第5章 导热问题的数值解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������ ������ − ������������ = ������ ������ − ������������ + − +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������ 可得
改写,可得 d������ ������(������ − ������(������ − ������������ ������������ d2 ������ ������������ 2 d3 ������ = + − +⋯ 2 3 d������ ������������ 2 d������ 3! d������ ������(������ − ������(������ − ������������ = + ������(������������ ������������
导数的有限差分近似表达式 有限差分的数学基础是用差商代替微商, 即用有限差分代替导数。
������ ������ = ������ ������ ������������
d������ ������(������ + ������������ − ������(������ = lim d������ ������������→0 ������������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(1) 建立控制方程及定解条件
以一个常物性、没有内热源的矩形的稳态导热问题为例。
(第二章习题1)
二维稳态导热微分方程
������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2=0 2 ������������ ������������
������,������
������������+1,������ − 2������������,������ + ������������−1,������ ≈ Δ������ 2
������������,������+1 − 2������������,������ + ������������,������−1 ≈ Δ������ 2
������,������ ������,������
2 ������ ������ = 2������������,������ + ������ 2 2 ������������
+ ������ ������ 2
������,������
������, ������ + 1 ������ − 1, ������ ������, ������
������������ ������ 29 =������30
������31 ������32 ������, ������, ������, ������
数值求解的本质
数值解法是用物理问题所涉及的空间域和时间域内 有限个离散点(称为节点 )的物理量近似值来代替物 体内实际连续的物理量分布,将连续物理量分布函 数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题。 主要的数值解法 有限差分法 有限元法 边界元法
������������ ������������ = lim ≈ ������������→0 ������������ ������������
������
������
������ ������ + ������
������
利用泰勒级数可以得到更多形式的差商表示, 也可以看到其误差。
泰勒级数
������ 2 ������ 2 ������ + 2 2! ������������ ������,������
������ 2 ������ 2 ������ + 2 2! ������������ ������,������
������,������
������ 3 ������ 3 ������ + 3! ������������ 3
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������ ������ − ������������ = ������ ������ − ������������ + − +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������ 可得二阶导数的中心差分表达式 ������2 ������ ������(������ + ������������ − 2������(������ + ������(������ − ������������ 2 = + ������(������������ ������������ 2 ������������ 2
改写,可得 d������ ������(������ + ������������ − ������(������ ������������ d2 ������ ������������ 2 d3 ������ = − − −⋯ 2 3 d������ ������������ 2 d������ 3! d������ ������(������ + ������������ − ������(������ = + ������(������������ ������������
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
y
������
������4
������1
������2 ������3
������
边界条件
������ = 0,������ = ������1 ������ = X,������ = ������2 ������ = 0,������ = ������3 ������ = Y,������ = ������4
������ ������
������,������
节点物理量代数方程(离散方程)
向后差分
将下面两式相减
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(3)建立节点物理量代数方程
������
(1)泰勒级数法
(2)能量守恒法
������
������ ������
������ − 1, ������
������, ������ + 1
������, ������
������ + 1, ������
������������+1,������ − 2������������,������ + ������������−1,������ ≈ Δ������ 2 ������������,������+1 − 2������������,������ + ������������,������−1 ≈ Δ������ 2
������, ������ − 1
(1)泰勒级数法
������������+1,������ ������������−1,������ ������������ = ������������,������ + Δ������ ������������
������������ = ������������,������ − Δ������ ������������
向前差分
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������ ������ − ������������ = ������ ������ − ������������ + − +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
d������ ������(������ + ������������ − ������(������ − ������������ = + ������(������������ 2 d������ ������������
中心差分
将下面两式相加
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
������
������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(2) 区域离散化
������
������
������
������
������
������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
Δ������ 3 ������ 3 ������ − 3! ������������ 3
+⋯
������,������
+⋯
������,������
������,������
������������+1,������ + ������������−1,������
������ 2 ������ ������������ 2 ������ 2 ������ ������������ 2
第五章 导热问题的数值解法
ห้องสมุดไป่ตู้基本概念 分析解与数值解。
数值求解的本质
数值解法是用物理问题所涉及的空间域和时间域内 有限个离散点(称为节点 )的物理量近似值来代替物 体内实际连续的物理量分布,将连续物理量分布函 数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题。
数值求解的本质
用有限个网格节点代替连续的求解域 ������1 ������7 ������15 ������25 ������36 ������47 ������26 ������37 ������48 ������58 ������16 ������27 ������38 ������49 ������59 ������8 ������17 ������28 ������39 ������50 ������60 ������2 ������9 ������18 ������40 ������51 ������61 ������67 ������3 ������10 ������19 ������41 ������52 ������62 ������68 ������4 ������11 ������20 ������42 ������53 ������63 ������69 ������73 ������5 ������12 ������21 ������43 ������54 ������64 ������70 ������74 ������6 ������13 ������14 ������22 ������23 ������33 ������34 ������44 ������45 ������55 ������56 ������65 ������66 ������71 ������72 ������75 ������24 ������35 ������46 ������57
������ + 1, ������
������, ������ − 1
������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2=0 2 ������������ ������������
������ 2 ������ ������������ 2
������ 2 ������ ������������ 2
改写,可得 d������ ������(������ − ������(������ − ������������ ������������ d2 ������ ������������ 2 d3 ������ = + − +⋯ 2 3 d������ ������������ 2 d������ 3! d������ ������(������ − ������(������ − ������������ = + ������(������������ ������������
导数的有限差分近似表达式 有限差分的数学基础是用差商代替微商, 即用有限差分代替导数。
������ ������ = ������ ������ ������������
d������ ������(������ + ������������ − ������(������ = lim d������ ������������→0 ������������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(1) 建立控制方程及定解条件
以一个常物性、没有内热源的矩形的稳态导热问题为例。
(第二章习题1)
二维稳态导热微分方程
������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2=0 2 ������������ ������������
������,������
������������+1,������ − 2������������,������ + ������������−1,������ ≈ Δ������ 2
������������,������+1 − 2������������,������ + ������������,������−1 ≈ Δ������ 2
������,������ ������,������
2 ������ ������ = 2������������,������ + ������ 2 2 ������������
+ ������ ������ 2
������,������
������, ������ + 1 ������ − 1, ������ ������, ������
������������ ������ 29 =������30
������31 ������32 ������, ������, ������, ������
数值求解的本质
数值解法是用物理问题所涉及的空间域和时间域内 有限个离散点(称为节点 )的物理量近似值来代替物 体内实际连续的物理量分布,将连续物理量分布函 数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题。 主要的数值解法 有限差分法 有限元法 边界元法
������������ ������������ = lim ≈ ������������→0 ������������ ������������
������
������
������ ������ + ������
������
利用泰勒级数可以得到更多形式的差商表示, 也可以看到其误差。
泰勒级数
������ 2 ������ 2 ������ + 2 2! ������������ ������,������
������ 2 ������ 2 ������ + 2 2! ������������ ������,������
������,������
������ 3 ������ 3 ������ + 3! ������������ 3
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������ ������ − ������������ = ������ ������ − ������������ + − +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������ 可得二阶导数的中心差分表达式 ������2 ������ ������(������ + ������������ − 2������(������ + ������(������ − ������������ 2 = + ������(������������ ������������ 2 ������������ 2
改写,可得 d������ ������(������ + ������������ − ������(������ ������������ d2 ������ ������������ 2 d3 ������ = − − −⋯ 2 3 d������ ������������ 2 d������ 3! d������ ������(������ + ������������ − ������(������ = + ������(������������ ������������
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
y
������
������4
������1
������2 ������3
������
边界条件
������ = 0,������ = ������1 ������ = X,������ = ������2 ������ = 0,������ = ������3 ������ = Y,������ = ������4
������ ������
������,������
节点物理量代数方程(离散方程)
向后差分
将下面两式相减
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(3)建立节点物理量代数方程
������
(1)泰勒级数法
(2)能量守恒法
������
������ ������
������ − 1, ������
������, ������ + 1
������, ������
������ + 1, ������
������������+1,������ − 2������������,������ + ������������−1,������ ≈ Δ������ 2 ������������,������+1 − 2������������,������ + ������������,������−1 ≈ Δ������ 2
������, ������ − 1
(1)泰勒级数法
������������+1,������ ������������−1,������ ������������ = ������������,������ + Δ������ ������������
������������ = ������������,������ − Δ������ ������������
向前差分
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������ ������ − ������������ = ������ ������ − ������������ + − +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
d������ ������(������ + ������������ − ������(������ − ������������ = + ������(������������ 2 d������ ������������
中心差分
将下面两式相加
d������ ������������ 2 d2 ������ ������������ 3 d3 ������ ������(������ + ������������ = ������(������ + ������������ + + +⋯ 2 3 d������ 2! d������ 3! d������
������
������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
建立节点物理 量代数方程
求解代数方程 是否收 敛?
否
改变初始值
是
后处理
(2) 区域离散化
������
������
������
������
������
������
数值解法的基本步骤
建立控制方程 及定解条件 确定节点 (区域离散化)
Δ������ 3 ������ 3 ������ − 3! ������������ 3
+⋯
������,������
+⋯
������,������
������,������
������������+1,������ + ������������−1,������
������ 2 ������ ������������ 2 ������ 2 ������ ������������ 2
第五章 导热问题的数值解法
ห้องสมุดไป่ตู้基本概念 分析解与数值解。
数值求解的本质
数值解法是用物理问题所涉及的空间域和时间域内 有限个离散点(称为节点 )的物理量近似值来代替物 体内实际连续的物理量分布,将连续物理量分布函 数的求解问题转化为各节点物理量值的求解问题。
数值求解的本质
用有限个网格节点代替连续的求解域 ������1 ������7 ������15 ������25 ������36 ������47 ������26 ������37 ������48 ������58 ������16 ������27 ������38 ������49 ������59 ������8 ������17 ������28 ������39 ������50 ������60 ������2 ������9 ������18 ������40 ������51 ������61 ������67 ������3 ������10 ������19 ������41 ������52 ������62 ������68 ������4 ������11 ������20 ������42 ������53 ������63 ������69 ������73 ������5 ������12 ������21 ������43 ������54 ������64 ������70 ������74 ������6 ������13 ������14 ������22 ������23 ������33 ������34 ������44 ������45 ������55 ������56 ������65 ������66 ������71 ������72 ������75 ������24 ������35 ������46 ������57
������ + 1, ������
������, ������ − 1
������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2=0 2 ������������ ������������
������ 2 ������ ������������ 2
������ 2 ������ ������������ 2