第四章 汽车动力传动及转向系统振动

R
l2 2 EI l EI 1
2 (ωn m − ki )l 2 2 EI
⎤ ⎥ R ⎥ ⎧y⎫ ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪θ ⎪ ⎥ ⎨M ⎬ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪Q ⎪ ⎭i −1 2 3⎥ ⎩ (ωn m − ki )l ⎥ 1+ 6 EI ⎦i l3 6 EI l2 2 EI l
（4.1-11）
依次递推应用各单元的传递矩阵，可以建立梁最左 端边界0与最右端边界N 的状态量之间的关系，最后 总结为
如果果把特征值分析 计算出的固有频率 ωnk 转化为（r/min）的量 纲，并绘在图4.2-2 中，它们与代表各次 干扰力矩工作频率的r 射线相交，可得无数 个满足共振条件的交 点，与这些交点相对 应的转速称为临界转 速（或共振转速）。 表示发动机临界转速 的曲线图叫临界转速 谱。
（3）共振计算的范围 当量扭振系统的共振分析应考虑以下一些因素： ①考虑稍大的发动机工作转速范围内的临界转速。 ②一般谐波次数最多只考虑到r=12次 ③轴系固有频率只要计算到小于4阶即可。 ④在多缸发动机中可以把具有较小相对振幅矢量和的 简谐力矩略去不予考虑。
M iL = M iR1 + QiR1li , QiL = QiR1 − − −
(4.1 − 8)
对悬臂梁，由材料力学，有
Ml 2 Ql 3 Ml Ql 2 y= − , θ= − EI 2 EI 2 EI 3EI
由位移关系，有
（4.1-8）
M iL li2 QiL li3 − , yiL − yiR 1 − θiR1 ⋅ li = − − 2 EI 3EI L L 2 M i li Qi li L R θi − θi = − 2 EI i EI i
4.1 振动分析的传递矩阵法
工程中对轴状或链状特征的结构进行振动分析，传递 矩阵法是一个行之有效的方法。 传递矩阵法： 将有链状特点的实际结构离散成具有集中广义质量和 刚度元素的串联链接的弹簧-质量的单元链系统。定义 出各单元两端内力和位移为状态向量，通过点传递矩 阵表达质量点左右两边包括惯性后状态向量的变化， 通过场传递矩阵表达一段无质量轴左右两端由于变形 体弹性性质导致的两端状态向量间的联系，最后形成 一端的状态变量到另一端的传递关系。适当分段，再 从结构一端向另一端分段进行重复的递推传递，并使 两端的边界条件得到满足，从而得到系统的特征方 程，由其确定系统的固有频率和主振型。同时也可用 来作强迫响应分析。
对于形状不规则的物体，或通过三维实体造型由计 算机软件直接获得；或进行对几何形状的适当简 化，按动能相等的原则进行当量计算。 3.等效轴扭转刚度的计算 等效圆盘转动惯量由弹性而无惯量的等效圆轴（相 当于扭转弹簧）来连接，需要定义等效轴段的扭转 弹性系数ki。一般形状简单圆轴可用材料力学的公 式来获得；对于形状复杂的轴段，可以利用一些经 验公式来计算；也可以利用有限元方法算得；还可 以通过试验测取。 4.当量系统扭转运动微分方程 在获得了等效圆盘转动惯量和等效轴扭转刚度后， 就可以获得如图4.2-1所示汽车动力传动系统的扭 振的当量系统。
4.1.2 弯曲振动分析的传递矩阵法
汽车的动力输出轴系统，也会发生横向的弯曲振动。 此类问题可以离散为无质量的梁上带有若干集中质 量的横向振动系统，且某些质点下有弹性支撑ki， 如图4.1-4a）所示。取出第i单元，绘出i梁段及mi 的受力图如图4.1-4b）所示。
对于mi，设其只产生横向谐振动，并略去其转 动惯量，根据动力学方程，可得到
R 对左端固定，右端自由的系统是：θ1L = M N = 0 ，由 R 式(4.1-4)要求 M N = T22 (ω 2 ) M 1L = 0 (d) 2 T22 (ωn ) = 0 则特征方程为
实际计算时并不是直接解特征方程，而是利用(c)或 R 2 R ωn 与 M N 的关系曲线，该曲线与 M N = 0 (d)绘出 2 线交点对应的 ωnj , ( j = 1, 2, , N ) 为系统固有频率。
（4.1-9）
将式（4.1-8）代入式（4.1-9），整理后再考虑 式（4.1-8）并写成矩阵形式，有场传递矩阵为
⎡ ⎢1 ⎢ ⎢ = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣ l2 2 EI l EI 1 0 l3 ⎤ ⎥ ⎧ y ⎫R 6 EI ⎥ ⎪θ ⎪ 2 l ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨M ⎬ 2 EI ⎪ ⎪ ⎥ l ⎥ ⎩Q ⎭ ⎪ ⎪ i −1 1 ⎥i ⎦
