线性常微分方程的若干初等解法探讨数学毕业论文
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[含论文、综述、开题-可编辑]
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， （1）
为常微分方程。其中出现的最高阶导数的阶数，叫做常微分方程的阶。例如 ， ，是一阶常微分方程。 是二阶常微分方程。设 定义于区间 上，有直到 阶的导数，将它代入（1），使（1）变成关于 的恒等式，即
，
就称 ＝ 为（1）的一个定义于 上的解，并称 为该解的定义区间。[5]
2.2
在自然科学和经济的许多领域中。常常会遇到一阶常微分方程的初值问题
3 常微分方程的数值
3.1 常微分方程求解的数学思想
从常微分发展历程可以看出，化归是常微分方程的重要数学思想方法，常数变易法、代换法、级数解法、逐次逼近法、算子法、相平面分析法等，都是用联系、变化的观点，有意识地将问题化繁为简，化归解决的。非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题， 高阶方程问题化为低阶方程问题，在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范例。
常微分方程发展的初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代。莱布尼茨成专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题，而欧拉则试图用积分因子统一处理，伯努利、里卡蒂微分方程就是在研究初等积分时提出后人以他们的名字命名的方程。[8]
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔在1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从“求通解”，转向“求定解”时代。同时，由于天文计算的需要促进了常微分方程摄动理论以及小参数幂级数等近似方法的研究。[8]
， ，其中 （1）
值 称为步长。然后近似解
在 上， （2）
设 ， 和 连续，利用泰勒定理将 在 处展开，对每个值 ，存 在一个 和 之间的值 ，使得
， （3）
将 和 代人等式（3），得到 的表示：
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。
矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程引言对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。
微分方程微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如般)”的方程，称为一阶线性微分方程。
1、变量变换方法形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1・1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1・1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy)(1-2)其中c任意常数。
例1求方程£=pa)y的通解，其中P(X)是X的连续函数。
解将变量分离，得到—=p(x)dx y两边积分，即得In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有lyl y=g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx求解方程生一¥ dx y将变量分离，得到y d y=・x d x,两边积分，即得因而，通解为这里c是任意正常数。
或者解出y,写出显函数形式的解y=dy y | . y例3求解方程〒=-+tan- dx X Xy dy du解这是齐次微分方程，以・二u及子二X —+U代入，则原方程变为K dx dxdu IA+u=u+anudu tan udx X将上式分离变量，即有cot udu =—x两边积分，得到n I sm U1 = n I xl +c,这里F是任意常数，整理后得到原方程的通解为例4 求方程X+2jxy=y (x<0)y 以一P及二曙X半+ (LI代入，则原方程变为dx临甥P(1-3)分离变量，du dx两边积分，得到(1-3)的通解Jp- = In(-x) + c 于是p = In(-x) + c .2(In (・x)+c>0)其中c是任意常数。
(完整版)常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文
目录摘要 (I)关键词 (I)Abstract (I)Key words (I)1.前言 (1)2.常微分方程的求解方法 (1)2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)2.1.1直接可分离变量的微分方程 (3)2.1.2可化为变量分离方程 (3)2.2常数变易法 (7)2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (7)2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (8)2.3积分因子法 (12)3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (14)3.1几个重要的变换技巧及实例 (14)3.1.1变为 (14)3.1.2分项组合法组合原则 (15)3.1.3积分因子选择 (15)参考文献 (16)致谢 (17)常微分方程初等解法及其求解技巧摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.关键词变量分离法常数变易法积分因子变换技巧Elementary Solution and Solving Skills of OrdinaryDifferential EquationAbstractOrdinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws,and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.Key wordsVariable separation; constant threats; points factor; transform techniques1.前言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及范围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.2.常微分方程的求解方法2.1常微分方程变量可分离类型解法定义1 如果一阶微分方程具有形式，则该方程称为可分离变量微分方程.若设，则可将方程化为.即将两个变量分离在等式两端.其特点是：方程的一端只含有的函数与，另一端只含有的函数与.对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
线性常微分方程的解法
线性常微分方程的解法线性常微分方程（Linear Ordinary Differential Equation, 简称LODE）是微积分中重要的基础概念之一，它在多个领域中具有广泛的应用。
本文将介绍线性常微分方程的解法，并探讨其中的一些基本原理和方法。
一、一阶线性常微分方程的解法一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x)\]其中P(x)和Q(x)是已知函数。
为了求解这个方程，我们可以借助于积分因子的方法。
假设积分因子是μ(x)，则两边同时乘以μ(x)后，上述方程可以变形为:\[\mu(x)\frac{{dy}}{{dx}} + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x)\]左边的第一项可以通过乘积法则进行展开得到:\[\frac{{d}}{{dx}}(\mu(x)y) = \mu(x)Q(x)\]再对上式两边同时积分，得到:\[\mu(x)y = \int \mu(x)Q(x)dx\]最后将上式两边除以μ(x)，即可得到y的解:\[y = \frac{{1}}{{\mu(x)}}\int \mu(x)Q(x)dx\]二、二阶线性常微分方程的解法二阶线性常微分方程的一般形式可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = R(x)\]其中P(x)，Q(x)和R(x)是已知函数。
通常情况下，我们可以先找到该方程的齐次线性方程的解，即P(x)、Q(x)和R(x)都等于零的情况。
这个方程可以表示为:\[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0\]假设方程的一个解是y1(x)，我们可以根据叠加原理得到方程的通解:\[y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)\]然后我们需要找到该方程的特解，即当P(x)，Q(x)和R(x)都不等于零的情况。
根据经验，我们通常可以猜测特解的形式，并将猜测的特解代入原方程，通过比较系数的方式求解。
学年论文一阶常微分方程的初等解法
摘 要
一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程），三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。
一阶隐方程的一般形式为
（1）形如 的方程的解法，这里假设 有连续的偏导数。引进参数 ，则变为 将两边对 求导数，并以 代入，得到
方程是关于 ， 的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出它的解。
若已求得的通解的形式为 将它代入，得到
这就是得通解。
若求得的通解的形式为 ，则得到的参数形式的通解为
，
这里 是任意常数。
齐次微分方程 ，
令 ，方程可化为分离变量的方程， 。
分式线性方程
下面分三种情形来讨论：
ⅰ） ，这时 为齐次方程。
ⅱ） 及 ，这时可作变换 ，其中 是线性代数方程 的唯一解，可将方程化为齐次方程 。
ⅲ） 及 ，这时可设 ，方程可化为 ，
再令 ，则方程可进一步化为 ，这是一个变量可分离方程。
第二项经化简后，成为
例3设有如图的电路，其中 为交流电源的电动势； 为电阻，当
电流为 时，它产生的电压降为 ； 为电感，它产生电压降 ， 为一常数。今设时刻 时，电路的电流为 ，求电流 与时间 的关系。
解根据基尔霍夫定律，有如下关系
整理后，得到关于 的线性方程式
即要求解初值问题
由线性微分方程求解公式有
积分后得到
常微分方程 课程论文
《常微分方程》读书笔记数学与应用数学（师范）2班 李霞 200902114078本课程作为一门的专业课程，综合性强、内容多、难度大，学者在学习过程中应注意，学习前，应仔细阅读课程大纲，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
在阅读某一章教材内容前，应先认真阅读大纲中该章的考核知识点，注意对各知识点的能力层次要求，认真学习各章节例题，熟悉各种类型习题解法。
学完教材的每一章节内容后，应完成教材的习题，进一步理解和巩固所学的知识，增强解题能力。
在学习常微分方程时，还需要掌握高等代数，近世代数，数学分析，线性代数，数值积分等基础知识。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
一、一阶微分方程的初等解法1.1 变量可分离的微分方程形如()()dy f x y dx ϕ=的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ϕ分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数．如果()0y ϕ≠，我们可将(1)改写成()()dy f x dx y ϕ=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到()()dyf x dx c y ϕ=+⎰⎰，c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程的解．例1：求解2dyxy dx=的通解。
解：12dy xdx y =→12dy xdx y=⎰⎰→21ln y x c =+→通解：221x c x y e ce +=±= 1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想） 一阶微分方程可以化成dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的形式。
常系数线性微分方程的解法研究
不是特征根，故可令其特解为： 代入到方程中化简有：
故得出其特解为： ，由引理可知，
方程的特解为： ，由非其次方程解的结构可知原方程的通解为：
小结：此种方法就避免了在设特解时出现三角函数的情况，从而使得计算变得简便，在实际的求解过程中，复函数法和叠加法配合使用，就可以把待定系数法中的复数形式归并到实数求法的体系中，这样就使得计算思路既简单又清晰.
