高斯投影及换带计算

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[知识点及学习要求] 1．高斯投影的基本概念； 2．正形投影的一般条件；
3．高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
—高斯投影的正算与反算 4．椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5．高斯投影的邻带换算； 6．工程测量投影面与投影带的选择。
[难点]在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的
y N cos B l N cos3 B(1 t 2 2 )l3
6 3
N
120 5
cos5
B(5
18t 2
t4
14 2
58 2t 2 )l5
t tan B,2 e2 cos2 B
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2、高斯投影坐标反算公式：x,y B,l
满足以下三个条件： ①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； ② x坐标轴投影后长度不变； ③投影具有正形性质，即正形投影条件。
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6.2 高斯投影概述（重点）
1、控制测量对地图投影的要求
1）等角投影（又称正形投影）
2）长度和面积变形不大，并能用简单公式计算由变形而引起 的改正数。
3）能很方便地按分带进行，并能按高精度的、简单的、同样 的计算公式和用表把各带联成整体 。
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y3
6N
3 f
cos
Bf
1
2t
2 f
2 f
y5
120N
5 f
cos
Bf
5
28t
2 f
24t
4 f
6
2 f
8
2 f
t
2 f
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3、高斯投影坐 标正反算公式的
几何解释 ：
①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且 为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴， 其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。
6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成60 个带。
3º带自1.5 º开始，按 3º的经差自西向东分成 120个带。
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高斯投影带划分 17
6º带与3º带中央子午线之间的关系如图:
3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午线重 合，减少了换带计算。
工程测量采用3 º带，特殊工程可采用1.5 º带或任意带
L。=3ºn （n为3º带的带号） 例：120带中央子午线的经度为
L。＝3º× 120＝360 º
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若已知某点的经度为L，则该点的6º 带的带号N由下式计算：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
N int( L) 1 6
若已知某点的经度为L，则该点所在
3º带的带号按下式计算：
n
L 3（四舍五入）
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• （2）圆柱投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱 面展为平面而成。
• （3）圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相 切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
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高斯投影及换带计算
一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算）
二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化）
三、各种投影方法概述
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本章提要
本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上 直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地 坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向 平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和 方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相 邻带的坐标坐标换算。
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高斯平面直角坐标系的建立：
x轴 — 中央子午线的投影 y轴 — 赤道的投影 原点O — 两轴的交点
注：X轴向北为正， y轴向东为正。
赤道
x
高斯自
然坐标
P （X，Y）
O
y
中央子午线
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由于我国的位于 北半球，东西横跨12 个6º带，各带又独自 构成直角坐标系。
故：X值均为正， 而Y值则有正有负。
B B f
tf 2M f N f
y2
tf
24M
f
N
3 f
5
3t
2 f
2 f
9
2 f
t
2 f
y4
过所求点P作中央子午线的垂线，
tf
720M
f
N
5 f
y
61
90t
2 f
45t
4 f
y6
该垂线与中央子午线的交点的纬 度，称垂足纬度。其值由子午线 弧长计算公式反算求得。
l y N f cos B f
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2、高斯投影的基本概念
• 高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 • 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，
1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger， 1857～1923)加以补充完善，故又称“高斯—克吕格投影”， 简称“高斯投影”。
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4、常用的几种地图投影
从世界范围看，各国大中比例尺地形图所使用 的投影很不统一，据不完全统计有十几种之多，最 常用的有横轴等角椭圆柱投影等。中华人民共和国 成立后，我国大中比例尺地形图一律规定采用以克 拉索夫斯基椭球体元素计算的高斯-克吕格投影。我 国新编1:100万地形图，采用的则是边纬与中纬变 形绝对值相等的正轴等角圆锥投影。
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x
（4） 除赤道外的其余纬线，投
影后为凸向赤道的曲线，并以赤 平行圈 道为对称轴。
（5）经线与纬线投影后仍然保 持正交。
赤道
O
y
（6） 所有长度变形的线段，其 子午线
长度变形比均大于l。
（7）离中央子午线愈远，长度 中央子午线
变形愈大。
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4)、投影带的划分
我国规定按经差6º和3º 进行投影分带。
y y p2 = 500000+ p2
=（带号）227559.720m
o
500km
x
xp1
p1
30320825855.565.605m0
m
y
y
p1
p1
(带1号 36)768306.376800.m360m
p1
y
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例：
有一国家控制点的坐标:
x=3102467.280m ,y=19367622．380m，
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• 3、中国各种地图投影：
1）中国全国地图投影：斜轴等面积方位投影、斜轴等角方 位投影、伪方位投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角割 圆锥投影。
• 2）中国分省（区）地图的投影：正轴等角割圆锥投影、正 轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯-克吕格投 影（宽带）。
