高中数学2_1向量的概念及表示导学案苏教版必修4

2.1 向量的概念及表示

(1)向量的定义

既有大小又有方向的量称为向量．

(2)向量的表示方法

(3)向量的长度(模)

向量AB →的大小称为向量的长度(或称为模)，记作|AB →|.

预习交流1

有向线段是向量吗？

提示：有向线段不是向量，它只是向量的一种表现形式．

2．特殊向量及其表示

(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0.

(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．

(1)相等向量一定是共线向量吗？

提示：是．由共线向量与相等向量的概念知，共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．

(2)向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必共线，正确吗？

提示：不正确．共线向量还可以指表示向量的有向线段所在的直线平行，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线．

一、向量的有关概念

判断下列命题的正误：

(1)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

(2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .

(3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之，若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点必

能组成平行四边形．

思路分析：解答有关向量概念的题目，其关键是理解向量的大小和方向及向量的相关概念．

解：(1)正确，相等向量具有传递性；

(2)不正确，若b ＝0，则不共线的向量a ，c 也有a ∥0，0∥c ；

(3)不正确，结合平行四边形的定义可知：四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝DC →；反之

不成立，因为A ，B ，C ，D 四点可能共线．

给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；

⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a 与b 共线的是__________(填序号)．

答案：①③④

解析：根据相等向量一定是共线向量知①正确；

|a |＝|b |但方向可以任意，

∴②不正确；

a 与

b 反向必平行或重合，

∴③正确；

由|a |＝0或|b |＝0，得a ＝0或b ＝0.根据0与任何向量共线，得④正确；

两单位向量的模相等但方向不一定相同，

∴⑤不正确．

(1)向量是数与形的完美结合体，因此

在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)．

(2)相等向量具有传递性，但共线(平行)向量不具有传递性．

(3)注意向量与数量的区别，两者最大的差异在于前者具有方向性．后者可以比较大小，但向量一般不比较大小．

二、向量的表示方法

在一次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．

(1)作出向量AB →，BC →，CD →；

(2)求出|AD →|.

思路分析：作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解．

解：(1)向量AB →，BC →，CD →如图所示．

(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，

故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，

∴在四边形ABCD 中，AB CD .

∴四边形ABCD 为平行四边形．

∴AD →＝BC →.

∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.

在如图的方格纸中，按要求画出向量．

(1)|OA →|＝3，点A 在点O 正西方向；

(2)|OB →|＝32，点B 在点O 北偏西45°方向．

解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，相应各题的向量如图所示．

向量的画法及表示方法

(1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

(2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示．用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算．

三、共线向量与相等向量

如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．

(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量；

(2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量；

(3)若|AB →|＝3，求向量DE →的模．

思路分析：本题可依据相等向量与共线向量的定义求解．寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑，寻找共线向量只考虑方向即可，两向量方向相同或相反就是共线向量．

解：(1)与向量AB →相等的向量是ED →，DC →；

(2)与向量AB →共线的向量是DE →，DC →，CE →，BA →，ED →，CD →，EC →；

(3)∵D E →＝－A B →，且|AB →|＝3，

∴|DE →|＝|AB →|＝3.

如图所示，四边形ABCD 为平行四边形．

(1)与OA →的模相等的向量有多少个？

(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？

(3)分别写出与OA →共线，与AB →共线的向量．

解：(1)3个，分别是OC →，CO →，AO →.

(2)OC →，AO →.

(3)与OA →共线的向量有AO →，AC →，OC →，CO →，CA →.与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.