七章机器人的轨迹规划
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4
7.1.2 机器人任务规划的作用
机器人的规划程序只需要给定任务初始状态和最终状态的描 述。这些规划系统一般都不说明为实现一个算符所需的详细的 机器人运动。任务规划程序则把任务级的说明变换成操作机级 的说明。为了进行这种变换，任务规划程序必须包含被操作物 体、任务环境、机器人执行的任务、环境的初始状态和所要求 的最终(目标)状态等描述。任务规划程序的输出就是一个机器 人程序，在指定的初始状态下执行该程序后，就能达到所要求 的最终状态。
7
在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。
在第二种方法中，路径约束在笛卡尔坐标中给定，而关节驱 动器是在关节坐标中受控制的。因此，为了求得一条逼近给定 路径的轨迹，必须用函数近似把笛卡尔坐标中的路径约束变换 为关节坐标中的路径约束，再确定满足关节坐标路径约束的参 数化轨迹。
3、对于手臂运动提升点的要求同样也适用于终止位置运动的 下放点(即必须先运动到支承表面外法线方向上的某点，再慢 慢下移至终止点)。这样，可获得和控制正确的接近方向。
4、对手臂的每一次运动，都设定上述四个点：初始点，提升 点，下放点和终止点。
13
5、位置约束 (a) 初始点：给定速度和加速度(一般为零)； (b) 提升点：中间点运动的连续； (c) 下放点：同提升点； (d) 终止点：给定速度和加速度(一般为零)。
规划内容可能没有次序，但是一般来说，规划具有某个规划 目标的蕴含排序。例如，早晨起床后的安排。
缺乏规划可能导致不是最佳的问题求解，甚至得不到问题的 求解。
1
许多规划所包的步骤是含糊的，而且需要进一步说明（子 规划）。大多数规划具有很大的子规划结构，规划中的每个 目标可以由达到此目标的比较详细的子规划所代替。因此， 最终得到的规划是某个问题求解算符的线性或分部排序，但 是由算符来实现的目标常常具有分层结构。
❖ 轨迹规划既可在关节变量空间中进行，也可在笛卡尔空间进 行。对于关节变量空间的规划，要规划关节变量的时间函数及 其前二阶时间导数，以便描述操作机的预定运动。在笛卡尔空 间规划中，要规划操作机手部位置、速度和加速度的时间函数， 而相应的关节位置、速度和加速度可根据手部信息导出。
8
在笛卡尔空间进行轨迹规划的特点： ➢ 面向笛卡尔空间方法的优点是概念直观，而且沿预定直线路 径可达到相当的准确性。可是由于现代还没有可用笛卡尔坐标 测量操作机手部位置的传感器，所有可用的控制算法都是建立 在关节坐标基础上的。因此，笛卡尔空间路径规划就需要在笛 卡尔坐标和关节之间进行实时变换，这是一个计算量很大的任 务，常常导致较长的控制间隔。 ➢ 由笛卡尔坐标向关节坐标的变换是病态的，因而它不是一一 对应的映射。 ➢ 如果在轨迹规划阶段要考虑操作机的动力学特性，就要以笛 卡尔坐标给定路径约束，同时以关节坐标给定物理约束(例如， 每个关节电机的力和力矩、速度和加速度权限)。这就会使最 后的优化问题具有在两个不同坐标系中的混合约束。
把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法使 我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。
有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一个 问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态，而 只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一的 困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题，这 种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
➢ 4—3—4 轨迹 每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的轨
迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下放 点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点的 轨迹由四次多项式表示。
17
➢ 3—5—3 轨迹 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。
第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。
10
7.3 关节插值轨迹
一般说来，生成关节轨迹设定点的基本算法是很简单的：
t t0
循环：等待下一个控制间隔；
t t t h(t) t 时刻操作机关节所处的位置； 若 t t f ，则退出循环；
转向循环。
从上述算法可以看出，要计算的是在每个控制间隔中必须更
新的轨迹函数(或轨迹规划器)h(t)。因此，对规划的轨迹要提出
我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有传 感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。这 些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或布 局。例如， “积木世界” 。