令：
同上可知，上式中 为特征方程根 的重数，而 均为待定系数的次数不高于 的 的多项式.
说明：对于此种类型的特别情况如 ，还可以用“复数法”进行求解，由此可归入到类型1中.在上述的介绍中，基本上都是以特解为实数进行说明的，第一章中也对复数解做了一些介绍，其实不管解是实数还是复数，都可以把其解看成一个整体，进而进行说明即可.
这篇论文一直在尝试从一阶到二阶直至更高阶的推证，推证的思想就是找出公式间的相似性，并在此基础上进一步找到隐藏的规律，直至本质.整个过程以推导证明为主，辅以适当的例题说明，并不断的加入自己的理解，希望通过写作这篇文章，能对常系数线性微分方程的结构和解法有较为深刻的理解.由于作者知识有限，错误与不足在所难免，敬请批评指正.
待定系数法，是针对几类 的特殊情况而通过设特解的办法，通过待定系数到解出系数的过程来解出方程.
对于非齐次常系数线性微分方程而言，其解通常由两部分构成即：
其中 称作齐次通解，而 称作特解，就 来说，第一章中已经给出了求解的方法，这里就 的求解来加以说明.前面已经讲过 的类型不同，其设特解的形式也不一样，现就以下几种形式加以介绍：
即
积分后得到
这里 是任意常数.现将其代入到（2.3）中，得到（2.1）的通解：
这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法.
常微分方程初等积分法解法研究(二)伯努利方程
例题： 求解方程：
方程两端同除以 ：令有：ຫໍສະໝຸດ 利用常数变易法求出其通解为：
代换
得原方程通解为：
例题：
解以下微分方程：
两边除以 ，得：
利用分离变量法，可得：
他可以用积分因子方法求解：
两边乘以
，得：
等式的左边是
的导数，两边积分
于是：
伯努利微分方程
伯努利微分方程是形如 的常微分 方程。其中 、 为 的连续函数， 为常数 且 0,1。
求解方法：变量替换法
利用变量替换法可将伯努利方程化为线性方程。
步骤如下： ⑴ 方程两端同除以 ，得：
⑵令
即可化为一阶线性微分方程：
⑶ 通过常数变易法求得一阶线性非齐次方程 的通解。
⑷ 最后经变量代换得原方程的通解：
(最新版)常微分方程的初等解法_毕业论文
1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
常微分方程的数值解法及其应用
引 言自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画。
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。
求一阶常微分方程的解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。
由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较复杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。
然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的。
实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。
所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。
本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。
从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。
在自然科学和经济的许多领域中。
常常会遇到一阶常微分方程的初值问题b x a y x y y x f dx dy ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==.)(),,(00 这里),(y x f 是充分光滑，即关于x 或y 满足李普希茨条件的二元函数，0y 是给定的初始值，00)(y x y =称为初始条件。
几类常系数线性微分方程解法讨论【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学几类常系数线性微分方程解法讨论一、选题的背景、意义常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。
从诞生之日起很快就显示出这门课程不仅在数学科学领域起着重要的作用，而且在物理、经济、工程等领域也是它在应用上的重要作用。
特别是作为Newton 力学的得力助手，在天体力学和其它机械力学领域内显示了巨大的功能。
Sir I Newtont通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。
海王星的存在是天文学家U Le Verrier和J Adams先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的，这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大能量。
随着科学技术的发展和社会的进步，常微分方程的应用不断扩大和深入。
时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是最常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其他数学分支的支援如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
反过来，常微分进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。
现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
[2]二、研究的基本内容与拟解决的主要问题大家知道，许多数学题都不仅仅只有一种解题方法，对于常系数线性微分方程也是一样，我们可以用很多种方法来求解它。
浅谈线性微分方程的若干解法
浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】本文主要讨论了线性微分方程的若干解法。
首先介绍了线性微分方程的定义和分类，包括常系数和变系数线性微分方程。
接着分别展示了常系数线性微分方程和变系数线性微分方程的解法，并介绍了矩阵法、特征方程法以及常数变易法求解线性微分方程的具体步骤。
对不同方法进行了比较，探讨了线性微分方程解法的选择原则和实际意义。
本文通过系统的介绍和分析，帮助读者更好地理解和解决线性微分方程问题，为相关领域的学习和研究提供了重要参考。
【关键词】线性微分方程、常系数、变系数、矩阵法、特征方程法、常数变易法、解法、比较、选择原则、实际意义、引言、正文、结论。
1. 引言1.1 线性微分方程的定义和分类线性微分方程是一类重要的微分方程，其定义为形如\[a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x )\]的微分方程，其中\(a_i(x)\)和\(g(x)\)是给定的连续函数，\(y\)是未知函数，\(n\)为非负整数。
线性微分方程可分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两大类。
常系数线性微分方程的系数\(a_i\)为常数，变系数线性微分方程的系数\(a_i(x)\)是关于自变量\(x\)的函数。
常系数线性微分方程的解法包括特征方程法和常数变易法两种常用方法。
特征方程法通过求解特征方程来得到方程的通解，而常数变易法则通过假设方程的特解为常数函数来求得方程的一个特解。
变系数线性微分方程的解法相对困难一些，通常需要利用适当的变换或逼近方法来求解。
除了以上方法，矩阵法也是一种求解线性微分方程的有效方法。
通过将线性微分方程转换为矩阵方程，可以利用矩阵的性质和运算来求得其解。
线性微分方程是微分方程理论中重要的研究对象，其解法涉及多种不同的方法。
在选择解法时需要根据具体问题的特点和系数的性质来确定最合适的方法。
解决线性微分方程不仅有理论意义，也在实际科学和工程问题中起着重要作用。
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)
【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】几类常微分方程典型的解法（20 届）本科毕业论文几类常微分方程典型的解法摘要:自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画,微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的最为基本的数学理论和方法.在我们的现实生活中存在着各式各样的微分方程,常微分方程是其比较重要的存在形式.常微分方程作为现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,因此对常微分方程进行求解有一定的必要性.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及相关应用.关键词:常微分方程;变量分离;积分因子;伯努利方程The Solution to Several Kinds of Differential Equations Abstract: Many things in nature's law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the differential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool that people solve practical problems. Therefore it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications.Key words: Ordinary Differential Equations; Separation of Variables; Integrating Factor; Bernoulli Equation1 绪论 11.1 论文选题的背景、意义 11.2 常微分方程的发展动态 22 几类常微分方程的一般解法 52.1 微分方程及其解的定义 52.2 变量分离法72.3 变量代换法92.4 常数变易法153 几类常微分方程的特殊解法19 3.1 凑全微分法193.2 积分因子法214 几类解法在伯努利方程中的应用25 4.1 伯努利方程的由来254.2 伯努利方程的求解264.2.1 变量分离法 264.2.2 变量代换法 274.2.3 常数变易法 284.2.4 部分凑微分法295 结束语306 致谢317 参考文献 32论文选题的背景、意义自然界中很多事物的运动规律可用常微分方程来刻画,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的演变规律的最为基本的数学理论和方法.