一种改进的灰度预测模型

摘 要
灰色预测模型通常是 Ｇ 模型 ， Ｍ 但预测精度有时不令人满意 。在对模型 Ｇ 做 了进一步研究的基础上 ， Ｍ 提出 了一个预测精 度
较高的新灰色预测模 型， 并从理论上证明了这种模型可 以有效提高建模数据序列 的光滑度。最后把此方法应用于东部某镇 ＧＤ Ｐ的建模 中， 试验结果表明该方法是可行且有效的 ， 所建模型 的精度优于传统 Ｇ １ １模型的精度。 Ｍ（ ， ） 关键词 灰色预测模 型；光滑度；ＧＤ Ｐ预测；函数变换 ； 残差检验
ｔｒ ｒ ｄｃｉｎ ｍｅｈ ｄ，ａｎ ｗ ａ ｙ ｔｍ ｒ ｄｃｉｎｍｏ ｅ ｔ ｉｈ ｒｐ ｅ ｉｉｎ ｏ ｒ ｄｃｉｎｉ ｒ ｐ ｓ ｄａ ｄｐ ｏ ｅ ｈ ｏ ｅｉａｌ ｈ ｔｔ ｉ ｅ ｐｅ ｉｔｏ ｔ ｏ ｎ ｅ ｇｒｙ ｓ ｓｅ ｐ ｅ ｉｔｏ ｄ ｌ ｗｉｈ ｈｇ ｅ ｒ ｃｓｏ ｆｐ ｅ ｉｔｏ ｓｐ ｏ ｏ ｅ ｎ ｒ ｖ ｄｔ ｅ ｒｔｃ ｌ ｔ ａ ｈｓ ｙ ｍｏ ｅ ａ ｍｐ ｏ ｅｔ ｅ ｓ ｏ ｈ ｅ ｓｏ ａ ｄ ｔ ｅ ｉｓ ｄ １ｃｎ ｉ ｒ ｖ ｈ ｍｏ ｔ ｎ ｓ ｆｒ ｗ ａａｓ ｒｅ ．Ｔｈ ｍｐ ｏ ｅ ｄ ｌｉ ａ ｐｉｄ ｔ ｏ ｅ ａ ｔＧＤＰ ｏ ｏ ｓ．Ｔｈ ｅ ｕｔｓ ｏ ｈ ｅｉ ｒ ｖ ｄｍｏ ｅ Ｓ ｐ ｌ ｏ ｆｒ ｃｓ ｅ ｆｔｗｎｏｆ Ｅａｔ ｅｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓｔ ｅ ｍ ｅｈ ｄ ｉ ｆａ ｉｌ ｎ ｆｅ ｔａ ，ｔ ｅｍｏ ｅ’ ａ ｃ ｒｃ ｓｂｅｔｒｔ ｎ ｔ ｅｔａ ｉｉｎ ｌ ｔ ｏ ｓ ｅ ｓｂ ｅａ ｄ ｅｆｃｕ １ ｈ ｄ ｌＳ ｃ ｕ ａ ｙｉ ｔｅ ｈａ ｈ ｒｄ ｔ ａ ｏ ＧＭ （ 。 ） １ １．
１ ）证明经过 函数 ＿（ ） ｚ １告， ＜Ｏ变 换后 的数 厂 ｚ 一（ ＋ ） ｐ 据序列为光滑离散数据序列 ， 能提高序列光滑度 。 先来证 明 ＿ ） ｚ ） ｐ 是单调递减 函数 。 厂 一（ ＋１吉， ＜０ （ 引理 １ 设 有非负序列 ｚ （ ）对 序列 ｚ （ ） 变换 忌， 作 ｆ ｘ ’是 ） ｚ （ ） ） ｐ ， ｆ（ 。 （ ）是 非负严 （ 。 （） 一（ 是 ＋１ ， ＜Ｏ 则 ｘ 惫 ）
Ｋｅ ｏｒ ｇ ｅ ｏ ｅ ａｔｎ ｄ ｌ ｍｏ ｔ ｅ ｒ ｅ ｙ Ｗ ｄｓ ｒ ｙｆ ｒｃ ｓｉｇ ｍｏ ｅ，ｓ ｏ ｈ ｄ ｇ ｅ ，ＧＤＰ ｆ ｒｃ ｓ ｇ，ｆ ｃｉｎ ｔａ ｓｏ ｍａｉｎ，ｒ ｓｄ ａ ｅ ｔ ｏ ｅ ａｔｎ ｕｎ ｔｏ ｒ ｎ ｆ ｒ ｔ ｏ ｅ ｉｕ ｌ ｓ ｔ