3
目标状态
机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的：
机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智能 与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
四个限制。第一，必须便于用迭代方式计算轨迹设定点；第二，
必须求出并明确给定中间位置；第三，必须保证关节变量及其
前二阶时间导数的连续性，使得规划的关节轨迹是光滑的；最
后，必须减少额外的运动 (例如，“游移” )。
11
p +1个点
若某关节(例如关节 i )的关节轨迹使用 p 个多项式，则要满 足初始和终止条件(关节位置、速度和加速度)，并保证这些变 量在多项式衔接处的连续性，因而需要确定 3( p十1)个系数。
若给定附加的中间条件(例如位置)，则对每个中间条件需要 增加一系数。通常，可以给定两个中间位置，一个靠近初始位 置；另一个靠近终止位置。这样做，除了可以较好地控制运动 外，还能保证操作机末端以适当的方向离开起点和接近终点。
因此，对于连接初始位置和终止位置的每个关节变量，一 个七次多项式就足够了，或者用两段四次轨迹加一段三次轨迹 （4—3—4），也可以用两段三次轨迹加一段五次轨迹（3— 5—3），或五段三次轨迹（3—3—3—3—3）。
初始位置
2．速度(给定，通常为零)
பைடு நூலகம்
3. 加速度(给定，通常为零)
4. 提升点位置(给定)
5．提升点位置（与前一段轨迹连续）
6. 速度（与前一段轨迹连续）
中间位置
7．加速度（与前一段轨迹连续） 8. 下放点位置(给定)
9．下放点位置（与前一段轨迹连续）
10. 速度（与前一段轨迹连续）
11. 加速度（与前一段轨迹连续）
任务规划有三个阶段：建立模型、任务说明和操作机程序综 合。任务的世界模型应含有如下的信息:(1)任务环境中的所有 物体和机器人的几何描述；(2)所有物体的物理描述；(3)所有 连接件的运动学描述，(4) 机器人和传感器特性的描述。在世 界模型中，任务状态模型还必包括全部物体和连接件的布局。
5
7.2 机器人轨迹规划的一般性问题
➢ (3—3—3—3—3) 轨迹 对五段轨迹都使用三次多项式样条函数。
注意，上述讨论对每个关节轨迹都是有效的，即每个关节 轨迹可分割成三段或五段。
7.3.1 4—3—4 关节轨迹的计算
对于N个关节, 在每段轨迹规划中就要确定 N 条关节轨迹，
引用归一化时间变量 t 0,1 是方便的，它使我们能用同样的方
法处理每个关节每段轨迹的方程。时间变化范围均由 t 0 (各
段轨迹的初始时间)变到 t 1(各段轨迹的终止时间)。
18
定义下列变量：
轨迹是由多项式序列hi(t)构成的，这些多项式合起来形成关 节 j 的轨迹。在每段轨迹中关节变量的多项式用归一化时间表 示为:
19
这些关节轨迹分段多项式所应满足的边界条件为:
第七章 机器人的轨迹规划
7.1 机器人规划的定义和作用
7.1.1 概述
机器人学中的一个基本问题是为解决某个预定的任务而规划 机器人的动作，然后在机器人执行完成那些动作所需的命令时 控制它。这里，规划的意思就是机器人在行动前确定一系列动 作(作决策)，这种动作的确定可用问题求解系统来解决，给定 初始情况后，该系统可达到某一规定的目标。因此，规划就是 指机器人为达到目标而需要的行动过程的描述。
由约束条件数所对应的多项式系数的个数确定多项式的次数
12
为了控制操作机，在规划运动轨迹之前，需要给定机器人 在初始点和终止点的手臂形态。在规划机器人关节插值运动 轨迹时，需要注意下述几点： 1、抓住一个物体时，手的运动方向应该指向离开物体支承表 面的方向。否则，手可能与支承面相碰。
2、若沿支承面的法线方向从初始点向外给定一个离开位置 (提升点)，并要求手(即手部坐标系的原点)经过此位置，这种 离开运动就是允许的。如果还给定由初始点运动到离开位置 的时间，我们就可以控制提起物体运动的速度。
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人工
智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论机
器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运动
过程中的位移、速度和加速度。
轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表示
路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的操
作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。
9
在关节变量空间的规划有三个优点： (1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。
伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是，为 了避开轨迹上的障碍．常常又要求知道一些杆件和手位置。
由于面向笛卡尔空间的方法有前述钟种缺点，使得面向关节 空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节坐 标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是计 算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落在 拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔路 径的准确性会有损失。
