4估计量的评价标准

随机误差
系统误差
均方误差准则：估计量的均方误差越小越好
ˆ ) D( ˆ ) [b( ˆ )]2 记号： r(
常用的几条标准是： 1．无偏性 2．有效性
3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
一. 无偏性
ˆ ˆ( X , , X ) 设 定义： 1 n 是 的一个估计， 的参数
2
(均方误差)
所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有 效性这一概念 .
设 定义：
ˆ , ˆ 1 2
是 的两个无偏估计， 的参数
空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
ˆ ) D( ˆ) D( 1 2
且至少有一个 ∈Θ使得上述不等号严格成立， ˆ 则称 ˆ1比 2 有效。
例.
设 X1, X2 , …, Xn 是取自某总体的样本，记总体均值 ˆ1 X1 , 为 ，总体方差为 2，则 的 ˆ2 都是 X 无偏估计，但 ˆ1 ) 2 , ˆ2 ) 2 / n D( D(
ˆ 2 比 ˆ1 有效。这表明用全部数据 显然，只要 n>1， 的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。
三. 相合性
ˆ ˆ( X , , X ) 设 定义： 1 n 是 的一个估计， 的参数
空间为Θ，若对任意的∈Θ，有 则称 ˆ是 的相合估计量。
P ˆ
2.2 估计量的评价标准
问题的提出 从前面可以看到, 对于同一个参数, 用不同的 估计方法求出的估计量可能不相同, 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.
这就需要讨论以下问题:
(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?
(2)评价估计量的标准是什么?
均方误差：
ˆ , ) E( ˆ )2 M ( ˆ ) ( E ˆ )2 D(
解： 的矩估计和极大似然估计分别为：
ˆ 2X
ˆ X L ( n)
ˆ 容易验证 E 所以 的矩估计是无偏估计
ˆ 而 E L


xpX( n ) ( x )dx
0 x 其它
x n 1 1 n n 1 pX ( n ) ( x ) nFX ( x ) pX ( x ) 0
空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
ˆ) E (
则称 ˆ是 的无偏估计，否则称为有偏估计。
对任一总体而言，样本均值是总体均值的无 偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点 矩Ak是总体k阶原点矩 k的无偏估计。 但对中心矩则不一样，譬如，由于
E ( S0 2 ) n 1 2 n
所以，样本方差S02不是总体方差 2的无偏估计
对此，有如下两点说明：
(1) 当样本量趋于无穷时，有E(S02) 2， 我们称 S02 为 2的渐近无偏估计。
Baidu Nhomakorabea
(2) 修正的样本方差S2 为 2的无偏估计。
例. 设总体X~U[0, ]，讨论 的矩估计和极大 似然估计的无偏性 (书P349例3)
其中
解得
ˆ E L
n n1
所以 的极大似然估计不是无偏估计
二. 有效性
一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 ˆ1, ˆ2
ˆ 都是 的无偏估计，我们可以比较 E (q 1
q) 2
ˆ E (q 2
由于
q)2 的大小来决定二者谁更优 . ˆ) D(q 1 ˆ) D(q 2 ˆ q) 2 E (q 1 ˆ E (q 2 q)