利用灰色模型进行预测 。为了提高灰色预测模型 的预测 精度 ， 尝试利 用函数 ＿ ） ｚ ） ｐ 厂 一（ ＋１ ， ＜０变换 提高 原始 （ 数据序列 的光滑度 ， 从理论上证 明了该方 法的有效性 ， 并 把此方法应用 于高校招 生人 数预测 的建模 中与 Ｇ １ １ Ｍ（ ， ） 模型 的预测值进行 了比较 。
由上面的证明可 以得 出经过 函数 ｆ（ （ ） 一 （ ｘ 志） ｚ （） ） ｐ ＋１ 告，＜ｏ变换所 得 的序列为光 滑离散 序列 ， 能改善
原 始 序 列 ｚ （） 光滑 度 。 忌的 ２ ）改 进 的 Ｇ （ ， ） 型 ［ Ｍ １ １模 。 ］ 设 有 原 始数 据列 ｙ 一 （ ‘ （ ） ｙ （） … ， （ ） ．。 １ ， ‘ ２ ， ｙ。 ） ， ｙ
＞（（（＋１＋１古 （（ ＋１古 ｚ 忌 ） ） （ ｏ ） ）
可 以得 出
（ （ － ｚ 愚＋ １ ）＋ １ ） （ ’ 忌 ｚ （ ）＋ １ ）
求较高。在 原始数据列光 滑性较差 的情况下 传统灰色预 测 模型 的预测精度不高甚 至精度 通不过 检验 ， 结果 只能放 弃
＇
。
从第二到第五步和 Ｇ １１模型基本一样 ， Ｍ（ ，） 不再写出。 第六步 ： 对 “ （＋１ 及； ￡进 行离 散 ， 将二 者做 ） “ （） 并
下面 在 理 论 上 证 明该 函 数 变 换 能 提 高 序 列 光 滑
度 。 ～
为数 据个数 ， 其中 Ｙ。（） ， ， ， ， ‘ ＞Ｏ 一１ ２ … 。 第 一步 ： 对原始数据序 列进行 函数 （ （） １ ，一 ｚ ’ ＋ ） ｉ
１ ２ … ， 变 换 处 理 得 ‘ 一 （ 。 １ ， ‘ ２ ， ， ，， ‘ （ ） ｚ。 ） … ‘ （
３ 一 （ ‘ （ ） ‘ ２ ， ， （ ） ２ ｚ １ ， （ ） … ｚ ’ ）
； ￡ ） 、（（） ） ㈨（ 一（ ０ １一旦 ｅ ＋ ＋１ ｚ —
ａ
以
值 得注意的是 ： 由于灰参数 是用最ｄ ＿ ｘ －乘法得到 的近 似值 ， 以； ） 所 ㈣（＋１是一个近似表达式 ， 为与 ｚ （＋ １ 区 ‘ ￡ ） 分开来 ， 故记为； ￡ ） “ （＋１ 。
总第 ２ ７ ６ 期
计算机与数字工程
Ｃ ｍｐ ｔｒ＆ Ｄ ｇｔｌ ｎ ｉ ｅ ｉ ｏ ｕｅ ｉｉ ｇｎ ｒ ｇ ａＥ ｅ ｎ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ １ １４ ．
４ ０
２ １ 年第 １ ０２ 期
一
种 改 进 的灰 度预 测 模 型
彭 勇 陈 俞 强
东莞 ５ ３０ ） ２ ８ ８ （ 东莞职业技术学院计算 机工程 系
且 不 清 楚数 据 产 生机 理 的情 况 。
一
∑ ｚ （ ，＝ ， … ㈣ 志 ｔｌ ， ， ） ２
２ ）对 “ （） 建立一 阶线性微分方程 ：
窑 ＋ － 一 十ｒ 甜、 。（ “ 一 １
其中： ａ称为发展灰数 ； 称为内生控制灰数 ， 并记 ａ 构成 ，
的阵 （。 矩 为 ）
一
２ Ｇ （ ， ） 型 及 其 残 差 检 验 Ｍ １ １模
灰色预测是 以灰 色模型 为基础 的 ， 在众 多的灰色 模型 中， ＧＭ（ ，） １１ 模型最为常用Ｉ 。 ｓ ］
设 有 原 始 数 据 列 ｚ ’ （ （ ）ｚ （ ） … ， （ ） ， 一 ｚ ’１ ， ２ ， ３ ） ２
格 单 调 递 减 函数 。 证 明 ： 为 ｚ （ ） Ｏ且 ｐ ０ 因 志＞ ＜ 所 以 （ 愚 ＋１ 吉＞Ｏ 。 （） ） 也 就 是
厂，。（ ） 一 （ （ （） １｛＞ Ｏ （ （ ） ．。 忌 ＋ ） ｚ ｚ
（） ， ） 为数据个数 ， 中 其
…
（） （） ） １ ２ 一（ ＋１吉， ，，
其 ｚ （ 一∑ － 尼， １ ， ｎ ㈣（ １ 中， ㈨ ） ｚ ） ㈣（ ， …，或ｚ 汁 ） ２
ｋ １ 一
＊ 收稿 日期 ：０ １年 ７月 ２ ２１ ３日， 回日期 ：０ １ ９ ５日 修 ２１ 年 月 基金项 目： 广东省高等教育学会重点课题 （ 编号 ： ＤＧ １ ０ １ ； Ｇ Ｚ ０ ０ ） 东莞职业技术学院院级教改项 目（ 编号 ：ＧＸ ０ ０ ８资助 。 Ｊ Ｍ２ １０ ） 作者简介 ： 彭勇 ， ， 男 硕士 ， 讲师 ， 研究方向 ： 网络数据库 。陈俞强 ， ， 男 博士， 讲师 ， 研究方向 ： 数据库理论与技术 。
百
＞ 一 （ ‘ （ ） １ × （ （ ＋ １ ＋ １ ｚ。 惫 ＋ ） ｚ‘ 走 ） ）
（ｚ 走＋１专 （㈤（） ） ）
） 一
（㈣（ ＋１ ） ）
百
３ 改进的灰度预测模型
传统的灰色预测模 型具有 预测 精度高 、 型可检验 、 模 参
数估计方法简单等优点 ， 但是对 原始 数据序 列 的光滑度 要
（ ‘ （ ） ｚ∞（ ） … ， ） Ｔ ｚ∞ ２ ， ３ ， ｚ ∞（ ）
４ ）用最小二乘法求解灰参数 ， 则
三（＿ Ｂ 一 ）（ Ｂ
５ ）将灰参数 带人 ＋ａ （ 一 ， ￣１ ／ 求解 ， 得
ｎ为数据个数 。 １ ）原始数 据累加以便弱化 随机序列 的波 动和 随机 性 ， 得新数据序列 ：
ＴＰ ０ ． ３１６ 中图 分 类 号
Ａｎ Ｉ ｒ ｖ ｄ Ｇｒ ｙ Ｐｒｄ ｃ ｉｎ Ｍ ｏ ｅ ｍｐ ｏ ｅ ａ ｉ ｉｔｏ ｄ ｌ
Ｐ ＥＮＧ ｎ ＣＨＥＮ ｑ ａ ｇ Ｙｏ ｇ Ｙｕ ｉ ｎ
（ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｏ ｐ ｔｒＥｎ ｉｅ ｒｎ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＣ ｍ ｕ ｅ ｇｎ ｅｉｇ，Ｄｏ ｇ ｕ ｎＰｏｙ ｅ ｈ ｉ ｎ ｇ ａ ｌｔ ｃ ｎｃ，Ｄｏ ｇ ａ ５ ３ ０ ） ｎ ｇｕ ｎ ２ ８ ８
Ｃｌｓ ｍｂｅ ＴＰ３ １ ６ ａ ｓＮｕ ｒ ０ ．
１ 引 言
灰 色系统理论是 一种研究 少数据 、 信息不 确定性 问 贫 题的方 法。灰 色系 统理 论 以“ 部分 信 息 已知 ， 部分 信息 未 知 ” 小样本 ”“ 的“ 、 贫信息 ” 不确定 性 系统为研 究对 象 ， 主要 通过对“ 部分” 已知信 息 的生 成 、 开发 ， 提取 有价值 的信息 ， 实现对 系统运行行 为、 演化规律 的正确描述和有效监控口 。 ］ 灰 色 预测通 过鉴 别系 统 因素之 间发展 趋势 的相 异程 度， 并对原始数据进行生成处理来 寻找系统变动 的规律 ， 生 成有较 强规律性 的数 据序列 ， 然后 建立相 应 的微 分方程 模 型， 从而预测事物未来 发展 趋势 的状况［ 。灰色 预测 的通 ２ ］ 用性比较强些 ， 一般场合都可以用 ， 尤其适合那些 规律性差
Ａｂｓ ｒｃ Ｇｒ ｙｐ ｉｉｔ ｎ ｓ ｓｅ ｉ ｈ ｄ ｌ ｕ ｔ ｒ ｄｃｉｎ ａ ｃ ａ ｙ ｉ ｎ ａｉｆｃｏ ｙ ｔａ ｔ ａ ｒｄｃｉ ｙ ｔ ｍ ｔ ｅＧＭ ｍｏ ｅ ，ｂ ｔｉ ｐ ｅ ｉｔｏ ｃｕｒｃ ｓｕ ｓ ｔ ａ ｔ ｒ ．Ｗ ｉｈｔ ｅｄ ｅ ｉｈ ｏｔ ｒ ｙ ｓ ｓ ｏ ｓ ｓ ｓ ｔ ｈ ｅ ｐｉ ｇ ｔｔ ｈｅｇ ａ ｙ — ｎｓ
７ 对 建立的灰 色模 型进行检验 。 ） 计 算 与 （） ‘ ￡之间的残差 ｅ 和相对误差 ｑ ） ‘ ） （ （
Ｐ。 （ ） ｚ（ 一 （ （ ） （ ￡一 。 ）
（．ｏ 志＋１专 ｏ ） ） （（（） ） 一（（（＋１＋１古） ｚ
Hale Waihona Puke Baidu（（（ ＋１专 ｏ ） ）
２１ ０ ２年第 １ 期
计算机与数字工程
又 因为 （ （ ） １吉×（ （＋ １＋ １ ＞ Ｏ ‘ 尼 ＋ ） 是 ） ）
所 以
ｋ
４ １
６ 对； （） ） ｎ 及； ￡进行 离散 ， 将二 者做差 以便 还原 并
ｚ 序 － ’ 列 为
； （＋ １ 一三 （＋ １ ～； （） （ ） （ ） （ ｆ
３ ）对 累加生成 数据做 均值 生成 Ｂ与 常数项 向量 ，
即 ｒ ． （ ‘ （ ） ｚ‘ （ ） ］ ０ ５ ｚ １ ＋ ２ ）
Ｂ— ｌ ０ ５ ｘ （ ） ． （ ２ ＋ “ （ ） Ｉ ３） ，
．
５ ㈣ｎ １ （） （ （ ） ㈤ ＿ － ＋ ）ｊ
∑ （ （ ＋１ ∑ （㈣ ＋１ ） ㈤） 告 ｚ（ ） ） 古
ｌ １ 一 ｔ ｌ —
定 理 １得证 ， （ 。 （） 一 （ ’ ＋ １ ， ｐ Ｏ 是 ｆ ｚ 忌 ） （） ） （ ＜ ， 一 １ ２ … ， ）是 光 滑 离 散 序 列 。 ，， ， ， ｚ