20
4—3—4关节轨迹的边界条件如图示。
21
这些多项式对实际时间 t 的一阶和二阶导数。可写成
2
机器人规划分为高层规划和低层规划。自动规划在机器人 规划中称为高层规划。在无特别说明时，机器人规划都是指 自动规划。自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某个 特定的问题状态出发，寻求一系列行为动作，并建立一个操 作序列，直到求得目标状态为止。与一般问题求解相比，自 动规划更注重于问题的求解过程，而不是求解结果。
12. 位置(给定)
终止位置
13. 速度(给定，通常为零)
14. 加速度(给定，通常为零)
16
一种方法是为每个关节规定一个七次多项式函数
式中，未知系数 aj 可由已知的位置和连续条件确定。但用这种 高次多项式内插给定的结点也许不能令人满意，因为它的极值 难求，而且容易产生额外的运动。
另一种办法是将整个关节空间轨迹分割成几段，在每段轨迹 中用不同的低次多项式来插值。有几种分割轨迹的方法，每种 方法的特性各不相同。
在关节轨迹的典型约束条件之下，我们所要研究的是选择 一种 n 次(或小于 n 次)的多项式函数，使得在各结点(初始点， 提升点，下放点和终止点)上满足对位置、速度和加速度的要 求，并使关节位置、速度和加速度在整个时间间隔 [ t0, tf ] 中 保持连续。
15
➢ 规划关节插值轨迹的约束条件：
1. 位置(给定)
14
6、除上述约束外，所有关节轨迹的极值不能超出每个关节 变量的物理和几何极限。
7、时间的考虑
(a) 轨迹的初始段和终止段：时间由手接近和离开支承表面 的速率决定；也是由关节电机特性决定的某个常数。
(b) 轨迹的中间点或中间段：时间由各关节的最大速度和加 速度决定，将使用这些时间中的一个最长时间(即用最低速 关节确定的最长时间来归一化)。
由初始点运动到终止
路径约束
点，所经过的由中间
形态序列构成的空间 路径设定
曲线称为路径。这些
轨迹规划器
形态序列即是曲线上
的“点”。
动力学约束
6
规划操作机的轨迹有两种常用的方法： ➢ 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。 ➢ 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。
7.1.2 机器人任务规划的作用
机器人的规划程序只需要给定任务初始状态和最终状态的描 述。这些规划系统一般都不说明为实现一个算符所需的详细的 机器人运动。任务规划程序则把任务级的说明变换成操作机级 的说明。为了进行这种变换，任务规划程序必须包含被操作物 体、任务环境、机器人执行的任务、环境的初始状态和所要求 的最终(目标)状态等描述。任务规划程序的输出就是一个机器 人程序，在指定的初始状态下执行该程序后，就能达到所要求 的最终状态。
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在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。
在第二种方法中，路径约束在笛卡尔坐标中给定，而关节驱 动器是在关节坐标中受控制的。因此，为了求得一条逼近给定 路径的轨迹，必须用函数近似把笛卡尔坐标中的路径约束变换 为关节坐标中的路径约束，再确定满足关节坐标路径约束的参 数化轨迹。
3、对于手臂运动提升点的要求同样也适用于终止位置运动的 下放点(即必须先运动到支承表面外法线方向上的某点，再慢 慢下移至终止点)。这样，可获得和控制正确的接近方向。
4、对手臂的每一次运动，都设定上述四个点：初始点，提升 点，下放点和终止点。
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5、位置约束 (a) 初始点：给定速度和加速度(一般为零)； (b) 提升点：中间点运动的连续； (c) 下放点：同提升点； (d) 终止点：给定速度和加速度(一般为零)。
规划内容可能没有次序，但是一般来说，规划具有某个规划 目标的蕴含排序。例如，早晨起床后的安排。
缺乏规划可能导致不是最佳的问题求解，甚至得不到问题的 求解。
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许多规划所包的步骤是含糊的，而且需要进一步说明（子 规划）。大多数规划具有很大的子规划结构，规划中的每个 目标可以由达到此目标的比较详细的子规划所代替。因此， 最终得到的规划是某个问题求解算符的线性或分部排序，但 是由算符来实现的目标常常具有分层结构。
❖ 轨迹规划既可在关节变量空间中进行，也可在笛卡尔空间进 行。对于关节变量空间的规划，要规划关节变量的时间函数及 其前二阶时间导数，以便描述操作机的预定运动。在笛卡尔空 间规划中，要规划操作机手部位置、速度和加速度的时间函数， 而相应的关节位置、速度和加速度可根据手部信息导出。
