环的同态与同构

: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
同态.
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定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
（3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。
（4） 环同构的应用——挖补定理。
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本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“S 视为R的子环”的不同意义。
④ 若R可交换，则R 也可交换.
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证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
O R a O R a O R a O R
因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1 R a 1 R a a a ,
则当 R,,• 是环时, R, , • 也必是环.
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例1
设
R1
a 0
b c
a,b,c Z
,
R2
a 0
0 c
a,
c
Z
,
则 R1, R2关于矩阵的加法和乘法都构成环.令
a b a 0
R1 R2
: 0
c 0
c
易证 是由R1到R2的一个满同态，从而R1 ~ R2.
例2 若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.
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他们同态吗？
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一 环 同 态 定 义
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定义 1 设 是环 R,,• 到环 R ,,• 的映射.如果 a,b R. 满足:
a b a b, aba b
则称 是一个环同态映射.
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同
态满射(环同态单射,环同构).
环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。
（1） 环同态与群同态的区别所在。
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（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
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由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
同理,
a 1 R a 1 R 1 R .
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③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
a
a
O R
,
所以 aa.
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
则 a b a b a b b a b a b a
因此 ab ba ，故R 是交换环.
定理 3.4.3 若R和 R 都是环,且R R,那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域)当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣 的事实.
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引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
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二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R,,• 和 R, , • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a b, a • b a • b，
特别 是环同态满射时,则称R 与 R 同态,记
为 R～R.
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说明： • 环同态是环之间保持运算的映射. • 如果 为单映射, 则称 为单同态.
• 如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作, : R R ', 并称R与 R '同态.
• 如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同
构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
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说明
（1） 设 为环R到R '的同态, 则 (an ) ((a))n.
证明 由群同态的定义知,
(an) (a a) (a) (a) ((a))n.
（2） 设 为环R到R '的同态, 称集合 ker() {a R (a) 0}
为同态 的核.
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例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
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例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
中: n n.
在例 3 中，显然Z 是整环. 所以Z 中没有零
因子,但在 Z6中,2 和 3、4 都是零因子.即 2 显然不是Z 中的零因子,但 2 2却是Z6 中的零
因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
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例 5 设R (a,b) a,b Z .在R中定义运算
a 1 , b 1 a 2 , b 2 a 1 a 2 , b 1 b 2 . a 1 ,b 1 a 2 ,b 2 a 1 a 2 ,b 1 b 2 .
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
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上课啦！
The class is begin!
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第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
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本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，