有理指数幂及其运算

第三章 基本初等函数

第1节 有理指数幂及其运算

【学习目标】

1.理解分数指数幂的概念.

2.掌握有理指数幂的运算性质.

3.会对根式、分数指数幂进行互化.

【学习重点】

1.分数指数幂的概念.

2.分数指数幂的运算性质.

【学习难点】

对分数指数幂概念的理解

引入课题

1． 复习初中整数指数幂的运算性质；

________

)(_______)(_______

===⋅n n m n m ab a a a

2． 初中根式的概念；

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根；

新课教学

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念

一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个 ，负数的n 次方根是一个 ．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．其中 ___________叫做根式，___________叫做根指数，___________叫做被开方数．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．

思考： n n a =a 一定成立吗？

结论：当n 是奇数时，a a n n =

当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n

思考：n a =一定成立吗？

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义 规定：

)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m

)1,,,0(11

*>∈>==-n N n m a a a a n m n m

n m

⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；

⑵根式与分数指数幂可以进行互化.

⑶“a>0”为什么？

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3．有理指数幂的运算性质

（1）r a ·s r r a a +=

),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>；

（3）s r r a a ab =)(

),0,0(Q r b a ∈>>． 4． 无理指数幂

一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα

>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【讲解例题】

例1求值：43

32132

)8116(,)41

(,100,8-

--.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式：

a a a a a a ,,3232⋅⋅ ， 43)(

b a +(式中a ＞0)

例3计算下列各式（式中字母都是正数）

.

))(2();

3()6)(2)(1(8834165

6131212132n m b a b a b a -÷-

.

))(4();

3()6)(2)(3(8834165

6131212132n m b a b a b a -÷-

43322

5

)12525)6();0()5(÷->a a a a

例4．计算

⑴ )()2(2222---÷+-a a a a

⑵ 2

1212

1

2121212121b a b

a b a b a -+++-

例5．已知52121=+-x

x ，求下列各式的值： ⑴ 1-+x

x ⑵ 2323-+x x ⑶ 2121--x x

例6．解下列方程 ⑴ 151243=-x ⑵ 1634=x

例7．从盛满1升纯酒精的容器中倒出31升，然后用水填满，再倒出3

1升，又用水填满，这样进行5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？

说明：本题还可以进一步推广。你能推广吗？

【课堂练习】

=0.1a __________( 0≠a ) =-n a __________( +∈≠N n a ,0 )

2． =n n a )(_________( +∈>N n n ,1 ) ⎩⎨⎧=为偶数）（为奇数）（n ___________

__________n a n n 3．根式的形式表示下列各式(ａ＞０) 3253

4351,,,-

-a a a a

4．分数指数幂表示下列各式： (1)32x （２）43)(b a +（ａ＋ｂ＞０） （３）32)(n m - （４）4)(n m -（ｍ＞ｎ） (5)56q p ⋅（ｐ＞０） (6)m m 3

5．化简［32)5(-］43

的结果为

（ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5

【课后练习】

1．（369a ）4（639a ）4等于（ ）

A ．a 16

B ．a 8

C ．a 4

D ．a 2

2．化简⨯53x x 3

5x x ×35

x x = 。

3．3231()()a a -⋅

=_________________ (x =_____________

4．计算：21

0319)41

()2(4)21

(----+-⋅- ＝ ．

5．计算：32

20111()3()23

22(2)------⋅-+--的结果为________________

6．若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ）

A ．6

B ．±2

C ．-2

D ．2

7．计算：

（1）4523231201()(2)(4)x y x y x y -------⋅-⋅

（2） 1

132910()(2)2527--