狄拉克(Dirac)符号

< n | F | ψ >=< n | ϕ > < n | ϕ >= ∑ < n | F | m >< m | ψ >= ∑ Fnm < m | ψ >
m m
∧
注意 ： ）式是抽象的算符方程 ， ） ）式是具体表象中的算符方程， 意： （ 24 24） 程， （ 25 25） ， （ 26 26） < m | ψ >, < n | ϕ > 是算符作用前、后的态矢在 {| n >}表象中的分量， Fnm 也是具体表象中 的矩阵元。 1.4.2 连续谱 （1）算符作用在基矢 | λ > 上
（6）
n
这里 < B | A >=< A | B > * 1.2 基矢的狄拉克符号表示 1.2.1 离散谱
| n >, | λ > 仍为抽象的本征矢
力学量完全集的本征函数 {u n } 具有离散的本征值 {Qn }时，对应的本征矢 | 1 >, | 2 >,⋯ | n > 或 | nlm > 等，构成正交归一化的完全系，可以作为矢量空间的基矢，作为基矢可表示为 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ | 1 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ | 2 >= ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜⋮⎟ | n >= ⎜ 1 ⎟ ← 第 n 行 ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠ （8）
∧ ∧
） （29 29） （30 ） 30） ） （31 31）
< λ ′ | ϕ >=< λ ′ | F | ψ >
< λ ′ | ϕ >= ∫ | < λ ′ | F | λ > dλ < λ | ψ >= ∫ Fλ ′λ < λ | ψ > dλ 例如 < x ′ | ϕ >=< x ′ | F | ψ >= ∫ Fx′x < x | ψ > dx 即为 x 表象中方程
ψ > 与 < ψ 的分量互为共轭复数
* * < ψ = a1* , a 2 , ⋯, a n , ⋯
(
)
（5）
< ψ 的集合构成左矢空间 引入狄拉克符号后，任意两个态矢 A >, B > 的内积定义为同一表象下伴随空间中相应分 量之积的和
* * < B | A >= a1b1* + ⋯⋯ + a n bn = ∑ a n bn
∧ �� p2 1 � � � − ℏ p⋅r � � + U (r ),U ( p ) = U ( r ) e ⋅ dr , ϕ ( p, t ) 是动量表象中的波函数 3 ∫ 2µ (2πℏ)
i
解：因 利用 �
� � ϕ ( p ) =< p | ψ >=
� � − p⋅ r 1 � � ℏ e ⋅ψ (r )dr 3/ 2 ∫ (2πℏ)
∧ ∧
F | λ >= ∫ | λ ′ > dλ ′ <λ ′ | F | λ >= ∫ Fλ ′λ | λ ′ > dλ ′
∧
） （27 27） ） （28 28）
Fλ ′λ =< λ ′ | F | λ >
4
（2）算符作用在态矢 | ψ > 上（算符方程）
∧
F | ψ >=| ϕ >
具体表象下
n
px 1 < x | p >= eℏ 1/ 2 (2πℏ)
） （16 16）
展开系数 a n =< n | ψ > 构成 | ψ > 在 | n > 表象中的分量，也可写成
3
⎛ a1 ⎞ ⎛ < 1 | ψ > ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜ < 2 | ψ > ⎟ ⎟ | ψ >= ⎜ ⋮ ⎟ = ⎜ ⋮ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎜ < n |ψ > ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⋮ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 相应的左矢 < ψ |= a1* 1.3.2 连续谱 | ψ >= ∫ | λ > dλ < λ | ψ > 或 < ψ |= ∫ < ψ | λ > dλ < λ | < ψ |= ∑ < ψ | n >< n |