常微分方程理论研究已经有300百年的历史,当牛顿 Newton,1642-1727 、莱布尼兹 Leibniz,1646-1716 创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.“300年来分析是数学里首要的分支,而微分方程又是分析的心脏.这是初等微积分的天然后继课,又是为了了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里最大部分思想和理论的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此评价微分方程在数学中的地位[1].常微分方程的发展极大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术学乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也推动了微分方程的进一步深化,使之成为当今经济发展和社会进步所不可或缺的一门技术.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出微分方程的解是十分重要的.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有的理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[2].本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.常微分方程的发展动态常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[3].尽管在耐皮尔 John Napier,1550-1617 所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的. 1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出“微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容. 牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[3].莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如的方程,同一年,他又用变量分离法解出了一阶齐次方程.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程中的是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件.他确立了可采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解. 1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的阶线性常微分方程,并利用变换提出欧拉方程[4].19世纪是微分方程严格理论的奠定时期,此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段,人们从求通解的热潮转向研究常微分方程的适定性理论.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考.第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西A.Cauchy,1789-1857 ,19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹Rudolph Lipschitz.1832-1903 提出著名的“李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿与皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性、奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题[3].19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1826年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式,并指出对不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究比较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱 Henri Poincare,1854-1912 就开始了微分方程的定性研究,从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类焦点、鞍点、节点、中心 ,讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫1857-1918 创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型[5]、两生物种群生态模型[6]、人口模型[6]等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果[6],一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.物理、化学、航空航天、经济、天文、自动控制和经济领域中的许多原理和规律都可以用微分方程来描述,如万有引力定律、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反过程稳定性的研究、人口发展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此,常微分方程的理论研究和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多地应用于社会科学的各个领域.随着社会技术的发展和需求,常微分方程会有更大的发展,比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,常微分方程还会继续扩展.几类常微分方程的一般解法微分方程及其解的定义在初等数学里已经学过方程，形如,,等都是方程，其中是未知量，它们的解是某个特定的值．也见过另一类方程，例如，，等，这里若为自变量，则和就是未知函数，它们的解是的函数，这种方程称为函数方程．本文研究的是另一类方程，是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程，这种方程称为微分方程．其中必须含有未知函数的导数．例如，2-1，2-2，2-3，2-4， 2-5，2-6，2-7等等都是微分方程[7]．定义 2.1[8]在微分方程中，自变量个数只有一个的方程为常微分方程． ordinary differential equation,ODE ．定义 2.2[8]在微分方程中，自变量个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程． partial differential equation,PDE ．所以，在以上的微分方程中， 2-1 ～ 2-5 式是常微分方程，自变量只有一个， 2-1 式、 2-1 式、 2-5 式的自变量为,是未知函数；2-3 式的自变量为，是未知函数； 2-4 式的自变量为，为未知函数2-6 式、 2-7 式是偏微分方程,自变量有两个及两个以上，在 2-6 中自变量是，在 2-7 中自变量是,未知函数均为．定义 2.3[8]微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如方程 2-1 、 2-2 、 2-3 都是一阶方程, 2-4 、2-6 、 2-7 都是二阶方程， 2-5 是阶方程．定义2.4设函数连续，且有一直到阶的各阶导数，使得2-8则称函数为方程2-9的解[8]．定义把含有个独立的任意常数的解称为阶方程 2-9 的通解．为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解锁必须的条件,这就是所谓的定解条件．常见的定解条件是初值条件和边值条件．所谓阶微分方程 2-9 的初值条件是指如下个条件：当时，,,, 2-10这里是给定的个常数．初值条件 2-10 有时可以写为. 2-11满足初值条件的解称为微分方程的特解[8]．变量分离法形如……………………………………… 2-12的方程，称为变量可分离方程，其特点是右端为仅含有的函数和仅含有的函数的乘积[9]．例如方程，，都是变量分离方程．设，分别是，的连续函数，我们分两种情况进行讨论．若，先分离变量，方程两边同除以，乘以，把方程 2-12 化为． 2-13然后，两边分别对和积分，得． 2-14令，，则式 2-14 可写成， 2-15这里是任意常数．等式 2-15 是方程 2-12 的通解通积分．2 若有实数，使得，则把函数常值函数代入方程 2-12 直接验证，可知也是方程 2-12 的解．上述讨论说明，为了求解方程 2-12 ，关键在于使变量和分离出来，使得的系数仅是的函数，的系数仅是的函数，从而就可以通过各自积分求得其通积分，这种方法就是变量分离法[9]．这里需要指出的是：当时，方程 2-12 与隐函数方程 2-15 是等价的，即方程 2-12 和 2-15 的解集相同．由此,我们可以看出，变量分离方程的求解思路主要分为三步： 1分离变量， 2 对方程两边同时积分并整理得通解， 3 由初始条件求方程的特解[10]．求解方程. 2-16解由题可知原方程时变量可分离方程．1 当时，变量分离可得等式两边积分，有．整理得，2-17其中是任意非零常数．2 另外，经检查，也是方程 2-16 的解．而只要我们允许上式中的可取零值，则就可被包含在上式 2-17 中它对应的解，因此，方程 2-16 的通解为，为任意常数．求解方程．解由题可知原方程是变量可分离方程．将方程变形为．变量分离可得．等式两边积分，有．整理得．即，这里是任意常数．变量代换法一些方程，常常可以通过引入适当变量代换，化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程．我们通过两种方程来介绍变量代换法：我们称形如2-18的方程为齐次方程，其中为的连续函数．显然作为的函数是零次齐次的，例如方程，，都是齐次方程．求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换，亦即用一个新的未知函数代替原来的未知函数，将方程 2-18 化成变量分离方程．利用变量替换来换来解微分方程是一种常用的技巧．对于方程2-18 ，我们做如下的变量替换，2-19亦即，这里是用新未知函数来代替原来的未知函数，故也是的函数，于是．2-20将 2-19 ， 2-20 代入方程 2-18 即得；由此推出．2-21这是一个变量分离方程，其通解为．2-22再利用变换 2-19 可得原方程 2-18 的通解．这时若存在使得，则也是 2-18 的解[11]．求解方程．解此方程是齐次方程．令，代入原方程，得．即．2-23当时，分离变量得．等式两边积分，得到．整理得．2-24另外，由，即，知方程 2-23 还有解，．若在式 2-24 中允许，则这些解包含在式 2-24 之中．再用换回原变量，就得到原方程的通积分为，是任意常数．求解方程．解方程可以改写为，故它是齐次方程．令，则，代入原方程，得．整理得． 2-25若，分离变量，得．等式两边积分，得到．2-26由，知方程 2-25 还有解，．但是，若在式 2-26 中允许，则解包含在式 2-26 之中．再用代入式 2-26 ，得到原方程的通积分为，为任意常数．另外，由可得解．2-27的方程也可经过变量替换化为变量分离方程，这里均为常数．对于这种方程，我们分三种情形来讨论：①①常数情形．这时方程化为，有通解为， c为任意常数．②情形．即，令，这时有，这是一个变量分离方程，我们可以用变量分离法求得它的解．③情形．即，若不全为0，这时可做变换从而所求方程变为，这也是一个变量分离方程，可通过变量分离法求解．若，则可取变换，再用变量分离法求得[8]．求解方程2-28解容易看出，方程 2-28 是属于上面的情形③，因此先求出方程组，的解为．令，代入方程 2-28 ，则有，2-29再令，即，则 2-29 化为，等式两边积分，得，因此，记，并代回原变量，得，．此外，容易验证，即也是方程 2-29 的解，因此方程 2-28 的通解为，其中为任意常数．求解方程．2-30解解方程组，得．令，代入方程 2-30 ，则有．2-31再令，即，则方程 2-31 化为．解此方程，得．将换成，得故原方程的通积分为，为任意常数．常数变易法一阶线性微分方程，2-32其中，在考虑的区间内是的连续函数．若 0，则 2-32 式变为，2-33为一阶齐次线性微分方程．若，则 2-32 为一阶非齐次线性微分方程．1 首先对齐次线性微分方程 2-33 式进行求解，其中是连续函数．将 2-33 式变量分离，得到，两边积分，得．为任意常数由对数定义，即有，即，令，得到．2-342 再讨论非齐次线性微分方程 2-32 式通解的求法．不难看出， 2-33 是 2-32 的特殊情形，可以设想：在 2-34 中,将常数变易为的待定函数．令，2-35对其求导，得． 2-36 以 2-35 ， 2-36 代入 2-32 ，得到，即，积分后得到，为任意常数将上式代入 2-35 ，得到方程 2-32 的通解． 2-37 这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法[8]．求解方程，这里是常数．解将方程改写为．2-38先求解齐次线性微分方程的通解，从得到齐次线性微分方程的通解．2 应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解．为此，在上式中把看成为的待定函数，即，2-39微分之，得到． 2-40 以 2-39 及 2-40 代入 2-38 ，得到，积分之,求得．因此，以所求的代入 2-39 ，即得原方程的通解，这里是任意常数．求解方程．解将方程改写为．2-41先求齐次线性微分方程的通解．分离变量并积分之，得．令是方程 2-41 的解，将它代入方程 2-41 ，得到．即，积分之，得．因此，原方程的通解为,是任意常数．几类常微分方程的特殊解法凑全微分法我们可以将一阶方程写成微分的形式，或把平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程，3-1这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数．这样的形式有时便于探求方程的通解．如果方程 3-1 的左端恰好是某个二元函数的全微分，即，3-2则称 3-1 为恰当微分方程全微分方程．容易验证， 3-1 的通解就是，这里是任意常数．方程 3-1 是恰当方程的充要条件是，3-3且方程 3-1 的通解就是[6].．对一些恰当微分方程，为了求出相应的全微分方程的原函数，可以采用分组凑微分法来求解．即把方程左端的各项重新进行适当的组合，使得每组的原函数容易由观察求得，从而求得，这种方法更为简便．“凑全微分”这一步骤，要求我们非常熟悉一些常用的全微分公式，例如：，，，，，，，，，．试用凑微分法求解方程．解因为,，所以此方程是恰当微分方程．将方程重新“分项组合”，得到即，于是，即．所以，方程的通解为．这里是任意常数．试用凑微分法求解方程．解因为，所以此方程是恰当微分方程．将方程重新“分项组合”，得到，即，即，所以，方程的通解为这里是任意常数．积分因子法我们已经知道了全微分方程的解法，某些例如的方程虽然不是全微分方程，但是可以设法将它们化为全微分方程．例如，方程不是全微分方程，但用函数乘该方程后，它变为了全微分方程，其左端的原函数为．一般来说，若方程 3-1 不是全微分方程，但是存在连续可微函数，用它乘以方程 3-1 后，能使方程， 3-4成为全微分方程，则称为方程 3-1 的一个积分因子．这时，是 3-4 的通解，因而也是 3-1 的通解．需要注意的是，一个方程的积分因子不是唯一的．根据3.1，函数为 3-1 的积分因子的充要条件是，即， 3-5 这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程．要想通过解方程3-5 来求积分因子，从而得到方程 3-1 的解，在一般情况下，将比求解方程 3-1 本身更难．但是，在特殊情形中，求方程 3-5 的一个特解还是很容易的．例如，对于方程 3-1 ，如果存在只与有关的积分因子，则，这时方程 3-5 变成，即．3-6由此可知，方程 3-1 有只与有关的积分因子的充要条件是，3-7这里仅为的函数．假如条件 3-7 成立，则根据方程 3-6 ，可以求得方程 3-1 的一个积分因子．3-8同样， 3-1 有只与有关的积分因子的充要条件是，这里仅为的函数．从而求得方程 3-1 的积分因子[8]．试用积分因子法求解方程．解因为,，两者不等，它不是恰当方程．注意到，它只与有关，所以方程只有积分因子．以乘原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是．试用积分因子法求解方程．解因为，，两者不等，它不是恰当方程．注意到它只与有关，所以方程只有积分因子．以乘以原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是．几类解法在伯努利方程中的应用伯努利方程的由来17世纪由牛顿、莱布尼兹创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具．此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引．尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏尔斯特拉斯等人．自从微积分被创立,很多数学家就用微积分这一工具去解决问题．但是，他们发现有些问题不能通过简单的积分解决，而是需要其他的技术，所以，微分方程也就诞生了．对于微分方程的产生于发展，伯努利家族做出了巨大的贡献．在引言中提到的“等时问题”，雅各布??伯努利将其归结为求一个微分方程的解，他认为这个微分等式两端的积分必须相等，并给出解答，这是一条摆线．在给出这个问题解答的同一篇论文中，雅各布??伯努利提出了一个新的问题：一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点，求这个弦所形成的曲线．莱布尼兹称此曲线为悬链线．问题提出一年后，莱布尼兹、惠根斯和约翰??伯努利分别给出了解答．对此，约翰感到莫大的骄傲，他认为这是胜过哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥尽管提出这个问题，但不能解决．在这两兄弟的互相竞赛中，在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的问题．在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法[12]．。
线性微分方程(组)的求解及若干应用文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学线性微分方程（组）的求解及若干应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）常微分方程是一个重要的数学分支，同时还作为了解决实际问题的一个重要数学工具．而本文所要讨论的线性微分方程（组）则是一类特殊的常微分方程．由于在很多微分方程求解的过程中，我们常常都会遇到一些困难，对于求解这类方程，一般情况下我们是把它转换成线性微分方程，这样便于求解．本文主要是研究线性微分方程（组）的求解及其若干应用．因此，我们有必要掌握线性微分方程（组）的一些基本概念．在学习常微分方程的基础上，我初步了解了线性方程解的结构．在查阅并整理各类相关资料的基础上，我更深一步地熟悉了各种类型的方程，并且能够灵活、准确、迅速地选用相应的方法对其进行求解．然而，在应用线性微分方程求解实际数学问题时，对于简单的，大家就信心满满；而一旦遇到一些困难，复杂的，就不知道从哪里入手，因此我们常常会讨厌做这种题目，久而久之就会对它失去兴趣，其实很多时候都是有规律可循的．除了要掌握好线性微分方程（组）的基础知识外，本文对所学知识还进行了概括与总结，并运用相应的方法来求解方程．为了更简便的求解难题，本文将主要介绍不同形式的线性微分方程（组）的若干解法，并做出更好的归纳，利于提高我们的解题技巧与能力．常系数齐次线性微分方程组x Ax '=的解用特征根的求解方法，就有两种情况，即单根与重根，则其求解时有一定差别的．有些变系数线性齐次方程（组），可以选择适当的变量替换为常系数线性齐次方程（组），从而可求得其通解．例如对于欧拉方程110111n n d x d x dx n n t a t a t a x n n n n dt dt dt --++⋅⋅⋅++=--在自变量变换下，可化为常系数的方程．这里(12n)a i i =⋅⋅⋅，，，为常数，该方程的特点是x 的k 阶导数的系数是t 的k 次方乘以常数．因此，通过变量变换ut =e ，把原方程化为常系数齐次微分方程的形式．二阶线性方程的概念：一般形式为()()()f y p x y q x y x '''++=.其中()p x 、()q x 、()f x 是x 的连续函数．()()0y p x y q x y '''++=称为其对应的二阶线性齐次方程．Banach 空间上的隐式常微分方程：下面定义X 是实数域上或者是复数域上的Banach 空间，R 是实数，R +是正实数．对于0x ，0y X ∈，0t ∈R ，a ，b R +∈，{}c R +∈+∞，下面把D 表示成集合(){}0000,,:,,D t x y R X X t t t a x x b y y c =∈⨯⨯≤≤+-≤-≤，而函数(),,F t x y 是定义在D 上，并且在数域X 上变化，因此，我们定义隐式常微分方程为()()()0000,,0,F t x x x t x x x y '=⎧⎪⎨'==⎪⎩凯莱 - 哈密尔顿定理：如果()n A M C ∈，那么其特征多项式满足()A p A O =，在这里的O 就是零矩阵．二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）常微分方程诞生于运用数学分析方法解决物理与力学问题的过程中，它的发生发展史就是一部数学建模史．而线性微分方程又是一类特殊的常微分方程，它占据着重要的地位，许多类型的线性微分方程的发现都遵循着这样一个过程：1)在工程或自然科学研究中发现问题，提出问题；2)对实际问题进行分析，提炼出数学模型，建立目标函数的关系式(含有未知函数导数的关系式就是微分方程) ，提出相应的定解条件；3)求这个方程的解析解或数值解,或对方程解的性态进行分析；4)用所得的结果来解释实际现象，或对问题的发展变化趋势进行预测．这个过程就是数学建模过程．数学建模思想是线性微分方程发展史所反映出的最重要的数学思想．从17 世纪末开始，对天体问题、摆的运动及弹性理论等问题的数学刻画引出一系列常微分方程．在天文学上，一般星体都是通过观察得到的，而海王星的发现却是个罕见的例外．牛顿研究天体运动的微分方程，从理论上得到行星运动的规律，而这些规律原来只是由开普勒通过观测归纳出的．而后1846 年，法国巴黎天文台的勒威耶(Leverrier ,1811～1877) 在对这个微分方程进行数值分析计算的基础上，预言太阳系中还有第八颗行星的存在，并计算出了第八颗行星的位置，这之后人们按照他的计算结果通过观察才找到海王星．这一事实既推动了天文学的发展，也促进了微分方程的发展．1690 年雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli ,1654～1705)用简单的微分方程的方法解决了与钟摆运动有关的等时问题，以及悬链线问题．之后的雅各布·伯努利与约翰·伯努利兄弟还解决了许多类似的弹性问题，他们的工作推进了微分方程的发展．线性微分方程是在解决实际问题的过程中产生的，它的研究又促进了实际问题的解决，同时也促进其他学科的发展．线性微分方程在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用．如电子计算机与无线电装置的计算问题可归为微分方程求解;弹道计算与飞机飞行中的稳定性研究可归为线性微分方程的求解;化学反应中稳定性的研究也可归为线性微分方程求解等等[1]．目前，线性微分方程的实际背景广、应用性强的特点已受到广泛关注．许多国外教材和国内新版教材已在书中明确强调这一点,并在教材中编入实际应用的例子，希望通过大量的实际问题突出数学的应用，引导学生建立线性常微分方程模型解决各种实际问题．在编写教材和教学的过程中有意识地渗透数学建模思想，一方面可以促使学生深刻领会数学建模思想、方法，逐渐掌握并在实践中应用这一思想，提高学生应用数学的能力；另一方面,教学目的从单纯强调知识、技能转向注重培养学生数学思维能力，应用数学的能力，也表明教学工作者教学观念、教学思想的转变,是时代进步的标志[2]．文献[3]主要是介绍了常微分方程中的化归思想，例如非齐次方程问题化为齐次方程问题，一阶线性方程组化为一阶线性方程问题，高阶方程问题化为低阶方程问题．常系数非齐次线性微分方程，经采用欧拉待定指数函数法，将求解问题化归为代数方程根的问题，从而省去了积分运算；皮卡逼近法，将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题，进而化归为一致收敛的函数列问题；拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题，化归为关于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程问题，完全符合化难为易，化未知为已知，化繁为简的化归原则．文献[4]（第六章）介绍了线性微分方程的作用，即在一些数学问题中有许多都是涉及到非线性微分方程的问题，我们通常可以对它们采用线性化的方法简化为线性微分方程的问题，这样的话在求解的过程中就可以比较简便的解答．文献主要是讨论了线性微分方程组的一般理论和一些解法，并把这结果应用到线性的高阶微分方程式中，它们是求解微分方程实际应用的工具，也是理论分析的基础．文献[5]主要是介绍了常微分方程的思想方法与应用．通过对常微分方程的几个典型实例的分析，揭示该学科浸透数学建模思想，且其应用非常广泛，在物理、工程、力学、天文学、生物学、医学、经济学等诸多领域都有重要作用．从提高学生应用能力与创新能力的角度出发，探讨在常微分方程教学中进行数学建模教学的可行性与必要性．文献[6]讨论关于高阶线性微分方程的直接积分法．对高阶常系数线性微分方程求解，不同于特征方程法，待定系数法，也不同于算子法，而是利用逆算子记号，变为直接积分，求出（非）齐次方程的通解；而对于高阶变系数线性微分方程，也可以运用直接积分法，不过需要实现线性微分算子的因式分解，联立一阶线性微分方程组才能求得．这种直接积分法应用更广泛，更完整．文献[7]要讨论的是关于一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的新方法，即直接解法．众所周知，n 阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和．而考虑如下形式的微分方程()y py qy f x '''++=（其中p ，q 为不全为零的常数且()0f x ≠）而对()()()1cos sin x n f x e P x x P x x λωω=+⎡⎤⎣⎦（其中λ，ω是常数，()1P x ，()n P x 分别是关于x 的1次、n 次多项式，其中一个可为零）的类型，则可以利用叠加原理，运用简单的直接解法就可以求得其解，同时还可以推广到高阶方程．文献[8]讨论的是关于常系数非齐次线性微分方程组的初等解法，我们可以先从一元微分方程入手，把非齐次的转化为齐次微分方程，而齐次微分方程的通解就可以通过特征方程的根来决定，同时常系数非齐次的线性微分方程的通解就可以简单的求得．再来考虑n 元方程组的求解，就可以转化为由若干个相互独立的高阶常系数非齐次线性微分方程组成的方程组,其系数可以利用矩阵的形式表达，通过高阶常系数齐次线性微分方程的特征根法和非齐次方程的待定系数法求该方程组的基本解组及特解，最后通过初等变换求原方程组的基本解组及特解，从而可求出其通解．文献[9]主要讨论变系数线性常微分方程组的求解，着重考虑一类只含二个未知函数的变系数微分方程组．其实我们在学习线性微分方程的同时，经常碰到一个非常重要的问题是如何求解变系数的微分方程组，该类方程组在现实世界中应用也很广泛，然而在一般教材中不可能给予详细的介绍．事实上变系数的微分方程组没有统一方法求解，本文结合实际教学经验，在这方面作些探讨基于刘维尔公式，文中还给出另外一种解法．文献[10]讨论几类变系数线性常微分方程的求解，在科学研究、工程技术中，人们常会遇到二阶或高阶变系数线性微分方程,一般形式的这类方程，无法用初等积分法求解，也没有通用的一般性方法．但这类方程中的一些特殊类型仍可求解．为了满足理论研究和工程实践的需要，一直以来，人们用不同的方法在不断的探讨这一问题，极大地扩展了变系数线性微分方程的可积类型．借助双变换－未知函数的线性变换和自变量的变换，将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程，从而求得它们的通解，所得结论推广了著名的Euler 方程及前人的一些的工作．文献[11](第五章）主要讨论了线性微分方程组，其实在微分方程理论中，线性微分方程组是非常值得重视的一部分内容，因此，为了更好的了解，引进了向量和矩阵的记号，并且利用线性代数的结果解释线性微分方程组的理论．