6指数与指数函数教案

指数与指数函数
一、教学目标
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质． 2．掌握指数函数的概念,图象和性质.
二、重点、难点讲解
1. 指数 （1）根式
若x n
=a(n>1,且*
∈N n ),则x 叫做a 的n 次方根.
当n 为奇数时，a 的n 次方根是n a .
当n 为偶数时，若a>0，a 的n 次方根有2个，这两个方根互为相反数，即n a ±，其
中正的一个n a 叫做a 的n 次算术根；若a=0，0的n 次方根只有一个，是0；若a<0，a 的n 次方根不存在（在实数范围内）.
当n 为奇数时，a a n n =.
当n 为偶数时，=n
n
a ⎩
⎨⎧-a a
(2)指数概念的推广
①零指数.若运用指数运算法则，0a a
a a n
n n
n
==÷-，又有1=÷n n a a ，因此规定)0(10≠=a a .
②负整数指数.若运用指数运算法则，n n
n
n
a a
a a a --==÷=÷00
1，又有n n a
a 1
1=
÷，因此规定),0(1
*-∈>=
N n a a
a n n . ③正分数指数.若运用指数运算法则，m n n
m n
n
m a a
a ==⋅)(，因此规定
).1,,,0(>∈>=*n N n m a a a
n m n
m 且
④负分数指数，若运用指数运算法则，n
m n
m n
m n
m a
a
a
a a
-
-
==÷=÷00
1，又有n
m n
m a
a
11=
÷，因此
规定)1,,,0(1
1>∈>=
=
*-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m 且且.
⑤无理数指数，若a>0 ,p 是无理数，则a p
也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）
（3）指数运算法则
若a>0,b>0,Q s r ∈,,则有下列指数运算法则： ①s
r s
r
a
a a +=⋅；
(a ≥0), (a<0).
x
y 图11-11
y=2y=10y=x x
x 1②rs
s r a a =)(； ③r
r r b a ab =)(.
实际上上述法则当r,s 为无理数时也成立. 2．指数函数
（1）形如y=a x
)1,0(≠>a a 的函数叫做指数函数，因此x
x y y π==,)3
1(都是指数函数，而
x x y y 4,32-=⋅=均不能称为指数函数.
（2）在y=a x
中，当0≤a 时a x
可能无意义，当a>0时x 可以取任何实数，当a=1时，)(1R x a x
∈=，无研究价值，且这时11==x
y 不存在反函数，因此规定y=a x
中.1,0≠>a a 且
（3）指数函数的图象和性质
x a y =
0 < a < 1 a > 1
图 象
性 质
定义域 R
值域
(0 , +∞)
定点
过定点（0，1），即x = 0时，y = 1
（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。

（2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。

单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性
x y a =和x y a -=关于y 轴对称
(4)指数函数y=a x
的性质可以由x
x
x
y y y )2
(,2,10===的图像这三条曲线来记忆. 由图可见，当的底数越大，
，在第二象限部分越 “靠近x 轴”.轴对称，
实际上x a
y ==)1(x 的底数
，在第一象限部分越“靠近x 轴”. (5)1
)
21(
注意：a 值的变化与图像的位置关系（详见图形） 二．经典例题
题型1：根式与分数指数幂的运算
例1．（1）3
4
3
83316
1
54
1
68515--+；（2）3
232+-（3）32ab （4）42)(a -
题型2：指数式的化简求值
例2（1）计算:;)13()32(10008.0)4
16(25.00
132
211-+-⨯-⨯⨯---
（2）计算:2
121
01
1
2])21[()12()35(4
2
-++⨯+-÷-++n n
（3）化简：3
1
6
3)278(--b a （4）化简：
5332
33
23
233
23
134)2(248a
a a a a
b a
a
ab b b a a ⋅⋅⨯
-÷++--
例3．（1）已知31
=+-a
a ，求22-+a a 与33-+a a 的值
（2）已知1
12
2
3x x
-
+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值
题型3：指数比较大小问题
例4（1）6351,9,2===c b a 试比较c b a ,,的大小。

（2）6
3,318,21565
3
===c b a 试比较c b a ,,的大小。

题型4：恒等式的证明
例5：已知函数2
)(,2)(x
x x x e e x g e e x f --+=-=求证)()(2)2(x g x f x f =
题型5：指数函数的图像和解析式
例6：如图为指数函数（1）x
a y =（2）x
b y =（3）x
c y =（4）x
d y =的图像，则d c b a ,,, 的大小关系
题型6：指数函数的定义域与值域
例7：函数1
)2
1(1--=x y x
的定义域
例8：（1）函数)1,0(≠>=a a a y x
在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 是多少？
（2）求函数1
2
-=x y 的值域？
（3）函数124+⋅-=x
x a y 在区间[0,1]上的最大值为3，求实数a 的值？
题型7：过定点问题：
例9：函数)1,0(12
≠>+=-a a a y x 必过定点？
题型8：指数函数单调性问题
例10：函数2
3x ax y -=在区间（1，＋∞）上是单调递减，则实数a 的取值范围？
例11：比较大小
（1）8
.04
=a ，48
.08
=b ，5
.1)
2
1(-=c
（2）31
32
32
)2
1(,)21(,)51(
题型9：指数函数的综合应用 例12：对于函数17
62)
2
1(+-=x x y
（1） 求函数的定义域，值域 （2） 确定函数的单调区间
例13：已知对任意的R x ∈,不等式422
2)2
1(2
1++-+>x mx x x
x 恒成立，求实数m 的取值范围。

例14：（1）方程082
41
=--+x x
的解
（2）若方程0)2
1()4
1(1
=++-a x x
有正数解，则实数a 的取值范围？
例15：已知),1(1
)(R x a a a x f x
x
∈>-
= （1） 判断并证明)(x f 的奇偶性与单调性
（2） 若0)()32(2
2>--++-x x m f x x f 对任意的]1,0[∈x 均成立，求实数m 的取值范围？
例16：设函数)(2
11
2)(R a a x f x
x ∈+-⋅=，且对任意R x ∈,均满足)()(x f x f -=-。

（1） 求a 的值 （2） 求)(x f 的值域
（3） 解不等式：17
15)12(0<-<x f 课后练习：
1、化简下列式子
（1）;)13()32(10008.0)4
16(25.00
132
211-+-⨯-⨯⨯---
（2）2
121
01
1
2])21[()12()35(4
2-++⨯+-÷-++n n .
2、.当10<<a 时，a
a a a a a ,,的大小关系是（ ） A ．a
a a
a a a >> B ．a a
a a
a a
>>
C ．a a a a a
a
>>
D ．a
a a
a
a a >>
3、若函数 是奇函数，则a =
4、（1）已知a>0,且,32
121=+-a a 求
3
2
222
32
3++++--a a a a 的值；
（2）已知a>0，且,1433=--x x
a a
求x a 的值.
5、求函数y ＝234
2x x --+
6、画出函数|13|-=x
y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程k x
=-13无解？有一解？有两解？。