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，代人(1)式,得241t y t =+.当0t =时,2401t y t ==+;当0t ≠时,24411t y t t t==++,当02t <时,4212yt =⋅,即1t =,也即cos 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,得2x k π=或2()2x k k ππ=+∈Z 时,max2y =.当20t <时,422()y t -=--,即1t=-,也即cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭2-,得2x k ππ=+或2()2x k k ππ=-∈Z 时,min2y =-.【例3】1,,a a θ>均为实数,试求当θ变化时,函数(sin )(4sin )1sin a y θθθ++=+的最小值.【分析】对于分式函数,分子为二次式、分母为一次式(反之亦可),则对二次式为一次式配方,通过換元法转化为函数(0)ay x a x=+>的形式,利用此“耐克”函数的单调性求原函数的最值. 【解析】2(sin )(4sin )sin (4)sin 43(1)(sin 1)21sin sin 1sin 1a a a a y a θθθθθθθθ+++++-===+++++++令sin 1t θ=+,则02t <.设3(1)()a gt t t-=+,则()gt 在(0,)+∞内的单调区间分界点为,即当t ∈时,()g t 为减函数;当)t ∈+∞时,()g t 为增函数. 当01)2<,即713a <时,()g t 的最小值为,此时原函数的最小值为2a +;2>时,则有(0,2]⊆.∴()g t 在该区间上的最小值为31(2)2a g +=. 即当73a >时,原函数的最小值为315(1)222a a a ++++=. 综上所述,当713a <时,原函数的最小值为2a +;当73a >时,原函数的最小值为5(1)2a +. 三、易错提示【例1】若22sin 2sin 2cos αβα+=,求22sin sin αβ+的最大值与最小值.【错解】由已知得221sin cos sin 2βαα=-,则有 ()222222111sin sin sin cos sin cos 1cos (cos 1)1222αβαααααα+=+-=+-=--+∴当cos 1α=时,22sin sin αβ+取得最大值1,当cos 1α=-时,22sinsin αβ+取得最小值1-.【评析及正解】最小值求错了,错的原因就是未注意正弦函数的有界性,即cos α的值并非是[1,1]-. 正确的解法如下： 由已知得221sin cos sin 2βαα=-,则有 ()222222111sin sin sin cos sin cos 1cos (cos 1)1222αβαααααα+=+-=+-=--+又由22sin 2sin 2cos αβα+=知222cos 2cos 12sin 0ααβ+-=,解之得1cos 1α.故22sinsin αβ+的最大值与最小值分别为1和2-.【例2】求函数21sin 1sin sin xy x x+=++的最大值和最小值.【错解】 原式可化为2sin(1)sin 10,y x y x y y +-+-=∈R .当0y =时,sin 1x =-,有意义. 当0y ≠时,2(1)4(1)0y y y ∆=---,即(31)(1)0y y +-.解得113y -且0y ≠.【分析】上述解法忽视了一个重要的细节,即根的判别式0∆只能保证关于sin x 的方程2sin (1)sin 10y x y x y +-+-=有宋根,但是不能保证实根在[1,1]-内,因此0∆只是方程2sin (1)sin 10y x y x y +-+-=有解的必要条件而不是充要条件,即由0∆求出的y 的范围有可能被扩大了. 【正确的解法】如下： 原式可化为2sin(1)sin 10,y x y x y y +-+-=∈R .当0y =时,sin 1x =-,有意义.当0y ≠时,2(1)4(1)0y y y ∆=---,即(31)(1)0y y +-,解得113y -,且0y ≠,因此可得,113y -.当13y =-时,原方程变为2sin 4sin 40x x ++=,此时sin 2[1,1]x =-∉-,13y ∴≠-当1y =时,sin 0[1,1]x =∈-,有意义. 另一方面,∵分子1sin 0x +,分母22131sin sin sin 024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭,∴21sin 01sin sin xy x x+=++.因而man 0y =∴函数21sin 1sin sin xy x x+=++的最大值为1,最小值为0. 四、难题攻略【例】(1)函数21()cos sin ,0,242a f x a x x x π⎡⎤=--++∈⎢⎥⎣⎦的最大值为2,求a 的值; (2)已知函数()2sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,若不等式()f x m 对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立,求实数m 的最大值. 【分析】第(1)问是已知三角函数的最值求参数的值,可将所给解析式化为关于cos x 的二次函数形式,借助二次函数的性质或图像求解,通过换元cos ,t x x =∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则新元[0,1]t ∈,则对称轴相对于区间[0,1],分类讨论的思想方法的应用是解题的重要环节.第(2)问是对题型的“辐射”和拓展,由不等式恒成立探求参数的最值. 【解析】 (1)函数()2211()cos sin cos 1cos 2424a af x a x x a x x =--++=--++-= 221cos 224a a a x -⎛⎫--++⎪⎝⎭令cos t x=,由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可知01t .则221(),0224a a ag t t -⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭1t(i)当02a ,即0a 时,22max1[()](0)02224a a a g t g -⎛⎫==--++= ⎪⎝⎭.解得6a =-.(ii)当012a <<,即02a <<时,2max 1[()]2224a a a g t g -⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 解得2a =-或3a =,均舍去.(iii)当12a ,即2a 时,22max 1[()](1)12224a a a g t g -⎛⎫==--++= ⎪⎝⎭. 解得103a =. 综上所述6a =-或103a =. (2)∵50,22666xx ππππ∴--,因而1sin 2 1.()26x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭2sin 22[1,4],16x m π⎛⎫-+∈∴ ⎪⎝⎭.即m 的最大值为1.五、强化训练1.(1)求函数sin 1()cos 2x f x x -=+的最大值和最小值;(2)求函数22sin sin 1cos sin 3y αααα++=--的最值.