文献主要包括了其解的存在性，以及一般性理论，从而来求解常系数线性微分方程组．文献[12]主要介绍了二阶线性微分方程解的讨论，主要是运用积分解法，给出了一些特殊情形下的求解过程以及一些计算公式．因此在一些类似的二阶线性微分方程中就可以直接利用公式进行求解，这样的话，就会显得更快．文献[13]是讨论Banach空间隐式常微分方程的解的存在性定理，在给出隐式常微分方程的条件下，运用Ascoli-Arzelap定理进行证明其解的存在，从而使得结果比以往有更大的改进．文献[14]主要是讨论了变量代换的思想在解线性微分方程中有着广泛的应用．通过对原方程的变量(自变量或因变量)用新的变量代换，使原方程化为相对易解的方程类型，从而达到求解的目的．但是，值得注意的是，如果你能很好的抓住方程的本质特征，利用变量代换形式的多样性，可以找到多条解方程的途径．本文着重讲解了四种类型的变量代换，对方程解法的关键是要找到合适的函数作变换，在寻找过程中我们的目标始终是化为简单易求的方程．文献[15]（第四章）主要是讨论了线性系统的一般理论.从复数域上进行研究，在矩阵、向量的形式下，运用S N -分解，凯莱 - 哈密尔顿分解定理等，同时求出了()d y A t y dt →→=()b t →+ 的解得存在性以及唯一性问题．不仅如此，还证明了一些重要的理论，进而计算一些较复杂的问题.文献[16]在数学学习方面是一部重要的工具书，书中收集了大约1650个常微分方程（组）的解和其解法的提示，还给出了许多重要的结果，以便在计算中能更好的应用．内容主要分为第一部分是一般解法，第二部分: 边值问题和特征值问题，第三部分: 各种微分方程．文献[17]主要是介绍Maple ，MATLAB 在常微分方程中的应用以及求解，结合了常微分方程基础理论、基本方法和数学软件的系统，保持了系统相对完整，方法与技巧多样化的特点，突出了从问题出发引导、发现解决问题的途径，进而导出重要的概念、命题、定理和解题方法的过程．用数学建模的思想求解线性微分方程，从而运用到实际生活中．总而言之，线性微分方程（组）是一类重要的常微分方程，很多情况下，对于求解非线性微分方程，我们都需要把它转化为线性，这样可以方便求解．因此，本文着重介绍了几类特殊的线性微分方程（组）的求解方法，同时找寻一定的规律，熟练掌握．在此基础上，要会运用所学的知识建立数学模型，从而联系实际问题．三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）众所周知，在数学的一些实际应用中有许多涉及到非线性微分方程（组）的问题，一般，它们的求解都是比较困难的，但我们通常可以对它们采用线性化的方法简化为线性微分方程（组）来求解．就像未解决的问题通过某种转化过程归结到另一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终使原问题得到解决．有意识地将问题化繁为简,因此，掌握线性微分方程（组）的相关知识，理解一些基本概念 及其解的结构，探索其求解方法，具有理论和实际意义．本文通过查阅各种相关著作、教材和文献，系统的归纳和总结了线性微分方程（组）的求解方法，特别地介绍了几类变系数线性微分方程（组）的求解，在此基础上，要会运用所学的知识建立数学模型，从而联系实际问题．四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1] 高素志,马遵路,曾昭著等.常微分方程[M].北京:北京师范大学出版社,1985.[2] 周义仓,靳祯,秦军林. 常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003.[3] 黄雪燕.常微分方程的化归思想[J].长春师范学院学报(自然科学版).2007,26(04):24-26.[4] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2008.[5] 常广平.常微分方程的思想方法与应用[J].北京联合大学学报(自然科学版).2005,19 (02):45-47.[6] 彭如海.高阶线性微分方程的直接积分[J].华东船舶工业学院学报(自然科学版). 2003,17(03):77-82.[7] 温大伟,陈莉,王红芳,魏瑾.一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法[J].2010,1(02):04-06.[8] 宋燕.常系数非齐次线性微分方程组的初等解法[J].2010,13(03):17-20.[9] 黄守军.变系数线性微分方程组的求解[J].安徽师范大学数学计算机科学学院(科技信息).[10]章联生,王勤龙.几类变系数线性常微分方程的求解[J].北京石油化工学院学报2003,11(04):27-30.[11] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.7.[12] 李姝菲,赵明.二阶线性微分方程解的讨论[J].吉林师范学院学报.1998,19(01):21-24.[13] Linyi. On Existence Theorem of Solution for Implicit Ordinary Differential Equation in Banach Spaces[J].西南师范大学学报(自然科学版).2003,28(01):33-36.[14] 郭亮,王茗倩.变量代换法在求解变系数微分方程中的应用[J].科教平台.2007,(06):133-134.[15]Po-Fang Hsieh, Yasutaka Sibuya. Basic theory of ordinary differential equations [M]. Beijing: HigherEducation Press, 2007.[16] (德)卡姆克(E. Kamke) .常微分方程手册[M].科学出版社,1977.2[17] 钟益林,彭乐群,刘炳文.常微分方程及其Maple, MA TLAB求解[M].清华大学出版社,2007.10.。
浅谈线性微分方程的若干解法
浅谈线性微分方程的若干解法【摘要】线性微分方程是微积分中的重要内容，解析解与数值解是两种常见的求解方式。
本文将从常系数和变系数线性齐次微分方程的解法入手，介绍了特解的求解方法。
然后深入探讨了常系数和变系数线性非齐次微分方程的解法，并比较了不同类型线性微分方程的求解方法。
结合实际问题讨论了线性微分方程的解法选择。
通过本文的学习，读者可以更全面地了解线性微分方程的若干解法，从而更好地解决相关问题。
【关键词】线性微分方程、解析解、数值解、常系数、变系数、齐次微分方程、非齐次微分方程、特解、求解方法、比较、解法选择。
1. 引言1.1 线性微分方程的基本概念线性微分方程是微积分学中一个重要的分支，它广泛应用于物理、工程、经济等领域。
线性微分方程的基本概念可以简单概括为含有未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
未知函数通常代表某个物理量或者变量，而已知函数则是对未知函数的约束条件。
线性微分方程可以分为常系数线性微分方程和变系数线性微分方程两种类型。
常系数线性微分方程的特点是系数不随自变量而变化，而变系数线性微分方程则相反，系数是自变量的函数。
对于线性齐次微分方程，当右端为零时，即为齐次方程，否则为非齐次方程。
而解析解与数值解的区别在于，解析解是通过解析方法得到的一个公式表达式，而数值解则是通过数值计算方法近似得到的解。
理解线性微分方程的基本概念对于学习和应用微分方程至关重要。
通过掌握线性微分方程的基本概念，我们可以更好地理解和应用不同类型的线性微分方程的解法。
在接下来的内容中，我们将详细讨论常系数和变系数线性微分方程的解法以及特解的求解方法，帮助读者更深入地了解线性微分方程的解题技巧和方法。
1.2 解析解与数值解的区别解析解与数值解是两种不同的求解线性微分方程的方法。
解析解是通过数学分析和求解得到的精确解，通常以具体的函数形式表示。
而数值解则是通过数值计算方法得到的近似解，通常以数值形式表示。
解析解的优点在于能够给出精确的解析表达式，可以直接得到解的性质和特点。
常微分课程小论文
投入寻求微分方程的通解，
一度曾以此作为衡量自己
数学水平高低的标尺，终 于在100年后，拉格朗日 （ Lagrange J. L.，17361813）发明了常数变易法 成为18世纪常微分方程求 解的最高成就。
常微分方程简介
5
之后微分方程的历史不仅总 是与微积分联系在一起，很 难详细区分其细节，而且大 多以微积分为主导。常微分 方程理论形成后出现的新分 支，如定性理论、稳定性理 论及动力系统理论的历史已 有系统论述。
常数变易法可以将非齐次方程的解设为 y C(x)eax sin bx
e(2ap) Q(x) e(ap)x sin bx dx
y eax sin bx
sin2 bx
dx
考虑齐次微分方程组
dx dt
1 t
x
y
验证x=t2,y=-t是解，并求通解
dy
dt
y(xi1) y(xi )
xi1 f [x, y(x)]dx
xi
15
梯形公式
xi1
xi
f
x,
y xdt
h
f
xi ,
y
xi
f 2
xi1,
y xi1
改进的Euler
方法
代入上式，得到：
y(xi1) y(xi ) h f
du v u(dv p(x) v) q(x)
dx
dx
令 dv p(x) v 0 分离变量 dx
（1）
v Ce p(x)dx
y
uv
一类常微分方程的初等解法浅析
撰 文 提 倡 使 用 humor 一 词 的 音 译 形 式 明学生无论年纪和学习阶段都喜欢具有 息被过滤掉，语言输入受阻，其真正理解
“幽默”，并为国人所接受。按照《现代汉 幽默感的教师。唐树芝先生说“: 教师善不 吸收的信息就更加有限。而幽默的语言
语词典》的解释，“幽默”的意思是“有趣 善于运用幽默，具不具有幽默感，能不能 营造了轻松愉快的学习气氛，创造了良好
教学中运用幽默的语言艺术可以缓解学生在英语课堂上的焦虑感减轻情感过滤提高学习效率语言焦虑是语言学习者在外语学习中产生的特有的一种复杂心理现象是指学习者因需要使用外语进行表达时产生的恐惧或不安心理
·理 论 研 究
学科教育
一类常微分方程的初等解法浅析
邓小青
（湖南商学院，湖南 长沙 410205）
摘 要：《常微分方程》作为高等院校信科专业的一门学科基础课受到师生普遍重视，本文以一类常微分方程的初等解法为例， 引导学生对书上的疑难点深入研究，以培养学生的探究能力。
