非线性计算理论

du 1 dv x dx 2 dx
2
取桁架单元的形函数矩阵为:
x 0 1 l N x 0 1 l x l 0 0 x l
那么单元上任意点的位移可写成:
代入应变关系式中可得: d x B0 BL d
e Fe k T
在索端力未知的情况下,首先采用迭代法求算索端力,然后求取单 元切线刚度矩阵.
11.4 桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论 11.4.1 稳定函数与几何刚度 建立如图所示压杆的挠曲平衡微分方程:
EIy
''
Mi M j l
x M i N ( y x)
k k d dP
t t 0

11.2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围
11.3 桥梁结构分析常用单元的切线刚度矩阵 11.3.1 平面桁架单元的切线刚度矩阵 由前面的讨论可知，T.L列式下，单元切线刚度矩阵可以分为 三个部分，即弹性刚度矩阵0[k]0 、 初位移刚度矩阵0[k]L、 和几何刚度矩阵0[k]σ；而U、L列式下，单元切线刚度矩阵 只有t[k]0 和t[k]σ; 考虑大位移条件,桁架单元轴向应变可写为:
11.5 非线形方程组的求解 11.5.1 求解方法简介 1）直接求解法： 基于全量列式的求解过程；
2）增量法 将整个荷载变形的过程看做一连串 增量段，每一增量段中结构的荷载 反应近似为线形，不断累加其位移增量。 一阶自校正的增量法。
11.5 非线形方程组的求解
3）Newton-Raphson Method：
V
其中应变矩阵可进一步写成:[B]=[B0] +[BL] 将平衡方程写成增量形式:
V
d B dV B d dV d f
T T V
T T 0
上式左边第一项可写成:
V
d B dV d BL dV k d
2 2 ' i j 2 H 2 b1' i j b2
如此可得单元的增量平衡微分方程 S k T
11.4.2 弯矩对轴向刚度的影响
11.4.3 活载几何非线性分析
活载几何非线性分析,会遇到如下问题: (1)线性叠加原理失败,无法再用传统的影响线加载法进行活载分析. (2)确定影响区本身是一个非线性问题,仅用恒载初始状态计算活载, 会带来影响区范围改变和不正确载位引起的误差. (3)单位强迫变位产生的等效力很大,用机动法求解影响区将破坏指 定状态结构影响区的真实形状.
11.5 非线形方程组的求解 11.5.3 收敛准则 一般依结构的不平衡力向量和位移增量向量来判断迭代的收敛性。 向量的大小一般用该向量的范数表示：
例题
11.6 小结
1）介绍了 T.L法和 U.L法求解非线性问题的思想， 2）通过平面桁架单元的推导，说明了T.L 列式和U.L列式的同一性； 3）几何非线性几个问题的讨论； 4）求解非线性方程的基本方法和收敛准则。
进一步求该压杆单元的切线刚度矩阵: 通过 k Fci Fci q S i S i q ij d cj q d cj ucj q ucj 由此可得单元的切线刚度矩阵:
G12 C 1 2 H G G k T C 2 12 2 H G1 H ' G1 C1' i C 2 j C 2 G1 H G2 H 2 H ' G2 C 2 i C1' j G1 G2 2H 2 G2 C 1 2 H G2 H
sin 2 cos C1 2 2 cos sin 2 sin C2 2 2 cos sin
b1
C1
C 2 C 2 2 8 2 q
b2
而
C2 8C1 C 2
Nl 2 q 2 EI
S T F 1 i y 0 i l Fxi ln EA q T j Fy j S0 qS0 T j Ti h Fyi EA 2 q T j Ti 1 Q Q T j Ti 2 EAq q


对上式取全微分后,可得到索端力和位移的增量关系:
x x sin 1 M j x sin L M i x L y 1 x N L sin N sin L
其解为: 当N为压力时:
式中: l
N EI
引入边界条件: 由此可得到压杆的割线刚度矩阵:
Mi
y ' x 0 i
y' x l j
式中:
EI C1 i C 2 j l EI C 2 i C1 j Mj l e N EA C b l
Cb b1 i j b2 i j
2 2
其中
1 B0 l 1 l 0 1 0 , l
u N v
BL 0


1 1 0 l l
(v j vi )
由此,代入前式[k]0 、 [k]L、 [k]σ的表达式中可得在T.L列式下,建立在变形前 的初始状态下的单元局部坐标下的切线刚度矩阵:
第十一章 桥梁结构几何非线性计算理论 11.1 概 述 1.几种非线性问题 工程上的非线性问题主要分为材料非线性、 几何非线性、接 触非线性三类.
2.几种几何非线性问题—两种几何非线性问题 大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变即有限变形理 论两种.
3.大跨度桥梁结构几何非线性效应 1)单元初内力对单元刚度矩阵的影响; 常采用单元几何刚度矩阵的方法来考虑。一般指轴力对弯 曲刚度的影响，即初应力引起结构刚度的变化对后期荷载 的影响。 2)大位移对建立结构平衡方程的影响;
11.3.2 平面柔索单元的切线刚度矩阵
一基本假定 (1)柔索仅能承受张力而不承受弯曲内力; (2)柔索仅受索端集中力和沿索长均匀分布的荷载; (3)柔索材料符合虎克定律; (4)局部坐标系取在柔索荷载合力平面内. 柔索单元如右图:由平衡方程和 几何关系,可导得图中各参量之 间的关系,在此基础上,易导出各 力素与几何变量之间的关系
k T k 0 k L k
U.L列式下的单元切线刚度矩阵:
k T T T k 0 T k 0 k L
由此说明T.L列式与U.L列式的单元切线 刚度矩阵具有等价性.
11.3.3 平面梁单元的切线刚度矩阵：
11.3.4 算例：
11.3.4 算例：
11.4.3 几何非线性调值计算
桥梁结构在设计和施工过程中常常遇到下列问题： (1) 设计阶段：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整个 结构体系的受力状态； （2）施工阶段：通过调整部分杆件的内力和部分支点位移，来减 少已建结构和控制目标的偏差； （3）服役结构：通过调整部分杆件的内力和支点位移，来优化整 个结构体系的受力状态； 随着新工艺和新技术的发展，调值问题在工程中越来越多，成为结 构设计和优化必不可少的方法。
Fx i Fy i
B2 A2 l h C C B1 A1 l h C C
B2 A2 Fx j l h C C B1 A1 Fy j l h C C
l u j u i h v j v i
将上式合并经整理后可写成:
3)索单元垂度的影响.
11.2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法 11.2.1 变形体的运动描述 基本概念： 初始构形，现时构形；运动
变形体及其上质点的运动状态,随不同坐标选取有几 种描述方法:
11.2 桥梁结构几何非线性分析的有限元方法 11.2.1 变形体的运动描述 变形体及其上质点的运动状态,随不同坐标选取有几种描述方法: (1)物质描述 ；(2)参照描述；(3)相关描述；(4)空间描述 11.2.2 总体拉格朗日列式法(T.L Formulation) 在整个分析过程中,以t=0时的构形作为参考,且参考位形保持不 变,这种列式称为总体拉格朗日列式. 杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到: T B dV f 0
V
有关系式
d DB0 BL d
代入增量平衡方程左边第二项后,经整理,并记
0
k 0 B0 T DB0 dV
V
源自文库
0
k L B0 T DBL dV BL T DB0 dV BL T DBL dV
V V V
最后得:
k k k d k d df
0 0 0 0 0 L

T
11.2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L Formulation) 以本增量步起始时的t时刻构形为参照构形,建立t+Δt时刻物体平衡 方程.增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成: