3.数列中已知前n项和Sn求an

已知数列{}n a 前n 项和n S 求n a

一、数列{}n a 前n 项和n S 求n a 理论知识点:

1S （1n =）

n a =

1(2)n n S S n --≥

注意：数列{}n a 的通项公式是否需要分段表示？

二、典例剖析

（一）已知n S 与n 的关系时，求n a

1、已知数列{}n a 的前项和为n S ，且12

log (1)n S n =+，则101199a a a +++= ；

2、已知数列{}n a 的前项和为n S ，且2log (1)1n S n +=+，求n a 。

3．（湖北卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()n

S n n N n

*∈均在函数y ＝3x －2的图像上。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

3+=

n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *

∈都成立

的最小正整数m 。

4．（2009浙江）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*

n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*

m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．

5.(2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +

∈，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）(文)当b=2时，记 1

()4n n

n b n N a ++=

∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

（二）已知n S 与n a 的关系时，求n a

1．（福建）数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,2(*)n n a a S n N +==∈。（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。

2．（四川卷）数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T

3．(上海卷)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。 （1）求数列{}n a 的通项公式

（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？

4.在正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n

，1n a =, 求证:数列 {}n a 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式

5.（湖南卷）设n S 是数列{}n a （n ∈N *）的前n 项和，1a a =，且222

13n n n S n a S -=+，

0n a ≠，234n = ，

，，． （I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；

（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N *）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项．

6.（重庆）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＞1，且6(1)(2),N n n n S a a n =++∈ （Ⅰ）求｛a n ｝的通项公式；

（Ⅱ）设数列｛b n ｝满足()

,112=-n n a 并记T n 为｛b n ｝的前n 项和，求证：

.N ),3(log 132∈++n a T n n ＞

7． (陕西卷) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .

8．(上海卷)已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1． （1）求证：数列{n a }是等比数列； （2）若a ＝2

1

22

-k ，数列{n b }满足n b ＝

)(log 1

212n a a a n

⋅⋅⋅（n ＝1，2，┅，2k ），求数列{n b }的通项公式；

（3）若（2）中的数列{n b }满足不等式|1b －23|＋|2b －23|＋┅＋|12-k b －23|＋|k b 2－2

3|≤4，求k 的值．

9．（全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333

n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n = （Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n n n T S =，1,2,3,n = ，证明：1

3

2n

i i T =<∑

10．（安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211

,1,1,2,2

n n a S n a n n n =

=--=⋅⋅⋅ （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()()()1

/,n n n n n S f x x b f p p R n

+=

=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111,20(2)n n n a a S S n -=+⋅=≥,求数列{}n a 的通项n a ；

12．已知数列{}n a 中，11

0(1),2n a n a ≠≥=，前n 项和n S 满足：2

221

n n n S a S =-，求数列{}

n a 的通项n a ；