1．教学中运用幽默的语言艺术可以
力，从而提高学生英语学习的积极性和 以其独特的艺术美丽，在学生会心的微 缓解学生在英语课堂上的焦虑感，减轻情
主动性。什么是幽默语言艺术，在英语教 笑中提高教学艺术效果和水平的活动。 感过滤，提高学习效率
学中如何运用幽默语言艺术及运用的原 （李如密，教学艺术论）
语言焦虑是语言学习者在外语学习
此③为
x du =- u2+1 。
④
dx u+xn-m f（u）
g（u）
然后对④况讨论。
情形 1：当 m=n 时，方程④显然是变
量分离方程，易求得其通解为
1n | x | +∫u+f（uu2）+1/g（u）du=c， ⑤
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线性常微分方程的若干初等解法探讨作者：XX指导教师：葛玉丽摘要：介绍求解常微分方程的几种初等解法，如常数变易法，积分因子法，拉普拉斯变换法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程解法，揭示了常微分方程的求解规律，从而找到最优解法.关键词：常数变易法；积分因子；特征根法；拉普拉斯变换0引言常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于常微分方程的初等解法，既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.1一阶常微分方程的求解方法1.1方程能解出y11.1.1变量分离方程形如斜f（X）J）的方程称为变量分离方程.f（x）, "y）分别是x,y的连续函数.例1空・口^0.dy y解将变量分离得「ye"dy二e3x dx ；两边积分得：1^^^1e3x■ 1c;2 3 6因而通解为：3ey_2e3x=c ( c为任意常数).这是一种相当简洁的解法，是最基本的解法，对于比较复杂的方程，需经过一系列变换，最后利用变量分离求解.1.1.2常数变易法对于一阶线性齐次方程—P(x)y =0它的通解为y =ce_呛皿从此出发，将通解中的任意常数c换成待定函数u(x)，假设丫丸&归"朋(1)为一阶线性非齐次方程y'p(x)y=q(x) ( 2) 的解，为了确定u (x)，将(1)代入八p(x)y=q(x)的左边，得到p(x)dxy p(x) y 二u (x)e从而得到u (x)e_ PS" = q(x)，即u(x) = qge 'gdx积分后得到u (x)q(x)e p(x)dx dx - c ,其中c为任意常数把u (x)代入(1)中，得到方程(2)的通解为y二e屮恥(q(x)^^x)dx dx c)例 2 解方程：y(1 - x2y2)dx = xdy.解方程变形为- xy3令z二y，，dx x则主一2y‘或；dx dx代入变形方程为：空2x-空；dx x利用常数变易法，其中p(x) 2,q(x) —2x;x2则它的通解为z—Z .弓；2 x2代回原来的变量y，得到〔一x c,；y 2 x2 4即原方程的通解为务乜c；y22此外，方程还有解常数变易法实际上也是一种变量替换法，虽然用其来解一阶非齐 次线性微分方程时和变量代换法并无原则区别，但将它推广到解高阶 线性微分方程21和线性微分方程组时就显出了它的优越性，变易常数思想是解微分方程的重要数学思想，对非线性方程(如贝努利方程， 黎卡提方程)3】也可使用常数变易法求解，并且常数变易法在数学分 析中有很多应用，比如求解中值问题及存在性问题，祥见文献 411.1.3积分因子法把一阶线性微分方程 dy 二P(x)y Q(x) (1 )改写为如下的对称形 dx 式：dy — P(x)ydx=Q(x)dx (2)，一般而言，(2)不是恰当方程，但以 因子M ( x )<-P(x)dx乘(2)两侧，得到方程：e_p (4 5)dxdy 一e —pg p (x)ydx 二e —pg Q(x)dx ，即 d(*p(x)dxy) = MP(x)dxQ(x)dx 它是恰当方程，由此可直接积分，得到e —PgdXy二Q(x)^^x )dxdx c这样就求出了方程的通解 八e p g( Q(x)「""Sx • c) ( 3)c 为任意常数，其中u (x )为积分因子，一般情况下，积分因子是很难寻求的， 只有在很特殊的情况下才很容易求得•4例 3 求解(x 2y x 3cosy)dx (x 2y 「x 「'sin y)dy 二 0.2解 因为^=1 - x 3sin y,』二 2xy -1 - 2x 3sin y ；.y :x则方程不是全微分方程，若把原方程改写为222(ydx -xdy) x (dx ydy) x (xcos ydx sin ydy) = 02可以看出积分因子，因为上式两端同乘以 A ，有xxydx - xdyx 22 22(dx ydy) (xcosydxsinydy) = 0 ;52即-d(y) d(x 丄)d(工cosy) =0x 2 22 2从而得到方程的通积分丄X丄•冬cosy-c,x 2 2或X3cosy 2x2xy2ex _2y = 0 .此解法，目的明确，方法自然，学生很容易接受，逐步改变了一上来就直接用任意常数变易法求解一阶线性微分方程的方法，取而代之是按上述方法一步步求解，这一过程使我们顺利掌握了一阶线性微分方程的通解，同时更容易理解任意常数变易法，这样从不同角度，用不同方法解决了同一问题，更能深刻的体会到任意常数变易法的巧妙之处.1.2方程不能解出y这时把x看作是y的函数，再看是否能解出x；成为方程X、f (x,y) 可用以上方法求解；但对于不能显性表示为y丄f (x, y)或x丄f (x, y)或M (x, y)dx - N(x,y)dy=0的方程，可分为两类：1.2.1 方程能就y (或x)解出y = f(x,y )(或x二f(y, y ))这时令y 'p (或x 'p )把问题转化为求解关于p与x (或y )之间的一阶方程p = f x(x, p) f p(x, p) (或-=f y(y, p) f p(y,卩)虫)，再利dx p dy用以上方法，求得通解为门(x,p,c)二0 (或：(y,p,c)二0 )则它与y = f(x, p)(或x二f(y,p)) —起构成原方程的通解的参数形式.例4研究克莱洛(claivaut )方程y =xy「:(y) (1).解令y丄P代入原方程y二xp jp)假定「(p)两次可微且;:'(P) 0;两端对x求导，得(X (p))亚=0dx取dp=0 则p=c；dx代入(1)得到通解八ex「(c)取x+A(p)=O，则「x+A(P：O 即/+珂p)=0y=xy7®(y) 、y = xp + ®(p)由于八(p) - 0，则(2)中第一式存在隐函数p = p(x)，代入第二式就得到一个解y =xp(x) •「( p(x))，则这个解也可以由联立方程'y = ex + ®(c)来表达.、x + ®'(c)=0故克莱洛方程除了通解y=cx「(c)之外，还有一个由{:;c x(;育所决定的解-例 5 求解y( y -1)e y'.解令y =p，代入原方程y=(p-1)e p；两边同时对x求导，则y' =e p dp• (p -1)e p並,dx dxp = pe p? dx则当p =0时,y - -1 ；当p7时，e p dp二dx，则x二e p c, c为任意常数，x = e p十c则得到方程参数形式的通解{ p，P = 0 ；y = (pT)e p且当p =0时，y = -1也是方程的解.总结：由于此方程的形式与前面所分析的类型不一致，，可以先观察所给的方程的形式，利用变量代换的思想，经过一系列变换，化为我们最熟悉的形式.1.2.2方程不能就y , y'或x解出对于形如F(x, y)=0或F(y, y')=0的方程，引入参数t，将方程表示为参数形式，再注意到关系式dy二y'dx，就将问题转化为求解关于y (或x)与t 的一阶方程，且其导数dy(或dX)已表示为t的已知函dt dt数，最后的工作就是求积分的问题.例6求解x6y'2 =1.解令y'=cost=：p，则原方程可化为：x2cos21 = 1，贝卩x = sin t，p = cost ；由于dy 二pdx ,则dy=cos2tdt ,两边同时积分，则y」」sin2t c ;2 4则原方程的通解为x =sint , y = - ^sin2t c.2 4例7 y7 _x3(1 _y) =0.解令y =tx =p，代入原方程为(t3-1 • tx)x3= 0 ;则x # -t2;由P=y，贝S dy = pdx , p=1-t3；即dy 二P二dt 二p-p -2t)dt =(1 -t3)(-；7 -2t)dt = (2t8-t -Rdt ,dt t t t2两边同时积分：— c ；5 2 t6则原方程的通解为x=】-t2, y二占5-' 1c .t 5 2 t2高阶常微分方程的求解方法高阶常系数线性微分方程的一般形式是y（n）a i y（n" a n」y a.y 二g（x）（1）其中a j（i=1,2川，n）为常数，g（x）为连续函数；依据常系数线性微分方程的通解结构理论，知方程（1）的通解可表示成该方程的一个特解与其对应的齐次方程的通解之和.方程（1）对应的齐次方程y（n）• a i y（nJI）• ||| • a n」y • a*y = 0，由于它具有线性结构，一般采用Euler待定指数函数法可以得到通解，因而非齐次方程（1）的通解的计算只需寻到它的一个特解即可；有关特解的计算方法较多，如常数变易法5，待定系数法6】，积分法7】等，因此接下来介绍线性微分方程的求解方法的几种归类.2.1常数变易法例8已知齐次线性微分方程的基本解组x1,x2，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解：x"-X = cost,% = e? ,x2二e」.解应用常数变易法，令x二C1（t）e? • C2（t）e‘，将它代入方程，则可得：G(t)e? q(t)e」=0,q (t)e t _e」c2(t) =cost解得：cost _t ' cost tG(t) e',C2(t) e t；2 2sin t- cost _tG(t) e A,由此4— sin t- cost t ±，5(t) e s则原方程的通解为总结：利用一阶常微分方程的常数变易法的思想，推广到高阶常微分方程，关键是找出决定C i(t),C2(t)的方程组，从而求出高阶方程的通解.