（4）多缸发动机扭振激励力矩的组合 对于单列多缸发动机，作用于各曲柄（已简化为当 量圆盘）上的激励力矩就有一定相位差。由式 （4.2-2）、式（4.2-6 ），略去不导致动态扭振 的平均力矩 M 0，各曲柄圆盘上的扭振激励力矩分 别是
⎧y⎫ ⎧ y ⎫ ⎡T11 ⎪θ ⎪ ⎪ θ ⎪ ⎢T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 21 ⎨ ⎬ =T ⎨ ⎬ = ⎪M ⎪ ⎪ M ⎪ ⎢T31 ⎢ ⎪Q ⎪ ⎪ Q ⎪ ⎣T41 ⎩ ⎭N ⎩ ⎭0
R L
T12 T13 T14 ⎤ ⎧ y ⎫ T22 T23 T24 ⎥ ⎪ θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ (4.1 − 12) T32 T33 T34 ⎥ ⎪ M ⎪ ⎥⎪ ⎪ T42 T43 T44 ⎦ ⎩ Q ⎭0
(4.1-3)
式中Ti为第i段的传递矩阵
状态量的关系可以从第1段的左边递推到第N 段（设 分为N 段）的右边，即
⎧θ ⎫ ⎨ ⎬ = TN ⎩M ⎭ N
R
Ti +1TTi −1 i
2 n 2 n
⎧θ ⎫ ⎧θ ⎫ T1 ⎨ ⎬源自文库= T ⎨ ⎬ ⎩M ⎭1 ⎩M ⎭1
L 2 n 2 n
L
⎡T11 (ω ) T12 (ω =⎢ ⎣T21 (ω ) T22 (ω
L
一般两端边界条件总是已知，利用式（4.1-12）并 考虑左右两端各两个边界条件，得到系统的特征方 程，与以前类似的方式解之，可得到该梁的横向振 动的固有频率和模态振形。
4.2 汽车动力传动系统振动
4.2.1 汽车动力传动系统扭转振动 1.汽车动力传动系扭转振动的当量系统 对汽车动力传动系统的扭振分析，实践上推崇简化 成上节传递矩阵法所依据的由广义集中质量（转动 惯量）和等效圆轴（扭转弹簧）连接的链状轴系模 型。将实际曲轴和齿轮及齿轮轴等按照设计构成根 据等效原则简化的链状轴系计算分析模型被成为当 量系统。 2.等效圆盘转动惯量的计算 对于规则形状的物体，可以利用一般理论力学的公 式来计算其转动惯量Ji 。
4.1.1 扭转振动分析的传递矩阵法 图4.1-1a）表示的是多圆盘轴系统的扭振分析，取 其中第i段的分析如图4.1-1b）所示。
由图4.1-1b）可知第i段的无质量轴状态量之间的平 衡关系为 M iR1 θiL = θiR1 + − − ki M iL = M iR1 −
⎡ ⎧ θ ⎫ ⎢1 ⎨ ⎬ =⎢ ⎩M ⎭i ⎢0 ⎣
对二冲程发动机 对四冲程发动机
r = 1, 2 , 3 , r = 1 / 2 ,1, 3 / 2 , 2 , 5 / 2 ,
6.动力传动系扭转振动的强迫响应分析 （1）临界车速 当干扰力矩某一简谐分量的频率 rω ,与扭振系统 某一阶固有频率 ωnk 相等时，系统发生共振；相应 的频率和转速成为临界频率和临界转速 N r = rn ( 4 .2 − 9 ) （2）临界转速谱 曲轴系统的工作频率 以r为参数绘制式（4.2-9）如图4.2-2所示。图中 通过坐标原点的各条射线就是各次简谐力矩的工作 频率随转速的变化曲线。
2 M iR = M iL , QiR = QiL + ωn mi yi − ki yi
(4.1 − 5)
应该相
Mi左右两边的转角 θ ( dy / dx) 、挠度 等，即
y
y = y , θ =θ
R i L i R i
L i
(4.1 − 6)
由式（4.1-5），式（4.1-6）可以导出i单元的点 传递矩阵为
5.传动系扭转振动的激励力矩 发动机传动系的扭振干扰激励主要来源于三个方面： （1）气缸内燃料点火燃气爆发压力产生的干扰力矩； （2）发动机曲柄连杆机构的质量及惯性力产生的干扰 力矩； （3）功率负载部件所吸收的转矩不是定值而产生的干 扰力矩。 实际发动机传动系扭转振动分析中，一般只考虑燃气 压力产生的干扰力矩，设当量系统中对应于曲柄的集 中质量圆盘有LC个，则
对于该当量系统，可以列出其扭振运动微分方程， 以便结合动力传动系的扭振激励力矩，来分析计算 动力传动系统的强迫响应。参考图4.2-1所示形式 的链状系统，其扭转运动微分方程为：
J ϕ + Kϕ = m
（4.2-1）