【解析】(1) 【解法一】设 sin 1()cos 2-==+x y f x x 得, cos 2sin 1+=-y x y x即 sin cos 21,)21ϕ-=++=+x y x y x y , 即sin()ϕ+=x ∵,1sin()1ϕ∈∴-+x x R , 即1化简得,2340+y y , 解得403-y . 故 ()f x 的最大值为 0, 最小值为 43-. 【解法二】由斜率的几何意义知,sin 1cos 2-+x x 表示单位圆221+=x y 上的点(cos ,sin )A x x 与 (2,1)-B 之 间的斜率.设过点 (2,1)-B 的直线 l 的方程为 : 1(2)-=+y k x , 即 210-++=kx y k .由直线 l 与单位圆有公共点得, 2|21|11+=+k d k , 解得 403-k ,故 ()f x 的最大值为 0, 最小值为 43-. (2) 【解法一】 (代数法）去分母并运用同角三角比函数可化为 (+y 1)2sin(1)sin 210αα++++=y y , 由于1≠-y , 因而可化为;21121sin .241α+⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭y y 由 1sin 1α-, 得 113sin 222α-+, 即得 210sin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭94∴12190414+-+y y . 解不等式得 3347--y . mn max 33,47∴=-=-y y【解法二】(几何法） 设点 ()22cos sin ,sin sin αααα-+A , 点 (3,1)-B , 则 y 表示AB 两点连线的斜率, 点 A 的轨迹方程是 22cos sin sin sin αααα⎧=-⎨=+⎩x y 即 1+=x y . 由于 22155cos sin sin ,1244ααα⎛⎫=-=-++∴- ⎪⎝⎭x x .故点A 的轨迹为线段 551:11,(1,2),,444⎛⎫⎛⎫+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭MN x y xM N . 如图所示. min max 3333,,744733,47=-=-∴--∴=-=-BN BM k k y y y2.如图4-15所示,某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD 内修建一个三角形隔离区以投放净化物质,其形状为三角形APQ ,其中P 位于边CB 上,Q 位于边CD 上,已知20m,6AB PAQ π=∠=,设PAB θ∠=,记()ABCDPAQS f S θ=正△,当()f θ越大,则污水净化效果越好.(1)求()f θ关于θ的函数解析式,并求定义域;(2)求()f θ的最大值,并指出此时θ的值. 【解析】(1)0,0,434πππθθ<<<-<.12420201100400,,sin ,()100cos 26cos cos cos 33cos cos 34cos cos ,,.3124ππθπθππθθθθπθθπππθθθ∆∴<<===⋅===⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭APQ AP AQS AP AQ f (2)22()2cos cos cos 2212sin 21,26363πππθθθθθθθθπ⎛⎫=+=+=++<+< ⎪⎝⎭f ,当2θ 62ππ+=, 即 6πθ=时, max ()3θ=f .3.已知函数()cos 2sin (0)f x x a x b a =++<. (1)若当x ∈R 时,()f x 的最大值为98,最小值为2-,求实数,a b 的值; (2)若2,1a b =-=,设函数()sin 2g x m x m =+,且当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()()f x g x >恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】(1) 22()2sin 1,1sin 1,0,48⎛⎫=--+++-< ⎪⎝⎭a a f x xb x a∴ 当 104-<a 时, 2maxmin 9()1,()1288=++==+-=-a f x b f x a b 解得 1=-a 或 9=a (舍去). ∵1,0=-=a b ; 当14<-a 且 max mn 9()1,()128=-+-==+-=-f x a b f x a b , 解得 2516=-a (舍去). 综上所述 1,0=-=ab . (2) 【解法一】2()2sin 2sin 2=--+f x x x , 当 2,63ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时, 22sin 2sin 2(sin 2)--+>+x x m x 恒成 立, 22sin 2sin 2sin 2--+<+x x m x . 令sin 2=+u x , 则51123.62,6223⎛⎫⎛⎫<-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u m u u u u .即 2,3<-∴m m 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解法二】2()2sin 2sin 2=--+f x x x , 当 2,63ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时， 22sin 2sin 2(sin 2)--+>+x x m x 恒成立. 令 sin =t x ,则2()2222=+++-h t t t mt m , 则()0<h t 在 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立, 则2(1)0,,3101,25⎧<⎧<-⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫< ⎪⎪⎪<⎝⎭⎩⎪⎩h m h m即 23<-∴m m 的取值范围是 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。
微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)
微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值． 【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==， 令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2． （Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=， 当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴； （2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值． 【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=， 令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈． 故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈． （2）由于[6x π∈，9)4π时， 所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1． 变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求： （1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？ 【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=， 故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]， 函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]， 图象开口向下，对称轴为32t =， 所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增， 所以当1t =时，函数取得最大值为5， 故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =． 故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---， 由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去； 当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=； （Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]， 又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-， 区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==． 变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122． 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++． 当sin 1x =时，43max y =， 当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[． 方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+， 当0t =时，0y =， 当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[． 故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-， 即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y， 则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ， 即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】 一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --． 故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+， 令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1． 故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=， 求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号， 故()f x 的最小值为4， 故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-， 由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增， 当1t =时，1y =，3t =时，13y =， 所以函数()f x 的最大值为1． 故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-， 故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-． 故选：B ． 二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是 ．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+， 故函数的值域为2121[]22+， 故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立， 令()|()|33cos3|F x f x x x ==+， 则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是 ．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为 ． 【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8． 故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是 ． 【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222． 故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是 ．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为 ．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立） 故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为 ．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立． 故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为 ．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是 ． 【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--． 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为 ．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=， 则函数的最小正周期223T ππω==． （2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈， 由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈， 得225312312k k x ππππ++，k Z ∈， 即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈． （3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π， 则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]， 由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]， 由二次函数性质可知：0a <， 当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -， 当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++， 令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈． （2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++， 又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称， 所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈， 因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+， 当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈， 即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==， 令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈， 故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈． （2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+， 由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈， 求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}． （3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]， 故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数 （1）求5()3f π的值 （2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值． 【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分） （2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=． （2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+． 根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -， 即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。
高中数学：三角函数的最值问题
高中数学：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题．下面通过几道高考题，对三角函数的最值问题作一归纳总结．一、转化为的形式形如的函数可以利用辅助角公式转化成的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型．例1、设函数（其中，），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求的值；（2）如果在区间上的最小值为，求的值；解：（1）．依题意，得，；（2）由（1）知．又当时，，故，从而在区间上的最小值，故．注意：（1）当自变量有范围限制时，与的范围也要相应地因受限制而缩小．（2）要熟悉下列公式：，，，，等等．另外，把求三角函数最值问题与向量结合起来，即在已知条件中不直接给出三角函数，而是给出几个向量，通过这几个向量的运算构造一个三角函数，再将这个三角函数转化为的类型．例2、已知向量，，．（1）若，求；（2）求的最大值．解：（1）∵，∴，即，．又，则．（2）由，，得，当时，取得最大值，即当时，取得最大值为．二、转化为二次函数的形式这类问题可通过换元法，将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题：例3、已知的三个内角，求当满足何值时取得最大值，并求出这个最大值．解：．∵，∴，∴令，则，原式可化为．当，即，时，原式取得最大值．求三角函数的最值，除了上面介绍的方法外，还有均值不等式法、单调性法、数形结合法等等．▍▍ ▍▍。
常见的三角函数最值问题的求法
常见的三角函数最值问题的求法三角函数是高中数学的主体内容，是高考的重点，也是每年必考的内容之一。
而最值是对三角函数知识的综合运用，在三角函数中占有及其重要的位置。
本文就常见的一些最值问题进行简单的总结，以期对各位能有所帮助。
1. 形如y=asina+b （或y=acosa+b ）型函数，借助于正余弦函数的有界性求解例1，求函数y=3sinx+2 当θ-π2 ≤x≤π2时的最值解：θ-π2 ≤x≤π2∴sinx∈［-1,1］∴y∈［-1,2］即函数的最大值为2，最小值为-12. 形如y=asinx+bcosx型问题，通常采用引入辅助角，借助于正余弦函数的有界性和单调性求解例2，当-π2≤x≤π2时，求函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值最小值解：原函数可化为f(x)=2sin(x+π3 )θ-π2 ≤x≤π2，∴-π6 ≤x+π3≤5π6∴-12≤sin（x+ π3）≤1∴当x= π6时f(x)取得最大值2，当x= -π6时，f(x)取得最小值-1。
3. 形如y=asina+bccosa+d 型函数，借助于图像或将其转化为第二种类型求解例3，求函数y=sinx-1cosx+2 的值域解：原式可化为：2y+1= 1+y2sin(x+Ф) ∴sin(x+Ф)=2y+1 1+y2∈［-1,1］∴y∈［-43,1］另解：本题还可以设点A（cosx,sinx）B(-2,1),其中点A的轨迹是以（0,0）为圆心，1为半径的圆，可转化为点B与圆上点连线的斜率问题，避开解含绝对值的不等式。
4. 同时含有sinx+cosx与sinxcos x型，此类题型借助于sin2a+cos2a=1将二者联系起来，采用换元的方法解题，但一定要应注意所换参数的取值范围例4，求函数y=sin2x+sinx+cosx 的最值解：令t=sinx+cosx∈［-2,2］，则sin2x= t2-1原式= t2+t-1 t∈［-2,2］∴y的最大值为1+2 最小值为-545. 形如y＝asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，此类题含sinx(或cosx)的二次项，可借助二次函数用配方法求出最值例5，求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值解：原式可化为y= (cosx-32)2-14对称轴cosx=32 不属于［-1,1］∴当cosx=1时，y取得最小值0容易出现的变式：y=asin2x+bcosx+c或y=acos2x+bsinx+c 型，此类题型较易转化成上例形式，本文不再举例。
三角函数最值问题的十种常见解法
三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。