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在笛卡尔空间进行轨迹规划的特点： ➢ 面向笛卡尔空间方法的优点是概念直观，而且沿预定直线路 径可达到相当的准确性。可是由于现代还没有可用笛卡尔坐标 测量操作机手部位置的传感器，所有可用的控制算法都是建立 在关节坐标基础上的。因此，笛卡尔空间路径规划就需要在笛 卡尔坐标和关节之间进行实时变换，这是一个计算量很大的任 务，常常导致较长的控制间隔。 ➢ 由笛卡尔坐标向关节坐标的变换是病态的，因而它不是一一 对应的映射。 ➢ 如果在轨迹规划阶段要考虑操作机的动力学特性，就要以笛 卡尔坐标给定路径约束，同时以关节坐标给定物理约束(例如， 每个关节电机的力和力矩、速度和加速度权限)。这就会使最 后的优化问题具有在两个不同坐标系中的混合约束。
把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法使 我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。
有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一个 问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态，而 只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一的 困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题，这 种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
➢ 4—3—4 轨迹 每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的轨
迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下放 点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点的 轨迹由四次多项式表示。
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➢ 3—5—3 轨迹 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。
第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。
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7.3 关节插值轨迹
一般说来，生成关节轨迹设定点的基本算法是很简单的：
t t0
循环：等待下一个控制间隔；
t t t h(t) t 时刻操作机关节所处的位置； 若 t t f ，则退出循环；
转向循环。
从上述算法可以看出，要计算的是在每个控制间隔中必须更
新的轨迹函数(或轨迹规划器)h(t)。因此，对规划的轨迹要提出
我们在阐述机器人自动规划问题时，机器人一般配备有传 感器和一组能在某个易于理解的现场中完成的基本动作。这 些动作可把该现场从一种状态或布局变换为另一种状态或布 局。例如， “积木世界” 。
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目标状态
机器人能得到的一个解答是由下面的算符序列组成的：
机器人规划是机器人学的一个重要研究领域，也是人工智能 与机器人学一个令人感兴趣的结合点。
四个限制。第一，必须便于用迭代方式计算轨迹设定点；第二，
必须求出并明确给定中间位置；第三，必须保证关节变量及其
前二阶时间导数的连续性，使得规划的关节轨迹是光滑的；最
后，必须减少额外的运动 (例如，“游移” )。
11
p +1个点
若某关节(例如关节 i )的关节轨迹使用 p 个多项式，则要满 足初始和终止条件(关节位置、速度和加速度)，并保证这些变 量在多项式衔接处的连续性，因而需要确定 3( p十1)个系数。
若给定附加的中间条件(例如位置)，则对每个中间条件需要 增加一系数。通常，可以给定两个中间位置，一个靠近初始位 置；另一个靠近终止位置。这样做，除了可以较好地控制运动 外，还能保证操作机末端以适当的方向离开起点和接近终点。
因此，对于连接初始位置和终止位置的每个关节变量，一 个七次多项式就足够了，或者用两段四次轨迹加一段三次轨迹 （4—3—4），也可以用两段三次轨迹加一段五次轨迹（3— 5—3），或五段三次轨迹（3—3—3—3—3）。
初始位置
2．速度(给定，通常为零)
பைடு நூலகம்
3. 加速度(给定，通常为零)
4. 提升点位置(给定)
5．提升点位置（与前一段轨迹连续）
6. 速度（与前一段轨迹连续）
中间位置
7．加速度（与前一段轨迹连续） 8. 下放点位置(给定)
9．下放点位置（与前一段轨迹连续）
10. 速度（与前一段轨迹连续）
11. 加速度（与前一段轨迹连续）
任务规划有三个阶段：建立模型、任务说明和操作机程序综 合。任务的世界模型应含有如下的信息:(1)任务环境中的所有 物体和机器人的几何描述；(2)所有物体的物理描述；(3)所有 连接件的运动学描述，(4) 机器人和传感器特性的描述。在世 界模型中，任务状态模型还必包括全部物体和连接件的布局。
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7.2 机器人轨迹规划的一般性问题
➢ (3—3—3—3—3) 轨迹 对五段轨迹都使用三次多项式样条函数。
注意，上述讨论对每个关节轨迹都是有效的，即每个关节 轨迹可分割成三段或五段。
7.3.1 4—3—4 关节轨迹的计算
对于N个关节, 在每段轨迹规划中就要确定 N 条关节轨迹，
引用归一化时间变量 t 0,1 是方便的，它使我们能用同样的方
