数学史(第6章解析几何的诞生)

第6章 解析几何的诞生

主题：

解析几何发展的显著变化

线索问题：

1 斐波那契的主要数学贡献及其意义是什么？

2在三四次方程求解方面哪些数学家作出了贡献？

3 代数符号化的发展过程是怎样的及有哪些代表人物？

4 欧洲三角学的发展过程中哪些主要人物作出了贡献？

5 射影几何的发展过程及其代表人物是什么？

6 对数的发明及其代表人物是什么？

7 解析几何的诞生及其意义？

概述：

本章概括介绍在向近代数学过渡时期的历史背景和几个领域的数学发展，重点介绍了在代数、射影几何、对数和解析几何等方面的发展。

主要内容：

一 中世纪欧洲数学

中世纪的欧洲，公元5世纪－11世纪，天主教会成为欧洲社会的绝对势力，欧洲文明在整个中世纪处于停滞状态。

12世纪，欧洲是翻译的时代，因此数学开始复苏。

斐波那契（1170－1250）：《算经》，斐波那契数列。

数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，直到15、16世纪文艺复兴的高潮中，数学才真正复苏。

二 文艺复兴时期的欧洲数学的发展

（一）代数学：三次、四次方程的求解与符号代数是两个主要的成就。 1 三、四次方程的求解和有关代数方程理论的探索

（1） 三次方程的根式解：

费罗（1465－1520）1515年发现那形如)0,(3>=+n m n mx x 的三次方程的代数解法；

塔塔尼亚发现形如)0,(23>=+n m n mx x 的解法。

卡尔丹（1501－1576）将塔氏方法推广到一般情形的三次方程，并补充了几何证

明。（1545年出版《大法》（Ars Magna ））

费拉里（卡尔丹学生）解决那一般的四次方程4320ax bx cx dx e ++++=求解，不久也被写入《大法》中。

（2）复数引进：卡尔丹遇“不可约”，邦贝利引进虚数。

（3）代数基本定理：吉拉德推断，18C 高斯最早证明

（4）根与系数的关系：卡尔丹、韦达、牛顿、格列高里

（5）因式分解定理：韦达

2 符号化的发展

过程：韦达引进，吉拉德、奥特雷德继承、韦达改进

意义：韦达系统地引入数学符号，数学符号体现了数学学科的高度抽象与简练，从而导致了代数性质上产生重大变革。他把符号代数称作“类的算术”，代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用广泛。

（二）三角学的发展

1 精确正弦表：波伊尔巴赫

2将三角学独立天文学：雷格蒙塔努斯

3 系统化：韦达

（三）射影几何的发展

1 透视学：阿尔贝蒂《论绘画》（1511），数学透视法；

2 射影几何：德沙格（1591－1661），从数学上直接给予解答的第一个人，包含投影变换下的交比不变性质，从对合点问题出发首次讨论了调和点组的理论。帕斯卡（1623－1662），投射与取景法，帕斯卡定理。

计算技术与对数：苏格兰数学家纳皮尔（1550－1617），发现了对数方法。瑞士工匠比尔吉（1552－1632）1600年耶独立地发明了对数方法简化天文计算。

解析几何：近代数学本质上可以说是变量数学。16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。变量数学的第一个里程碑就是解析几何的发明，其基本思想是在平面上引进“坐标”运算，点与实数对对应，方程与曲线对应，将几何问题化为代数问题。解析几何的前驱是法国数学家奥雷斯姆（1323－1382），《论形态幅度》，解析几何的真正发明者还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿合费马，他们出发点不同，但殊途同归。

笛卡儿（1596－1650）：1637发明解析几何，出发点是一个著名的希腊问题——帕波斯问题。笛卡儿提出了一系列新颖想法，和方法论原则，提出“通用数学的思路”：

任何问题——数学问题——代数问题——方程求解。

费马：费马的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作，《论平面轨迹》。