解析函数柯西黎曼方程

1 引言

解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．

现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．

本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．

2 基本概念与定理

定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000

()()

lim

z z z D

f z f z z z →∈--

存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或

(z z df z dz =）

．即

000

()()

lim

'()z z f z f z f z z z →-=-．

有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．

定义2．2

[1]

如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，

并称()f z 是区域D 内的解析函数．

如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．

若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．

例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0

00()(0)Re lim

lim lim Re 00z z z f z f z z

z z z

→→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．

设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限

0000

00

()()Re Re lim

lim z z z z f z f z z z z z z z z z →→--=-- 0

000

00()()lim

()()

x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-

00

2200000()

lim ()()x x y y

x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-

当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 0

00

()()

lim

z z f z f z z z →--

0220000

()

lim x x x x iy x x x x →-+-=-

00lim[()]x x x x iy →=++

002x iy =+

当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 0

0000000

()()()

lim

lim ()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==-- 因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #

此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．

有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理：

定理2．3

[2]

设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则

()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足

Cauchy-Riemann 方程

,u v v u

x y x y

∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）

证： 必要性 设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim

'()z w f z z ∆→∆=∆．令0'()w

f z z

ε∆-=∆．即得

0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2）

当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，

0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，

12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆

12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+

其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+，

2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）

其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因

1

12z

ηεε≤

≤+∆，

而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→

．故当0z ρ∆==→时，

1

0ηρ

→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有

u a x ∂=∂，u b y ∂=-∂，v

b x

∂=∂，v a y ∂=∂， 于是

,u v v u x y x y

∂∂∂∂==-∂∂∂∂， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．

充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u

u x y x y

η∂∂∆=

∆+∆+∂∂．