泰勒公式及其在在计算方法中的应用

泰勒公式及其在在计算方法中的应用

Revised on November 25, 2020

泰勒公式在计算方法中的应用

摘要：泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便.

关键词：泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分

§1 引言

泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor 公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用.

§2泰勒（Taylor ）公式

定理1 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1+n 阶导数,则对该邻域内异于

0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：

()2

0000000()()()()()()()()()2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x '''=+-+-+-+……+n!

(1)

其中 (1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=

-+ （2

）

公式（1）称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 阶泰勒公式,()n R x 的表达式（2）称为拉格朗日型余项. 定理2 若函数()f x 在点0x 存在直至n 阶导数,则有

()2

00000000()()()()()()()()(())2!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x '''=+-+-+-+-……+n!

(3)

公式(3)称为()f x 按0()x x -的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式,形如0(())n o x x -的余项称为佩亚诺型余项.

特别地：在泰勒公式(1)中,如果取00x =,则ξ在0与x 之间,因此可令

(01),x ξθθ=<<从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林（Maclaurm ）公式:

()()()

1

12(0)(0)()()(0)(0)2!(1)!

n

n n n f f f x f x f f x x x x n θ++'''=+++++……+n! (01)θ<<

（4）

在公式(3)中,如果取00x =,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式：

()2(0)(0)()(0)(0)()2!n n

n f f f x f f x x x o x '''=++++……+n!

(5)

§3 泰勒公式的求法

（1）带佩亚诺余项的泰勒公式的求法

只要知道()f x 在x =0x 处n 阶可导，就存在x =0x 带佩亚诺余项的n 阶泰勒公式。

（1）直接求法：通过求0()f x 0()f x '……()0()n f x 而求得; 例如求：,sin ,cos ,ln(1),(1)x a e x x x x ++等

（2）间接求法：利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。 基本根据：泰勒公式的唯一性。 设()f x 在x =0x 处的n 阶可导，且

……00()(())n n n A x x o x x -+- (x 0x →)

①

()0()

!

k k f x A k ⇒= 0,1,2,3k =……n 。

()000()

()(())!

n n n f x x x o x x n +-+-…… (x 0x →)

②

将①②式相减得：

()000()

)()(())!

n n n n f x A x x o x x n ++--+-……（ (x 0x →)

令000()x x f x A →⇒=

将上式两边同除以(x 0x -),令0x x →10()A f x '⇒=……其余类似可得。 方法：四则运算，变量替换，逐项积分

§4 泰勒公式在计算方法中的应用

（） 泰勒公式在误差估计中的应用

在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab 进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。

例1 设有2120

0.544987104184x e dx p ==⎰，将被积函数2

x e 展开为泰勒级数，并取前六项得：

用0()p x 代替被积函数()2

x f x e =时再积分所得的近似值：

且*p p -=⨯510-<⨯410-，实际上*p 近似真值p 时有4位有效数字。

2

()x y f x e ==，6()y p x =曲线如图所示。 在编辑窗口输入如下命令： x=0::; y1=exp(x.^2);

y2=1+x.^2+*x.^4+1/6*x.^6; plot(x,y1,x,y2);

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