F | m >= ∑ | n >< n | F | m >= ∑ Fnm | n >
n n
∧
∧
（22 ） 22）
算符矩阵元
∧
Fnm =< n | F | m >
∧
） （23 23）
（2）算符作用在态矢上（算符方程）
F | ψ >=| ϕ >
即有 或
∧
） （24 24） ） （25 25） （26 ） 26）
(
)
（3）
+ + 注意：ψ A ψ B ≠ψ B ψA
1.1.3 狄拉克符号的引入 ， 态空间中的 ψ 与ψ + 在形式上具有明显的不对称性 在形式上具有明显的不对称性， 狄拉克认为它们应该分属于两个不同
1
的空间 ⇒ 伴随空间 引入符号 > ，称为右矢 Bra 矢（ Bracket 括号 [Ket 矢， 矢，Bra 矢（Bracket < > ）]
……
（7）
（1）基矢具有正交归一性
< m | n >= δ mn
2
（2）展开定理 两边同时左乘 < m | 得
| ψ >= ∑ a n | n >
n
（9）
< m | ψ >= ∑ a n < m | n > = ∑ a n δ mn = a m
n n
） （10 10）
说明展开系数是态矢在基矢上的分量 （3）封闭性 把 a n =< n | ψ > 代入 | ψ > 中得， | ψ >= ∑ | n > < n | ψ >
ψ = ∑ an u n
n
（1）
，态矢ψ 在所有基矢 {u n } 上的分量 {a n } 构成了态矢在 {u n } 这个 上的分量， a n 即为态矢 ψ 在基矢 u n 上的分量 表象中的表示（矩阵） ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ψ =⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎝ ⎠
n
所以 称为基矢的封闭性 1.2.2 连续谱
∑ | n > < n |= 1
n
） （11 11）
※狄拉克符号运算中非常重要的关系式
当力学量本征值构成连续谱 λ 时，对应的基矢记为 {| λ >} （1）正交归一性 （2）展开定理 < λ | λ ′ >= δ (λ − λ ′) | ψ >= ∫ a λ | λ ′ > dλ ′ ） （12 12） ） （13 13） ） （14 14） ） （15 15）
i
） （35 35）
∫ | p′ > dp ′ < p′ |= 1
�
�
34 ）可变为 式（ 式（34 34）可变为
5
狄拉克符号（ Dirac ） 狄拉克符号（Dirac Dirac）
1 狄拉克符号 ，前述波动力学和矩阵力学两种方法 ，其共同特点是 ：与体系有关的 量子体系状态的描述 量子体系状态的描述， 前述波动力学和矩阵力学两种方法， 其共同特点是： 所有信息都有波函数给出；极为重要的是波函数可以写成各类力学量的本征函数的线性组合 ， 而展开系数模平方具有力学量概率的含义。 ：能否不从单一角度描述体系 ，而用统一的方式全面概括体系的所有性质及概念？狄 问题 问题： 能否不从单一角度描述体系， -态矢，并引进了一套 “狄拉克符号 ” 拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量 拉克从数学理论方面，构造了一个抽象的、一般矢量---态矢，并引进了一套 态矢，并引进了一套“ 狄拉克符号” ， 简洁、灵活地描述量子力学体系的状态。 1.1 狄拉克符号的引入 1.1.1 态空间 ） 任何力学量完全集的本征函数系 {u n ( x)}作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例 作为基矢构成希尔伯特空间（以离散谱为例） ， 微观体系的状态波函数 ψ 作为该空间的一个态矢，有
∧
ϕ ( x, t ) = F ( x,−iℏ
1.4.3 算符对左矢空间的作用
∧
∂ )ψ ( x, t ) ∂x
∧ ∧
（ 1 ）算符对左矢空间的态矢从后向前作用，即 < ψ | F ； F | ψ > 的共轭式应该是 < ψ | F ，若考虑算符的厄米性 F + = F
∧ ∧ ∧ + ∧ ∧
则有
∧
( F | ψ >) + =< ψ | F + =< ψபைடு நூலகம்| F （2）由 < B | A >=< A | B > * 可得 < A | F | B > * =< B | F | A > 最后列出几个常用的公式