法处理每个关节每段轨迹的方程。时间变化范围均由 t 0 (各
段轨迹的初始时间)变到 t 1(各段轨迹的终止时间)。
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定义下列变量：
轨迹是由多项式序列hi(t)构成的，这些多项式合起来形成关 节 j 的轨迹。在每段轨迹中关节变量的多项式用归一化时间表 示为:
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这些关节轨迹分段多项式所应满足的边界条件为:
第七章 机器人的轨迹规划
7.1 机器人规划的定义和作用
7.1.1 概述
机器人学中的一个基本问题是为解决某个预定的任务而规划 机器人的动作，然后在机器人执行完成那些动作所需的命令时 控制它。这里，规划的意思就是机器人在行动前确定一系列动 作(作决策)，这种动作的确定可用问题求解系统来解决，给定 初始情况后，该系统可达到某一规定的目标。因此，规划就是 指机器人为达到目标而需要的行动过程的描述。
由约束条件数所对应的多项式系数的个数确定多项式的次数
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为了控制操作机，在规划运动轨迹之前，需要给定机器人 在初始点和终止点的手臂形态。在规划机器人关节插值运动 轨迹时，需要注意下述几点： 1、抓住一个物体时，手的运动方向应该指向离开物体支承表 面的方向。否则，手可能与支承面相碰。
2、若沿支承面的法线方向从初始点向外给定一个离开位置 (提升点)，并要求手(即手部坐标系的原点)经过此位置，这种 离开运动就是允许的。如果还给定由初始点运动到离开位置 的时间，我们就可以控制提起物体运动的速度。
机器人轨迹规划属于机器人低层规划，基本上不涉及人工
智能问题，而是在机械手运动学和动力学的基础上，讨论机
器人运动的规划及其方法。所谓轨迹，就是指机器人在运动
过程中的位移、速度和加速度。
轨迹规划问题通常是将轨迹规划器看成“黑箱”，接受表示
路径约束的输入变量，输出为起点和终点之间按时间排列的操
作机中间形态（位姿, 速度和加速度）序列。
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在关节变量空间的规划有三个优点： (1) 直接用运动时的受控变量规划轨迹； (2) 轨迹规划可接近实时地进行； (3) 关节轨迹易于规划。
伴随的缺点是难于确定运动中各杆件和手的位置，但是，为 了避开轨迹上的障碍．常常又要求知道一些杆件和手位置。
由于面向笛卡尔空间的方法有前述钟种缺点，使得面向关节 空间的方法被广泛采用。它把笛卡尔结点变换为相应的关节坐 标，并用低次多项式内插这些关节结点。这种方法的优点是计 算较快，而且易于处理操作机的动力学约束。但当取样点落在 拟合的光滑多项式曲线上时，面向关节空间的方法沿笛卡尔路 径的准确性会有损失。
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4—3—4关节轨迹的边界条件如图示。
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这些多项式对实际时间 t 的一阶和二阶导数。可写成
2
机器人规划分为高层规划和低层规划。自动规划在机器人 规划中称为高层规划。在无特别说明时，机器人规划都是指 自动规划。自动规划是一种重要的问题求解技术，它从某个 特定的问题状态出发，寻求一系列行为动作，并建立一个操 作序列，直到求得目标状态为止。与一般问题求解相比，自 动规划更注重于问题的求解过程，而不是求解结果。
12. 位置(给定)
终止位置
13. 速度(给定，通常为零)
14. 加速度(给定，通常为零)
16
一种方法是为每个关节规定一个七次多项式函数
式中，未知系数 aj 可由已知的位置和连续条件确定。但用这种 高次多项式内插给定的结点也许不能令人满意，因为它的极值 难求，而且容易产生额外的运动。
另一种办法是将整个关节空间轨迹分割成几段，在每段轨迹 中用不同的低次多项式来插值。有几种分割轨迹的方法，每种 方法的特性各不相同。
在关节轨迹的典型约束条件之下，我们所要研究的是选择 一种 n 次(或小于 n 次)的多项式函数，使得在各结点(初始点， 提升点，下放点和终止点)上满足对位置、速度和加速度的要 求，并使关节位置、速度和加速度在整个时间间隔 [ t0, tf ] 中 保持连续。
15
➢ 规划关节插值轨迹的约束条件：
1. 位置(给定)
14
6、除上述约束外，所有关节轨迹的极值不能超出每个关节 变量的物理和几何极限。
7、时间的考虑
(a) 轨迹的初始段和终止段：时间由手接近和离开支承表面 的速率决定；也是由关节电机特性决定的某个常数。
(b) 轨迹的中间点或中间段：时间由各关节的最大速度和加 速度决定，将使用这些时间中的一个最长时间(即用最低速 关节确定的最长时间来归一化)。
由初始点运动到终止
路径约束
点，所经过的由中间
形态序列构成的空间 路径设定
曲线称为路径。这些
轨迹规划器
形态序列即是曲线上
的“点”。
动力学约束
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规划操作机的轨迹有两种常用的方法： ➢ 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。 ➢ 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。