第五章大数定律与中心极限定理

B2 n
=
σ2 i
，若存在正数
δ
，使得
n
→
∞ 时，
i =1
则随机变量
∑ 1
B2+δ n
n
E(| Xi − μi |2+δ ) →0，
i=1
n
n
n
n
∑X ∑ − E( X ) ∑X − ∑μ
k
i
i
i
Z = i=1 n
i =1
n
D(∑X ) i
= i=1
i =1
B n
i =1
的分布函数 F (x) 对于任意实数 x ，恒有 n
153
概率论与数理统计全程学习指导
有 D(Xk ) ≤ M ，则对任意给定的正数 ε ,恒有
∑ ∑ ⎧
lim P ⎨ ⎩ n→∞
1 n
n i =1
Xi
−
1 n
n i =1
E(Xi )
<
ε
⎫ ⎬
=Hale Waihona Puke Baidu
1
.
⎭
特别地，随机变量 X , X ,
1
2
，Xn ,
相互独立且具有相同数学期望 E( X i ) = μ(i = 1, 2, )
) ,则对任意实数 x ，有
∑ ⎧
⎪
n
X − nμ i
⎫ ⎪
⎨ lim P i=1
≤ x⎬ =
⎪ n→∞
nσ
⎪
⎩
⎭
∫ 1
2π
x −t2
e
−∞
2 dt = Φ(x) .
154
第五章 大数定律与中心极限定理
n
∑ 【评注】 n 个相互独立同分布、方差存在的随机变量之和 Xi ，当 n 充分大时，近似 i =1
2、伯努利大数定律
设
n A
是
n
重伯努利试验中事件
A
发生的次数，
p
(0 < p < 1) 是事件 A 在一次试验中
发生的概率，则对任意给定的正数 ε ，有
{ } lim P nA − p < ε = 1.
n→∞
n
【评注】当 n 充分大时， n 重贝努利试验中事件 A 发生的频率几乎等于事件 A 在每次
设 X ⎯P⎯→a，Y ⎯P⎯→b ，又函数 f (x, y) 在点 (a,b) 处连续，则 f (X ,Y ) ⎯P⎯→ f (a,b).
n
n
nn
二、大数定律
1、切比雪夫大数定律
设 X1, X2, , Xn, 是相互独立的随机变量序列（即对任意的 n ，随机变量 X1, X2, , Xn 相 互独立）,其数学期望与方差都存在，且方差一致有界,即存在正数 M ,对任意 i（ i = 1, 2, ），
三、中心极限定理
{ ∑ } 1 n
lim P
n→∞
n i=1 Xi − μ < ε
= 1.
1、列维-林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理)
设随机变量 X , X , , X , 相互独立且服从相同的分布,具有数学期望 E(X ) = μ 和方差
12
n
k
D(X ) =σ2 > 0 (i =1, 2, i
第五章 大数定律与中心极限定理
本章学习要点
① 了解切比雪夫不等式； ② 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大
数定律）； ③ 了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德
伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似 计算有关随机事件的概率.
和方差 D( X i ) = σ 2 （ i = 1, 2, ），则对任意给定的正数 ε ，有
{ ∑ } 1 n
lim P
n→∞
n i=1 Xi − μ < ε
= 1.
【评注】n 个相互独立的具有相同数学期望和方差的随机变量，当 n 充分大时，它们的
算术平均值几乎是一个常数，这个常数就是它们的数学期望.
ε2
设 X , X , , X , 是一个随机变量序列， X 是一个随机变量，如果对于任意给定的正数
1
2
n
ε ，恒有
lim P{ X − X > ε} = 0, n n→∞
则称随机变量序列 X , X , , X , 依概率收敛于 X ，记作 X ⎯P⎯→X .
1
2
n
n
依概率收敛的随机变量具有以下性质：
试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，在实际应用中，当试 验次数很大时，便可以用事件发生的频率来替代事件的概率.
3、辛钦大数定律
设随机变量序列 X , X , 12
，Xn,
相互独立且服从相同的分布,具有相同的数学期望
E(X i
)
=
μ
,（
i
=
1,
2,
） ,则对任意给定的正数 ε ，有
用正态分布近似计算，一般的计算方法是：
① 对 k = 0,1, , n,
P{X
=
k} =
P{k
−
0.5
<
k
≤
k
+
0.5} ≈
⎛ Φ ⎜⎜⎝
k
+ 0.5 − n（p 1 −
pn）p ⎞⎟⎟⎠
−
⎛ Φ ⎜⎜⎝
k
− 0.5 − np np(1 − p)
⎞ ⎟⎟⎠
；
② 对非负整数 k1, k2;0 ≤ k1 < k2 ≤ n
§5.1 知识点考点精要
一 、切比雪夫不等式与依概率收敛
1、 切比雪夫不等式
设随机变量 X 数学期望 E(X) 和方差 D( X ) 都存在，则对任意给定的正数 ε ，有
P{ X − E(X) ≥ ε} ≤ D(X )
ε2
或等价地 2、依概率收敛
P{| X − E(X) |< ε} ≥1− D(X) .
服从正态分布 N (nμ, nσ 2 ) .
2、 棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）
设随机变量Yn 服从参数为 n, p(0 < p < 1) 的二项分布，则对任意实数 x ，恒有
∫ ⎧
lim P⎨
Yn − np
⎫ ≤ x⎬ =
1
x
t2 −
e 2 dt = Φ(x) .
⎩ n→∞
np(1− p)
⎭
2π −∞
【评注】第一章泊松定理告诉我们：在实际应用中，当 n 较大 p 相对较小而 np 比较适中
（ n ≥ 100, np ≤ 10 ）时，二项分布 B(n, p) 就可以用泊松分布 P(λ) （ λ = np ）来近似代
替；而德莫弗—拉普拉斯中心极限定理告诉我们：只要 n 充分大，二项分布 B(n, p) 就可以
⎛
P{k1
<
X
≤
k2} ≈
Φ
⎜ ⎜⎝
k2 − np
⎞ ⎟
n（p 1− p）⎟⎠
−
Φ
⎛ ⎜⎜⎝
k1 − np np(1− p)
⎞ ⎟⎟⎠
.
3、 * 李雅普诺夫定理
设X ,X ,
1
2
,X , n
相互独立，且具有数学期望
E(Xi )
=
μi
和方差
D(X ) i
=σ2 i
≠
0，
（ i = 1, 2,
n
∑ ），记
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概率论与数理统计全程学习指导
∑ ∑ n
n
⎧ X− μ
⎪i
i
⎫ ⎪
⎨ limF (x) = limP i=1 n
n→∞
⎪ n→∞
i =1
B n
≤ x⎬ = ⎪
⎩
⎭
2
t
∫ 1
x−
e 2 dt = Φ(x) .
2π −∞
§5.2 经典例题解析