0⎤ 0 ⎤ ⎧ϕ1 ⎫ ⎡J1 0 ⎡ k1 −k1 ⎧Mz1 ⎫ ⎪ϕ ⎪ ⎢0 J ⎥ ⎢−k k + k −k ⎥ ⎪M ⎪ 2 2 ⎢ ⎥ , ϕ = ⎪ 2 ⎪, K = ⎢ 1 1 2 ⎥ , m = ⎪ z2 ⎪ 其中J = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎢ 0⎥ −kL−1⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ϕN ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ −kL−1 kL−1 ⎦ 0 0 JL ⎦ 0 ⎣ ⎣ ⎩MzL ⎭ ⎩
⎡ ⎧y⎫ ⎢ ⎪θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ =⎢ ⎢ 0 ⎪M ⎪ ⎢ 2 ⎪Q ⎪ ⎩ ⎭i ⎣ωn m − ki 1 0
R
0 0 0⎤ ⎧ y ⎫ 1 0 0⎥ ⎪ θ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ 0 1 0⎥ ⎪M ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ 0 0 1⎦ ⎩ Q ⎭
i
L
(4.1 − 7)
i
对于i单元的无质量梁段，与
⎧y⎫ ⎪θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Q ⎭i
L
l 1 0 0
(4.1 − 10)
合并式（4.1-7）式（4.1-10）得到第i单元的传递 矩阵，为
⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 0 =⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢ 2 ⎢ωn m − ki ⎣ l 1 0 (ω m − ki )l
2 n
⎧y⎫ ⎪θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎪M ⎪ ⎪Q ⎪ ⎩ ⎭i
R L
（4.1-2）
R和L分别指所考虑的点或场的右边和左边的状态量 （扭转角θ和转矩M）
由式（1）（2）得
⎡ R ⎢ 1 ⎧θ ⎫ ⎨ ⎬ =⎢ ⎩M ⎭i ⎢ −ω 2 J ⎢ n i ⎣ ⎤ R ⎥ θ R ⎥ ⎧ ⎫ = T ⎧θ ⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ 2 ⎥ ⎩M ⎭i −1 i ⎩M ⎭i −1 ωn Ji )⎥ (1 − ki ⎦i 1 ki
第四章
汽车动力传动及转向 系统振动
本章内容
振动分析的传递矩阵法
扭转振动分析的传递矩阵法 弯曲振动分析的传递矩阵法
汽车动力传动系统振动
汽车动力传动系统扭转振动 汽车动力传动系统弯曲振动
汽车转向系统振动
汽车前轮及前桥的振动 前轮摆振的影响因素
汽车制动系统振动
汽车制动动力学模型 汽车制动动力学简化模型求解 制动的一些因素对汽车振动的影响
)⎤ ⎧ θ ⎫ ⎥ ⎨ ⎬ ) ⎦ i ⎩M ⎭1
L
(4.1-4)
对于多圆盘轴系统的扭振问题，左右两端状态量的4 个边界值应有2个是确定的，例如对两端自由的系 R M 1L = M N = 0 ，应有 统，有 R (c) M N = T21 (ω 2 )θ1L = 0 则特征方程简化为
2 T21 (ωn ) = 0
L
得场传递矩阵
1⎤ R θ⎫ ⎥⎧ ki ⎨ ⎬ ⎥ ⎩M ⎭ i −1 1⎥ ⎦
（4.1-1）
对第i段的质量点Ji的运动微分方程为：
θ iR = θ iL , J iθ i R = M iR − M iL
得点传递关系 0⎤ ⎧ θ ⎫ ⎧θ ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬ =⎢ 2 ⎥ ⎨M⎬ ⎩M⎭i ⎣−ωn Ji 1⎦i ⎩ ⎭i
( M zi = M pi )
(i = 1, 2,
, LC )
(4.2 − 2)
周期性的激励函数可以通过傅立叶级数来展开 表示，推导可得：
M p = M 0 + ∑ (ar cos rωt + br sin rωt ) = M 0 + ∑ M r sin(rωt + ψ r ) (4.2 − 6)
M p 的各傅立叶级数系数为
1 M0 = 2π br = π ∫
0
∫
2π
0
f (Ωt )d (Ωt ), ar = π ∫
2π
0
f (Ωt ) cos r Ωtd (Ωt )
2 r 2 r
2π
ar f (Ωt ) sin r Ωtd (Ωt ), M r = a + b , ψ r = arctg br