• 3）中国大比例尺地图的投影：多面体投影（北洋军阀时 期）、等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）、高斯克吕格投影（解放以后）。
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6.3高斯投影坐标正反算公式（了解）
对于任何一种投影：①坐标对应关系是最主要的；②如果 是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的 特殊条件。
1、高斯投影坐标正算公式： B,l x,y
高斯投影必须满足以下三个条件： ①中央子午线投影后为直线； ②中央子午线投影后长度不变； ③投影具有正形性质，即正形投影条件。
x F1(L, B) y F2 (L, B)
椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，若将这个曲面上 的元素（比如一段距离、一个角度、一个图形）投影到平 面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差 异称作投影的变形
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长度比:
投影面上的边长与原面上的相应长度之比，称为长度比。
概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算； 高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的 选择。
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6.1 地图投影概述
1.投影与变形
所谓地图投影，简略说来就是将椭球面各元素（包括坐标、 方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个 问题的专门学科叫地图投影学。
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按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
L。=6ºN－3º （N为6º带的带号）
例：20带中央子午线的经度为：
L。＝6º× 20－3º＝117 º
按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3º， 其余各带中央子午线经度与带号的关系是：
x=Dcosα
y=Dsinα
y
Ⅱ
o
Ⅲ
p
DⅠ
α
x
Ⅳ
笛卡尔坐标系
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3、椭球面三角系化算到高斯平面
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将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：
➢将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检 核还应进行反算，亦即根据x，y反算B，L。 ➢通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地 方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。 ➢通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角 归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。 ➢通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的 直线长度。 ➢当控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。
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高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角 坐标系的异同点 ：
不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。 3、表示直线方向的方位角
定义不同。 相同点：
数学计算公式相同。
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Ⅳx
o
Ⅲ
α Ⅰp
D
y
Ⅱ
x=Dcosα
y=Dsinα
高斯平面直角坐标系
（1）该点位于6˚ 带的第几带？
（第19带）
（2）该带中央子午线经度是多少？
（L。=6º×19-3º=111˚）
（3）该点在中央子午线的哪一侧？
（先去掉带号，原来横坐标y＝367622.380—500000＝-132377.620m，在西侧）
（4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？
（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）
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自赤道量起的到所求点的子午线弧长
x
X
N
2 2
sin
B cos
B l2
N
24 4
sin
B cos3
B(5 t2
9 2
4 4 )l4
N sin B cos5 B(61 58t2 t4 )l6
720 6
所求点的大地经度与该点所在带 的中央子午线的大地经度之差
12
1).高斯投影的原理:
高斯投影采用分带投影。将椭球面按一定经差
分带，分别进行投影。
高斯投影平面
N
中
央
子
午 线
赤道
c
赤道
S
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2)、高斯投影必须满足：
（1）高斯投影为正形投影， 即等角投影；
（2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴；
（3）中央子午线投影后长度 不变。
m AB EA
AB
EA
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2、地图投影的分类
• 1）按变形性质分类
（1）等角投影
•
又称为正形投影。投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面上相应
两线段夹角相等，即角度变形为零。等角投影在一点上任意方向的长度比
都相等，但在不同地点长度比是不同的。
• （2）等积投影
•
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3)、高斯投影的特点:
x
（1）中央子午线投影后为直
线，且长度不变。
平行圈
（2） 除中央子午线外，其余
子午线的投影均为凹向中央
赤道
O
y
子午线的曲线，并以中央子 子午线
午线为对称轴。投影后有长
度变形。 （3） 赤道线投影后为直线，
但有长度变形。
中央子午线
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在投影平面上任意一块面积与椭球面上相应的面积相等，即面积变形
等于零。
• （3）等距投影
•
定义为沿某一特定方向的距离，投影前后保持不变，即沿着该特定方
向长度比为1。在这种投影图上并不是不存在长度变形，它只是在特定方
向上没有长度变形。
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2）按投影面的形状分类
• （1）方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或 相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
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赤道
世界地图 22
xp2 23x2p2836.2138208m36.180m x yp2 （带yp2号）222772545490.7.22800mm
国家统一坐标：
p2
xp1 x , x p1 p2 xp2
y y p1=500000+ p1
=（带号）636780.360m
②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经 线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y 值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。
③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是 凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反， 这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线 和纬线的投影是互相垂直的。