《数值模拟导论》讲义-第十四讲 有限体积法1-郑百林2015

t ( D j D j 1 ) 2x a
2
若
Dj
u jn u jn1 x u jn1 u jn x
u jn 2 4u jn1 3u jn 2x u jn1 u jn1 x a
2
t (u jn 2 2u jn1 u jn ) 2x 2x
若采用零阶重构：
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
ˆ f j 1 / 2 au j
假设时间步长足够小
x j 1/ 2 a(t tn ) [ x j 1/ 2 , x j 1/ 2 ]
则： 则方程为：
u ( x j 1/ 2 a(t tn )) u j
Lax-Friedrichs分裂 Van Leer分裂： 根据当地Mach数分裂
f (f * U) / 2
Liou-Steffen分裂： （压力项与其他项分开， AUSM类格式的基础）
差分、有限体积都可使用
(2) FDS 方法 （通量差分分裂——特征投影分裂）
目的：
U
L j 1 / 2
u f (u) 0, f (u) au, a 0 t x

t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
需要得知时间演化信息，通常利用特征方程
u u a 0, a 0 t x
Riemann解
u ( x, t ) u0 ( x at )
f j 1/ 2 (t ) au j 1/ 2 (t ) au n ( x j 1/ 2 a(t tn ))
半离散
j-1
j
j+1
ˆ ˆ ( x) f ˆ u u j 1 / 2 f (u ( x j 1 / 2 ))
重构
u jn u jn1 n ˆ f j 1 / 2 a 2
u jn t
a
u jn1 u jn1 2x
0
等价于二阶中心差分
2. 一维Euler方程的有限体积法
Institute of Applied Mechanics School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics
数值模拟导论(INS)
（ Introduction to Numerical Simulation ）
第十四讲 有限体积法 (Finite Volume Method) 主讲教师 郑百林 (Lecturer Zheng Bailin) 助理教师 张锴 李泳 杨彪 何旅洋 王琪(TA Zhang Kai, Li Yong, Yang Biao , He Lvyang & Wang Qi)
UL j 1 / 2
U
R j 1 / 2
R UL j 1 / 2 U j , U j 1 / 2 U j 1 1 1 UL (3U j U j 1 ), U R (3U j 1 U j 2 ) j 1 / 2 j 1 / 2 2 2
根据特征方向，选择左通量或右通量 差分法—— 同一点的导数可使用向前差分和向后差分，根据特征方向选择之
u jn t

x
0
f 在j+1/2点的值，仍需要使用周围 点 进行插值 f (u )
k
ˆn f f jn j 1 / 2 代替 1 / 2 通常无法精确计算， 可采用近似值
j-1/2
j+1/2
u jn t
n j

ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
n
0
n
ˆ f
n j 1 / 2
u ( x, t ) u0 ( x at )
x Dj ( a (t t n )) 2
0阶重构—— 1阶精度 线性重构—— 2阶精度
1 t

t n1
tn
x a2 au j 1/ 2 (t )dt a(u D j ) D j t 2 2
x x j 1/ 2 x x j 1/ 2
2）
ˆn f j 1/ 2 (t ) f(U( x j1/2 , t ))
左重构值
UL j 1 / 2
精度： 取决于重构的精度 （原则上可任意阶）
UR 整体思路： 先重构自变量（两种方案得 U L ）， j 1 / 2 j 1 / 2 到 再求解Riemann问题（或用FVS）得到通量的方法通常称为 MUSCL方法。
u f (u ) 0 t x
仅空间积分

x j 1 / 2
x j 1 / 2
(
u f (u ) ) dx 0 t x
n f jn 1 / 2 f j 1 / 2
1 u j (t ) x

x j 1 / 2
x j 1 / 2
u ( x, t ) dx
j-1/2
j+1/2
U
R j 1 / 2
ˆn f j 1/ 2
j-1
j
j+1
1. 利用精确Riemann解——Godnov格式 1） 精确求解Riemann问题
L U j 1/ 2 U ( x, t n ) R U j 1/ 2
控制体积 右重构值 UR j 1 / 2
j+1 j j-1
or
Dj
u jn1 u jn x
or
或其他方法
C. 更高阶的重构例如: 分片二次函数 （PPM）, WENO等
有限差分法的离散：数值微分过程 有限体积法的离散：数值积分过程 重构是有限体积的空间离散化过程，有多 种方法
（2） 演化过程 （以线性方程为例）
1 ˆn f j 1 / 2 t
积分（精确）
u jn 1 u jn t

ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
0
积分方程
离散化
u jn 1 ˆn f j 1 / 2 t
1 x

x j 1 / 2
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
u jn u n ( x) 重构（Reconstruction)
有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x ( , , ) y y ( , , ) z z ( , , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f V f f V V U 3 1 2 1 2 3 t
U
L j 1 / 2
U
R j 1 / 2
途径1： FVS 途径2：FDS
ˆn f j 1/ 2
2. 分裂方法 （1）: FVS方法 （流通矢量分裂 —— 逐点分裂）
f f f
保证 f

的Jocabian阵特征值为正， f 的为负

L R ˆn f j 1/ 2 f (U j 1/ 2 ) f (U j 1/ 2 )
(
u f (u ) ) dxdt 0 t x
含义： f在j+1/2点的值 （注意与差分法的区别）

定义：
x j 1 / 2
x j 1 / 2
(u n 1 u n )dx

t n1
tn
( f j 1/ 2 f j 1/ 2 )dt 0
u jn
1 x

x j 1 / 2
x j 1 / 2
u n ( x ) dx
空间平均 时间平均
ˆ f
n j 1 / 2
1 t


t n 1
tn
f j 1/ 2 (t ) dt
0
u jn 1 u jn t
ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
精确推导，不含误差
u f (u ) 0 t x
1 ˆn u n ( x) f j 1 / 2 t

t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt

t j 1 / 2
t j 1 / 2
f j 1 / 2 ( x ) dt 反演（evolution)
(1) 重构过程
j+1
A. 零阶重构，假设分片常数
u n ( x) u j x j 1/ 2 x x j 1/ 2
j-1
j
B. 线性重构，假设分片线性函数
u ( x) u D j ( x x j )
n n j
零阶重构与一阶重构示意图
Dj u jn1 u jn1 2 x
Dj
u jn u jn1 x
绪论 (Abstract)
有限体积法的基本概念 (The Basic Concept of Finite Volume Method)
一维Euler方程的有限体积法 ( The Finite Volume Method of One-dimensional Euler Equations )
多维问题的有限体积法 (Finite Volume Method of Multidimensional Problems)
差分法：Godnov格式使用分片常数，精 度1阶 有限体积法：先重构，再解Riemann问 题，可高阶
精确Riemann解（见本讲座第2讲）需迭代求解，计算量大 -> 近似Riemann解
U f(U) 0 t x
j-1/2
j+1/2
半离散
U n j t

ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
j-1
j
j+1
0
控制体积 右重构值 左重构值
j+1 j j-1
1. 重构
选择不同的模板会得到不同的重构方案 向左偏的模板产生 向右偏的模板产生 例如： 0阶重构 1阶单边重构 ……
n j
u jn 1 u jn t

ˆn ˆn f j 1 / 2 f j 1 / 2 x
a
0
a2
Euler方程： 演化过程可通过Riemann解或近似 Riemann解进行
u jn 1 u jn t
u jn u jn1 x( D j D j 1 ) / 2 x u jn 1 u jn t u jn 1 u jn t a
正通量： 向左偏斜重构； 负通量： 向右偏斜重构 与迎风差分法类似： 网格基（或权重）偏重上游 具体方法： Steger-Warming 分裂
偏重向上游
k k k
2
f A U
~ ~ ~ 2( 1)1 2 3 ~ ~ ~ ~ ~ f (λ ) 2( 1)1u 2 (u c) 3 (u c) ~ ~ 2 3 ~ 2 2 2 2 (源自文库 1)1u (u c) (u c) w 2 2
ˆ J 1 ( f f f ) f 1 x 1 y 2 z 3
J 1
( x, y , z ) ( , , )
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度 实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
优点
有限体积法
简单、计算量小、易于提 本身包含几何信息，易处 高精度 理复杂网格
Warming-Beam
Dj
a
t (u jn1 2u jn u jn1 )
Lax-Wendroff
一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法
2. 半离散方法
全离散： 积分方程 代数方程 （守恒性好，但复杂） 半离散： 积分方程 常微分方程 （简便，便于使用R-K等成熟方法）
不足
差分离散与几何解耦，难 复杂、不易提高精度 以处理复杂网格
实质： 把几何信息包含于离散过程中
1. 有限体积法的基本概念
u f (u ) 0 t x
j-1/2 j+1/2
j-1
j
j+1
1. 全离散型过程
在控制体上积分原方程

tn
t n 1
x j 1 / 2
x j 1 / 2
n
u jn 1 u jn t
a
u jn u jn1 x
0
等价于一阶迎风差分
若采用线性重构
u n ( x) u jn D j ( x x j )
u j 1 / 2 (t ) u n ( x j 1 / 2 a (t t n )) u jn D j ( x j 1 / 2 a (t t n ) x j ) u jn