− px 1 e ℏ ，同理 1/ 2 (2πℏ)
i
< x | n >= u n ( x)
< p | n >= u n ( p )
< n | n >= 1
i
< x | nlm >= ψ nlm (r , θ ,ϕ ) 1.3 态矢在基矢下的形式 1.3.1 离散谱 基矢为 {| n >}，态矢记为 | ψ > 或 | A >, | B >, ⋯ ，用基矢展开 | ψ >= 1⋅ | ψ >= ∑ | n > < n | ψ >
∧ ∧ ∂ )ψ ( x, t ) ↔< x | F | ψ > ∂x ∧ ∧
） （32 32）
） （33 33）
F ( x , − iℏ
λψ ( x) ↔ λ < x | ψ > ψ ( x) = ∑ a n u n ( x) ↔< x | ψ >= ∑ < x | n >< n | ψ >
n n
* * * ψ + = (a1 , a2 , ⋯, an , ⋯)
（2）
微观体系所有可以实现的状态都与此空间中某个态矢相对应，故称该空间为态空间 ： ， ； 注意 注意： （1） 式中的 u n 只是表示某力学量的本征态 只是表示某力学量的本征态， 而抛开其具体表象 而抛开其具体表象； （2） 式的右方是 ψ 的 {u n } 表象 1.1.2 态空间中内积（标积）的定义 设态空间中两个任意态矢 ψ A 与 ψ B 在同一表象 {u n } 中的分量表示各为 {a n } 与 {bn }，则两 态矢内积的定义为 ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ + * * * * ψ Aψ B = a1 , a 2 , ⋯ , a n , ⋯ ⎜ ⋮ ⎟ = ∑ a n bn ⎜ ⎟ n ⎜ bn ⎟ ⎜⋮⎟ ⎝ ⎠
aλ =< λ | ψ >
（3）封闭性
∫ | λ > dλ < λ | = 1
注意 ： | n >, | nlm >, | λ > ⋯ 只表示某力学量抽象的本征矢 ，例如 | x ′ > 只表示本征值为 x ′ 的力 注意： 只表示某力学量抽象的本征矢， 学 量x的 本征 矢， 而具体的基矢形式为： 学量 的本征 矢，而具体的 基矢形式为： ，动量 表象中 本征矢，而具 体的基矢 形式为： x 表象中 < x | x ′ >= u ( x) = δ ( x − x ′) ，动量表象 表象 中 < p | x >= u p ( x) =
， ψ > 的集合构成右矢空间 ， ψ > 在右矢空间中的分量表 微观体系的一个量子态 ψ 用 ψ > 表示 表示， 的集合构成右矢空间， 示可记为矩阵 ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ψ >=⎜ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⎝ ⎠
（4）
约定：右矢空间的态矢 ψ ,ψ A ,ψ B ,⋯ 一律用字母 ψ >, ψ A >, ψ B >, ⋯ 表示 力学量的本征态矢一律用量子数 1 >, 2 >, ⋯ n >, nlm >, ⋯ ，或连续本征值 λ > 表示 引入符号 < ，称为左矢 ，但在同一表象中 微观体系的一个量子态 ψ 也可用 < ψ 表示 表示，
* an = ∫ u n ( x )ψ ( x )dx ↔< n | ψ >= ∫ < n | x > dx < x | ψ >
，薛定谔方程 iℏ 例题 1 求证在动量表象中 求证在动量表象中，
∧ ∂ ）可变为微分 —积分方程 34） 可变为微分— | ψ >= H | ψ >（34 ∂t
∂ p2 � � � � � � iℏ ϕ ( p, t ) = ϕ ( p, t ) + ∫ U ( p − p ′)ϕ ( p ′, t )dp ′ ∂t 2µ 式中 H =
n
） （17 17）
） （18 18） ） （19 19）
(
* * a2 ⋯ an ) = (< ψ | 1 > < ψ | 2 > ⋯ < ψ | n > )
） （20 20） ） （21 21）
1.3.3 注 意 ： | ψ > 只 表 示 一 个 抽 象 的 态 矢 ， 只 有 < x | ψ >= ψ ( x, t ) 为 x 表 象 的 波 函 数 ； < n | ψ >= a n 为 | n > 表象的波函数 1.4 线性厄米算符的作用 1.4.1 离散谱 （1）算符作用在基矢上