重庆大学复变函数

2009 ~ 2010 学年 第 2 学期

一、 填空（每题4分，共20分） ⒈ 设121,3,2

i

z z i +=

=- 则12z z 的三角表示形式为( ) 1

2

z z 的指数表示形式为 ( )。 ⒉ 向量1oz ()111z x iy =+与2oz

()222z x iy =+互相垂直的充要条件为： 3. ()()()cos sin cos sin x x f z e x y y y ie y y x y =-++, 则 ()'

f

z = ( )

4. 01

lim

z z e z

→-= 5. ()

2221

1C

z z dz z -+=-⎰ ( ) (其中C 为2z =的正向) 二、 计算题（共52分）

⒈ 通过计算4

(5)(1)i i -+，求 114arctan arctan 5239

-的值.(8分) 2、设3

w z =

确定在从原点0z =起沿负实轴割破了的z 平面上,

且()w i i =-, 求()w i -的值. (10分)

3. 设函数2

2

2

2

()()f z x axy by i cx dxy y =+++++,问当常

数,,,a b c d 取何值时, ()f z 在复平面上处处解析? (12分)

4、求以22

u x xy y =+-为实部的解析函数()f z ,使满足()1f i i =-+.(12分)

5. 计算积分312(1)

z

e dz i z z πΓ-⎰ ，其中Γ为不通过点0与1的围线.（16分） 证明题（共22分） ⒈ ①求积分

2C

dz z +⎰

(其中:C 1z =), ②证明0

12cos 054cos d π

θ

θθ+=+⎰.（12分） 2. 设()f z 为非常数的整函数，又设R ，M 为任意正数. 试证明: 满足z R >且

()f z M >的z 必存在.（10分）

2007 ~2008 学年 第 1 学期

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1.设4

11i z i -⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

，则z =

A.1

B.1-

C.i

D.i - [ ] 2.在极坐标系下，满足关系式cos 2cos ()2

2

r π

π

θθθ<<-

<<

的点集是

A.无界的单连通区域

B.无界的多连通区域

C.有界的单连通区域

D.有界的多连通区域 [ ] 3.函数()Re f z z z =在0z =处

A 不连续 B.连续但不可导

C.可导但不解析

D.解析 [ ] 4.复数i i )1(+的主值为 A.i

k e

22ln )412(++-π B. i e

22ln 4+-π

C. π

)4

12(+-k e D.4

π-

e

[ ]

5.点z =∞是函数231

()2f z z z z z

=

++++的 A. 可去奇点 B. 三阶极点

C. 本性奇点

D. 一阶极点 [ ]

6.级数1n

n i n

∞

=∑的敛散性为

A. 绝对收敛

B. 条件收敛

C. 发散

D. 不确定 [ ] 7.设幂级数

∑∞

=-0

)2(n n

n z a

在10-=z 处收敛，则∑∞

=-0

)2(n n

n

z a 在1=z 处 A.条件收敛 B. 发散

C.绝对收敛

D.收敛性不确定 [ ] 8.点z a =是函数()f z 的n 阶极点，则()Re ,()f z s a f z '⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

A. 0

B. n -

C. n

D. 1 [ ]

9.设∑∞

==

)(n n n z a z Q 在点0=z 处解析，)

1()

()(-=

z z z Q z f ，则[]=0),(Re z f s

A.)0(Q

B. )0(Q -

C.)0(Q '

D. )0(Q '- [ ] 10.若)(t f 的傅立叶变换为)(ωF ，即F )()]([ωF t f =，则F [(2)]tf t =

A.2(2)F ω'

B. 1()22

F ω' C. ()42i F ω' D. ()22

i F ω

' [ ]

二、填空题（每小题2分，共10分）

1．满足关系式2z z i +=+的z =

2．1-=+z i z 所表示的曲线的直角坐标方程是 . 3．复数ln(33)i -= .

4．复数34i e --的辐角主值为 .

5．函数()sin 2f t t t =的拉普拉斯变换为 . 三、计算题（每小题8分，共48分）

1．设2z +的辐角为3π，2z -的辐角为56

π

，求.z 2. 设C 为不经过a 与a -的正向简单闭曲线，a 为不等于零的任何复数，试就a 与a -跟C

的各种不同位置，计算积分

22C

z

dz z a -⎰ 的值。 3．计算积分2

()C

z zz dz +⎰

，其中C 为圆周1z =上从1到1-的上半圆周。

4．验证22

(,)y

v x y x y

=

+为调和函数，并求出以z x iy =+为自变量的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，使得(2)0.f =

5．将函数2

31

)(2+-=

z z z f 在以1z =为中心的所有圆环域内展开成罗朗级数.

6．求函数2

1,

1

()0,

1

t t f t t ⎧-<⎪=⎨

>⎪⎩的傅氏变换及其积分表达式。 四、应用题（共15分）