20知识讲解 独立性检验的基本思想及其初步应用(文、理)

独立性检验的基本思想及其初步应用

【学习目标】

1. 了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用

2. 通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用. 【要点梳理】 要点一、分类变量

有一种变量，这种变量所取不同的“值”表示的是个体所属不同类别，称这种变量为分类变量。 要点诠释：

（1）对分类变量的理解。

这里的“变量”和“值”都应作为广义的“变量”和“值”进行理解。例如：“性别变量”有“男”和“女”两种类别，这里的变量指的是性别，同样这里的“值”指的是“男”和“女”。因此，这里所说的“变量”和“值”取的不一定是具体的数值。

（2）分类变量可以有多种类别。例如：吸烟变量有“吸烟”与“不吸烟”两种类别，而国籍变量则有多种类别。

要点二、2×2列联表

1. 列联表

用表格列出的分类变量的频数表，叫做列联表。 2. 2×2列联表

对于两个事件A ，B ，列出两个事件在两种状态下的数据，如下表所示：

这样的表格称为2×2列联表。 要点三：卡方统计量公式

为了研究分类变量X 与Y 的关系，经调查得到一张2×2列联表，如下表所示

统计中有一个有用的（读做“卡方”）统计量，它的表达式是：

22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++为样本容量）。

要点四、独立性检验

1. 独立性检验

通过2×2列联表，再通过卡方统计量公式计算2K 的值，利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 2. 变量独立性的判断

通过对2K 统计量分布的研究，已经得到两个临界值：3.841和6.635。当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：

①如果2K ≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的。

②如果2K ＞3.841时，有95%的把握说事件A 与事件B 有关； ③如果2

K ＞6.635时，有99%的把握说事件A 与事件B 有关； 要点诠释：

（1）独立性检验一般是指通过计算2K 统计量的大小对两个事件是否有关进行判断；

（2）独立性检验的基本思想类似于反证法。即在H 0：事件A 与B 无关的统计假设下，利用2K 统计量的大小来决定在多大程度上拒绝原来的统计假设H 0，即拒绝“事件A 与B 无关”，从而认为事件A 与B 有关。独立性检验为假设检验的特例。

（3）利用独立性检验可以考察两个分类变量是否有关，并且能较精确地给出这种判断的把握程度。 3．独立性检验的基本步骤及简单应用

独立性检验的步骤：

要推断“A 与B 是否有关”，可按下面步骤进行： （1）提出统计假设H 0：事件A 与B 无关（相互独立）； （2）抽取样本（样本容量不要太小，每个数据都要大于5）； （3）列出2×2列联表；

（4）根据2×2列联表，利用公式：22

()()()()()

n ad bc K a c b d a b c d -=++++，计算出2

K 的值；

（5）统计推断：当2

K ＞3.841时，有95％的把握说事件A 与B 有关；

当2

K ＞6.635时，有99％的把握说事件A 与B 有关； 当2K ＞10.828时，有99.9％的把握说事件A 与B 有关； 当2K ≤3.841时，认为事件A 与B 是无关的．

要点诠释：

① 使用2

K 统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5．

② 一定要弄清2

K 的表达式2

2

()()()()()

n ad bc a c b d a b c d χ-=++++中各个量的含义．

③ 独立性检验的基本思想类似于反证法．要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，

首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量2K 应该很小，如果由观测数据计算得到的2K 的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理．根据随机变量2K 的含义，由实际计算的2K ＞6.635，说明假设不合理的程度约为99％，即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99％．当2K ≤3.841时，认为两个分类变量是无关的．

【典型例题】

类型一、利用2×2列联表计算卡方

例1．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机地抽取了50名学生，

得到如下列联表：

根据表中的数据，计算K 【思路点拨】利用2K 公式计算

【解析】得到2

2

50(1320107) 4.84423272030

K ⨯⨯-⨯=

≈⨯⨯⨯ 【思路点拨】在利用22⨯列联表计算2

χ统计量作独立性检验时，要求表中的4个数据大于等于5，为此，在选取样本的容量时一定要注意这一点。

举一反三：

【变式1】研究两个事件A ，B 之间的关系时，根据数据信息列出如下的2×2列联表：

则以下2

χ计算公式正确的是（ ）

A ．22

112212211212()n n n n n n n n n χ++++-= B ．22

112211122122

()n n n n n n n n n χ++++-=

C ．22

111221221212()n n n n n n n n n χ++++-= D ．22

112112221212()n n n n n n n n n χ++++

-=

【答案】A

【变式2】由列联表

则随机变量2

χ≈ 。（精确到0.001） 【答案】由2K 公式计算得：7.469 类型二、独立性检验

例2． 近年来，随着我国经济的飞速发展，在生产车间中，由于保护不当，对生产工人造成伤害的事件也越来越多．某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业性皮肤炎（注：检查为阳性则为患皮肤炎），在生产季节开始时，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数的结果如下：

问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．

【思路点拨】 这是一个22⨯列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解判断。 【解析】 提出假设H 0：新防护服对预防工人患职业性皮肤炎无效．

将表中数据代入22

()()()()()

n ad bc K a c b d a b c d -=++++，得213.826K ≈，查表可知：P （2

K ≥10.828）

≈0.001，而13.826＞10.828，故有99.9％的把握认为新防护服对预防这种职业性皮肤炎有效． 【总结升华】 在掌握了独立性检验的基本思想后我们一般通过计算2

K 的值，然后比较2

K 的值与临界值的大小来精确地给出“两个分类变量”的相关程度．

举一反三：

【变式1】某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析。其中设备改造前生产的合格品有36件，不合格品有49件；设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件。根据上面的数据，你能得出什么结论？ 【答案】由已知数据得到下表