由此可知，常数变易法一般用于给定非齐次线性微分方程特解的方程，这种方法简洁明了，但是比较局限，是最基本的解法.2.2特征根法主要是利用把微分方程的求解问题化为代数方程的求根问题的思想.我们知道简单的一阶方程y' a^0，其中a为常数，它有特解y 乂曲，由于y(n)- ajz •a n」y a n y =0与y ay =0都是常系数线性齐次方程，因而猜想方程y(n)+^2)+|H+a n」y'+a n y = 0也有形如y = e" 的解，其中■是待定常数，为了确定出使y =/为y(n) Fyg +lll + an』y +a・y = 0的解的■，先将它代入方程中，实际上有 (丸n+印钏 4 +|H + a n J +a n)e" =p(九)e 样，其中p(丸)=丸n+a上n_ 十川+ a n/ + a n 称为特征多项式.则y=e"为方程y(n)七胪"1)+|n + a n」y+a n y = 0的解的充要条件是p(，)= 0，即，应是方程p(■ )=0的根.下面分两种情况讨论：10特征根互异：首先，假设p(H0有n个互异的实根ddlll'n，这时，依上述讨论，方程y(n)a1y(n4Mir a n4y' a n^0有n个特解y i =e匕y2 =e/,|H,y n =尹，则函数y = c,e"乜沙+川+厲尹为方程y(n)yy n(—1川a n4y 4y =0的通解，其中G,C2」|I,C为任意常数.例9求方程y -y 4y -4y = 0的通解.解特征方程为■彳J" .4：—0，故特征根为‘1 =1, '2 =2i, '3 - -2i，因而基本解组为e x,cos2x,sin2x, 故所求通解为y=G e x qcos2x c3sin2x ,其中c1,c2,c3为任意常数.20特征根有重根：设入是k重特征根(),由上述讨论知，e肪是y(n)+町2 +|H + a n」y+a』=0的一个解，但这时由于互异的特征根的个数小于n,故相应地线性无关的解的个数也小于n,要得到通解，这些特解是不够的，对应于!，除解e"x外还应补上哪些解呢？先来研究二阶常系数方程y' • py • qy = 0, 8】并设p2=4q，特征方程为・2p「q=0，特征根为 \ J P「｛2「4q,.2「P ：2—4q，即7 7 P ；'1 二’2p_Px 易见，’i二-扌为二重特征根，因而，首先有特解％二e 2；现在求已知方程的和y i线性无关的另一个特解，由* 1 - p(x)dxy = cy i c% =e dx 知，y1取c*=0,c=1 , 则另一特解可取为1 _J p(x)dx —：x e®" gx5.辛 dx=e e^dx^xe ，p 即当’1=「p是二重特征根时，二阶方程除了有解％二J/之外，2_p x还有与它线性无关的另一个特解y2=xe 2.根据以上讨论，对于一般的情形，我们有如下的定理：如果方程y(n)y y n—1|)「azy a n y =0有两两互异的特征根対，丸2,1",丸p，它们的重数分别为耳，口2,1朴,m p，m之1，且m +叫+IH + m p二n，e l X,xe l X,|H，x m」e l X; y, xe竺川,x m2'e'2x；IHIIIIIHIIIIHIIIHIIIIII则与它们对应的方程的特解是e'p x,xe'p x,|H，x m2e'p x;例10求方程y4—5y"' 9y" -7y' ・2y=：0的通解.解特征方程是■4-5 39^ 2=\-—2)(' -1)^0故特征根是，1 =2,‘2 =，3 = ' 4 = 1,则它们对应的解为：2x x x 2 xe , e ,xe , x e ,故所求通解为：y = Qe2x C2e x C3xe x C4x2e x，其中CiCC©为任意常数.总结：欧拉待定指数函数法，即特征根法，在高阶常微分方程中占据了十分重要的位置，要熟练掌握不同类型的解法，从而对于给定的方程能游刃有余.2.3 n阶常系数线性非齐次方程解法对于形如y(n)a i y(n_1^|| a n4y a n^ f (x)的解法，它的通解等于其对应的齐次方程y(n)a1y(n4^H a nJ y' a n^ 0的通解与它本身的一个特解之和.2.3.1比较系数法(待定系数法)下面分两种类型讨论：10设f(t) =(b°t m^t m4 J|| b m4t b m)e"，其中■及b j(i =0,1,川,m)为实常数.当，不是特征根时，y(n)-刖⑴①• III • a n^y' a“y = f(x)有形如%(x)二Q (x)‘e勺特解，其中Q m(x)二q°x m• qx m i ll「q m^x • q m当■是k ( k -1)重特征根时，y(n) yyZ〉• ll「a^)y ' a*y 二f (x)有形如yi(x )=x k Qm(x) e x的特解，其中Q m(x) =q°x m+护心+|||"皿"“皿, 对于y(x )中的Q m(X )的系数，则可以由待定系数法求得.例11求方程y -5y 6y =6x2— 10x 2的通解解先求对应齐次方程y”_5y「6y=0的通解，其特征方程是■2-5.；” - 6 = 0 ；故特征根为“2,〔,2=3从而，对应齐次线性方程通解为2x 丄3xy~e C2e ；由于一0不是特征根，因而已知方程有形如、=局 Bx，c的特解. 为确定代B,C将它代入原方程中，由于y'2Ax B,y、2A,故2A -52Ax B) 6(Ax2Bx c) = 6x2-10x 2.比较上式等号两端x的同次幕系数，可得 A.1, B=0, C=0, 故已知方程特解为％=x2，则原方程的通解为y =x2• Ge2x• C2e3x.例12求方程y -4八4y =2e2x.解军由于，_ 4 「4=0 贝廿J‘1 =，2 = 2故齐次方程通解为：y=e2x(c, c2)，由于兔=2为二重特征根，故有乂=Ax2e2x,故 A =1, % = x2e2x,则原方程的通解为y = x2e2x e2x(c, c2x).2 设f(t) =[A(t)cos ：t B(t)sin ：t]e：t，其中―为常数，而 A (t),B(t) 是带实系数t的多项式，其中一个的次数为m，—个的次数不超过m，则有形如x =t k[P(t)cost Q(t)si nt]e：t的特解.其中k为特征方程P ( ■)0的根的重数，而P(t),Q(t)均为特定的带实系数的次数不高于m的t 的多项式1 找_i_f X i f X _1妆根据欧拉公式，有cos：x=e e,sin :x = e e2 2ii R亠j-f i i p：」妆则f(t)=A(t)e e e：x B(t)- e e —A~t)e(：5 B~t)e(：』)x2 2i再利用迭加原理，于是有两种形式：(1)如果:不是特征根，则特解具有形式y i ^e：x[Q m(1)cos x Q m(2)sin *]其中Q m⑴(x)Q⑵(x)是系数待定的m次多项式.(2)如果:是k重特征根，则特解应具有形状比=x k e ax[Q m⑴(x)cos ：x Q m(2)(x)sin x].例13 求解方程x" x =sint — cos2t .解先求对应的齐次方程x' x=0，我们有，21=0,故特征根为、=i, ‘2 = i ；由于迭加原理，则原方程可化为"x" + x = s i nHx+x = _co2t(1)对于x • x二si nt，由于〉_i-= i是特征根，故方程x • x = si nt 具有形如禺=t(Acost - Bcost)的特解，现将上式代入x'' x = sint，则1A ,B =0;2贝卩x x 二si nt 的通解为~ ■ -11 cost G (t) cost c2(t)sin t.2(2)对于x" • x二—co$2t，由于〉-r = 2i不是特征根，故方程x • x二-coQt具有形如x^i = (Aco令t ' Bsi r2t)的特解.现将上式代入x x = —cos2t ，贝卩 A = 9 , B =0,3则 x x = _cos2t 的通解为 x =-cos2t - c~i cost ~2Sint .31 1故原方程的通解为 ~ = c 1 cost c 2 sint-—tcost —cos2t .2 3总结：比较系数法用于方程右端f(t )是某些基本函数的情况，常 见的有：多项式，指数函数，正弦(或余弦)函数以及它们的某种乘 积组合，然后根据f(t)的前面所归纳的类型，从而求出方程的特解， 进而求出通解.2.3.2拉普拉斯变换91它无需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解来，从而在 运算上得到很大简化，这一方法的基本思想是：先通过拉普拉斯变换 将已知方程化为代数方程，求出代数方程的解，再通过逆拉普拉斯变 换，便可得到所求初值问题的解.由积分F(s)二.0：©』鮒)水所定义的确定于复平面上的复变数 s 的 函数F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，其中f(t)与t_0有定义，且满足不 等式f(t)Me*，这里Mf 为某两个正常数，这时f(t)为原函数，而F(s) 称为像函数.例14求函数f(t)二e at的拉普拉斯变换.11IA例 15 解方程 x x 二 sint;”0)= 0,x(0) =.由于 殳” • bint 】，从而s 2x(s) 1 x(s)解八-言心恤二丄兰劲|0泳 亠a=s-ax(s)(1 s 2) =11 1 _s2 2 >1 s22 2(1 s 2)1 s 2-1 x(s)2 2 ,2(1 +s 2)21 s 2由于tcostd s2,(1+s2)2 ?故所求初值解为x(t) 一_ltcost.2当然，方法本身也有一定的局限性，它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数，否则方法就不适用了，关于拉普拉斯变换的一般概念及基本性质，请参阅有关书籍.233幕级数解法幕级数解法待定的是级数的系数，因而通常计算较大，其实幕级数解法适用二阶以上的高阶齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程，也能求其特解或通解.二阶线性方程p o(x)y'' p!(x)y' P2(x)y =0.在近代物理学以及工程技术中有着很广泛的应用，其中幕级数解法不但对于求解方程有意义，而且还由此引出了很多新的超越函数，在理论上是很重要的.下来给出两个定理，若要了解定理证明过程，可参考有关书籍10 [ 定理1如果pogpdx), P2(x)在某点x o的邻域内解析，即它们可展成X-X。